Найти отношение объемов многогранников на которые плоскость делит пирамиду
Задание 14. На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
а) Пусть N — такая точка на ребре SB, что SN:NB = 5:1. Треугольники SAB и SMN подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Значит, , а прямые AB и MN параллельны, . Прямая PQ также параллельна прямой АВ. Значит, отрезки MN и PQ параллельны и не равны, и поэтому сечение пирамиды плоскостью MPQ — это трапеция MNPQ.
Треугольники MAQ и NBP равны, поскольку MA = NB, QA = PB, и , поэтому MQ = NP, а значит, трапеция MNPQ равнобедренная.
б) Пусть объём пирамиды SABCD равен V. Пятигранник AMQBNP состоит из четырёхугольной пирамиды MABPQ с основанием ABPQ и треугольной пирамиды MBNP с основанием BNP.
Расстояние от точки М до плоскости BNP относится к расстоянию от точки A до этой плоскости как 5:6, а площади треугольников BNP и SBC относятся как 1:12. Значит, отношение объёмов пирамид MBNP и ASBC равно 5:72, то есть объём пирамиды MBNP равен .
Площадь прямоугольника ABPQ составляет половину площади квадрата ABCD. Расстояние от точки М до плоскости ABCD относится к расстоянию от точки S до этой плоскости как 1: 6, поэтому объём пирамиды MABPQ равен .
Таким образом, объём AMQBNP равен то есть отношение объёмов многогранников AMQBNP и CDSNPQM равно 17 : 127.
Задачи на сравнение объемов
В презентации представлен теоретический материал по теме «Сравнение объемов» и разобрано несколько практических задач.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| zadachi_na_sravnenie_obemov.ppt | 931 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Задачи на сравнение объемов многогранников. Выполнил: Раздобарин Дмитрий, 11ИМ, лицей «Дубна». Учитель: Рычкова Татьяна Викторовна. 2009г. Дубна
Оглавление. Введение. Теоретический материал. Ключевые задачи на сравнение объемов многогранников. Задачи из ЕГЭ части C4. Литература.
2 . Объемы пирамид с общим основанием пропорциональны проведенным к нему высотам . 1 . Объемы пирамид с общей высотой пропорциональны площадям их оснований : B C D A K S H L A B C D S S 1 H 2 H 1
3 . Если вершины S и T пирамид SA 1 …A n и TA 1 …A n лежат по одну сторону от плоскости A 1 …A n , то эти пирамиды равновелики тогда и только тогда, когда прямая ST параллельна плоскости A 1 …A n . S T T T A 1 A 4 A 3 A 2
4 . Если тетраэдры SABC и SA 1 B 1 C 1 имеют общий трехгранный угол при вершине S, то 5 . Отношение объемов подобных многогранников равно кубу коэффициента подобия. S A B C C 1 B 1 A 1 A A 1 D C B D 1 C 1 B 1 A 2 C 2 B 2 B 3 C 3 D 3 A 3 D 2
Ключевые задачи на сравнение объемов.
Задача 1 . Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Точка F – середина ребра BC. Найдите, в каком отношении делит объем пирамиды плоскость DSF. Решение . Поскольку пирамида и части, на которые она разбивается плоскостью сечения, имеют одинаковую высоту, то отношение объемов частей равно отношению площадей оснований: Диагональ квадрата ABCD делит его на два равных треугольника ABD и BDC, а прямая DF делит треугольник BDC на две равновеликие части (высоты треугольников равны CD, основания тоже равны). Следовательно, квадрат ABCD прямой DF делится на части, отношение которых равно 3:1. A B D C S F
∆ COS подобен ∆ CMF Проведем FM ┴ AC. FM = h. Задача 2 . В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через середину бокового ребра SC – точку F – и диагональ основания BD проведено сечение. Найдите отношение объемов фигур, на которые плоскость сечения делит пирамиду. Решение. Пусть AB = a, OS = H. B C D A F S O a H M
В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, параллельная основанию и пересекающая боковые ребра пирамиды? Решение. Исходная и отсекаемая пирамиды подобны с коэффициентом подобия Следовательно, отношение их объемов равно кубу коэффициента подобия. Две плоскости, параллельные основанию пирамиды, делят ее на три равновеликие части. В каком отношении эти плоскости делят высоту пирамиды? Два сечения делят фигуру на три подобных фигуры с объемами V, 2V, 3V.
Олимпиадные задачи на сравнение объемов многогранников.
C B A S L K M N Решение. Многогранники, на которые делит тетраэдр плоскость KMN, не поддаются стандартной классификации, поэтому хотя бы один из них, например, M KC NLB , разрежем на части: проведем L C и LM , тогда он окажется составленным из двух пирамид — LMNBC и LMKC . Будем сравнивать их объемы с объемом тетраэдра SABC . В треугольно пирамиде SABC проведена плоскость, параллельная ребрам SA и BC. Эта плоскость пересекает ребро AC в точке M так, что AM : MC = 1 : 2. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды? 1 . LMNBC LABC (имеют общую высоту , ∆ANM подобен ∆АВС ) . 2 . LABC SАВС (имеют общий трехгранный угол при вершине В, основание АВС, высоту, проведенную из вершины С). 3 . LMKC LA SC SABC. Итак, Ответ: 20 /7 .
P B L A C M N E T K В пирамиде TABC AB : BC = 3 : 5, точка K – середина ребра TA, точка M расположена на ребре AC, AM : MC = 3 : 1. Плоскость проходит через точки K и M параллельно биссектрисе BE треугольника ABC и делит пирамиду на две части. Вычислите отношение их объемов. A E C N B P 3b 5b 3a 2a 3a P B A T K L 1. Многогранник B LNAKM удобно рассматривать как часть тетраэдра PAKM с «отколотым куском» — тетраэдром PBLN. (Тетраэдры имеют общий трехгранный угол при вершине P, значит, надо найти отношения отрезков PL : PK, P B : PA и PN : PM ). 2 . Тетраэдры PAKM и TABC имеют общий трехгранный угол при вершине Р, поэтому нужно знать отношение АК:АТ, АМ:АС и АВ:АР. AE = 3a EC = 5a, AC = 8a. MC = 2a, EM = 3a. следовательно, Далее: тогда В итоге Ответ: 11 /9.
S C B Y X A M L J D N K C X D B M A Y В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Через середину ребер AB, AD и SC проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые эта плоскость делит пирамиду. 1 . Многогранник MNJKLBCD представляет собой часть тетраэдра с отколотыми кусками XJDN и YMBL в форме тетраэдров (Тетраэдры имеют с ним по общему трехгранному углу, нужно вычислить XJ : XK, XD : XC, XN : XY, YL : YK, YB : YC, YM, YX). 2 . Тетраэдр CXKY имеет общий трехгранный угол с тетраэдром CSBD, объем которого равен половину объема пирамиды SABCD ( Нужно вычислить CX : CD, CY : CB, CK : CS). XD : XC = 1:3, CX : CD = 3 : 2, YB : YC = 1 : 3, CY : CB = 3 : 2 Y B T K S L C a 2a YB = a, YC = 3a, BC = 2a, YL : YK = 1 : 2. Аналогично , XJ: XK = 1 : 2. BT = TC = a. Ответ: 1.
Задачи из ЕГЭ части C4.
В основании пирамиды DABC лежит треугольник ABC, в котором угол C = 60°, AC = 14, BC = 8. Боковые грани DAC и DAB перпендикулярны плоскости основания, а ребро AD = 4 √ 3 . Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра BD параллельно прямым BC и AD, является основанием второй пирамиды, вершина которой в точке C. Найдите объем второй пирамиды. В основании пирамиды DABC лежит треугольник ABC, в котором угол C = 30°, AC = 20, BC = 8/√ 3 . Боковое ребро AD равно 6 √ 3 и перпендикулярно плоскости ABC. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра BD параллельно прямым BC и AD, является основанием второй пирамиды. Ее вершина T – основание высоты BT треугольника ABC. Найдите объем второй пирамиды. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . На его боковых ребрах AA 1 и BB 1 лежат точки M и N соответственно так, что AM : MA 1 = 8 : 11, B 1 P : PB = 2 : 1. Во сколько раз объем данного параллелепипеда больше объема пирамиды с вершиной в точке P, основанием которой является сечение данного параллелепипеда плоскостью BMD 1
Основанием пирамиды является треугольник АВС , в котором АВ = 4, АС =6 и угол АВС =90 ° Ребро AF перпендикулярно АВС и равно 12. Отрезок АL является биссектрисой треугольника FАВ, а отрезок АN является высотой треугольника FАС. Найдите объем пирамиды АLNC. A C B N L F 1 . Заметим, что пирамиды ALNC и ALNF имеют общую высоту из вершины L, поэтому отношение объемов этих пирамид равно отношению их граней ANC и ANF: Отношение площадей треугольников ANC и ANF равно отношению отрезков NC и NF ( высота треугольников из вершины A является общей): Таким образом: Аналогично: Перемножая (1) и (2) получаем: 2. Найдем отношения Так как AL – биссектриса треугольника AFB, то По условию AF = 12, AB = 4 FL = 3BL Так как AN – высота к гипотенузе прямоугольного треугольника AFC, то Воспользовавшись (3) получим: Ответ: 2 ,4√5.
Литература. Туманов С. И. «Поиски решения задач». Зеленский А. С. «Сборник конкурсных задач по математике». Куланин Е. Д., Федин С. Н., Федяев О. И. «Геометрия 10-11 класс». Шарыгин И. Ф., Голубев В. И., «Решение задач. 11 класс». Готман Э. Г., Скопец З. А. «Задача одна – решения разные: Геометрические задачи. Книга для учащихся». Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев «Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений». Погорелов А. В. «Геометрия: учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений». Потоскуев Е. В. Звавич Л. И. «Геометрия 11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики». В. И. Мусатов «Сборник задач по геометрии. Стереометрия. Для 10 — 11-х классов ФМШ». Судаков Д. А. «Методическое пособие». Шарыгин И.Ф., Гордин Р. К. «Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений.
Задание 14. Тренировочный вариант ЕГЭ № 243 Ларина
а) 1)Соединяем точки Q и P и Q и M (лежат в одной плоскости). Так как Q и P середины, то $$QP\parallel DC$$, тогда построим через М прямую, параллельную DC, пусть она пересекет SC в точке L. То есть $$ML\parallel DC\parallel QP$$, значит QMLP — трапеция
2)Из параллельности ML и DC получаем подобие SML и SDC, тогда, так как DS=CS, то и MD=LC. Так как AD=BC, то их половины QD=PC. $$\angle QDM=\angle PCM$$, тогда треугольники QDM и CPL равны по двум стороным и углу между ними и MQ=PL, то есть тапеция равнобедренная.
б) 1)Разобьем многогранник QDCPLM на четырехугольную пирамиду QDCPM и треугольную MLCP. Пусть объем пирамида SABCD равен V.
2) Если опустить перпендикуляр из точки M к плоскости ABCD, то его длина будет относить к длине перпендикуляра из S к этой плоскости так же, как DM:DS=2:5. При этом площадь QDCP составляет половину от ABCD. Выразим объем QDCPM через V: $$V_
3) Аналогично рассмотрим пирамиды MLCP и DSCB. Высота первой к высоте второй, опущенный к плоскости SBC будут относиться как SM:SD=3:5. При этом площадь LCP составляет $$\frac
4) В итоге $$V_