Найдите все значения параметра а такие что сумма корней уравнения равна нулю

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке [4; 8].

Уравнение равносильно следующей системе:

Рассмотрим первый случай, когда корни совпадают: Тогда корень принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ.

Рассмотрим второй случай, когда первый корень принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ. Тогда уравнение имеет единственное решение на заданном отрезке, если второй корень не принадлежит отрезку [4; 8] или не удовлетворяет ОДЗ. Имеем:

Рассмотрим второй случай, когда второй корень принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ. Тогда уравнение имеет единственное решение на заданном отрезке, если первый корень не принадлежит отрезку [4; 8] или не удовлетворяет ОДЗ. Имеем:

Приведем другое решение:

Уравнение равносильно следующей системе:

В плоскости xOa графиком системы (а значит и графиком исходного уравнения) будут отрезки прямых и лежащие внутри круга, ограниченного окружностью

Решение системы на отрезке [4; 8] на рисунке изображено синим цветом.

Найдём значения параметра a (значения ординаты), при которых уравнение имеет единственное решение на отрезке [4; 8].

Для этого найдём ординату точки пересечения прямых и

Ординаты точек пересечения прямой и окружности найдём, подставив в уравнение окружности

Таким образом, исходное уравнение имеет на отрезке [4; 8] ровно один корень при

Задания Д17 C6 № 521247

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет на отрезке ровно один корень.

Перепишем уравнение в виде то есть при этом принимает все значения от до ровно по одному разу, кроме значения (тогда тангенс не определен). Обозначим тогда уравнение должно иметь ровно один корень на множестве

Исследуем функцию Ее производная отрицательна при и положительна при Значит, функция возрастает на от до затем убывает до затем снова возрастает до Поэтому она принимает один раз такие значения — Мы включаем поскольку уравнение имеет два корня ( ), но один из них посторонний.

Задания Д17 C6 № 515132

Найдите все а, при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

Первое уравнение означает, что сумма расстояний от точки до точек и равна трем. Поскольку расстояние между ними как раз равно трем, точка лежит на соединяющем их отрезке. То есть Значит, уравнение должно иметь ровно одно решение на отрезке

Для этого нужно, чтобы значения функции в точках и имели разные знаки, либо чтобы дискриминант уравнения был равен нулю, а корень лежал на отрезке, либо чтобы одно из значений было равно нулю, а второй корень уравнения на отрезке не лежал.

Запишем первое условие:

Если уравнение принимает вид оно имеет один подходящий корень.

Если уравнение принимает вид поэтому его сумма корней равна 6,4. Один из корней равен 6, поэтому второй равен 0,4. Эта ситуация нас устраивает.

Запишем второе условие, приравняв дискриминант к 0:

То есть либо (уже разобрано), либо (тогда есть один корень, равный 3,25).

Задания Д17 C6 № 521769

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет не более трёх корней, входящих в отрезок

Сразу отметим, что и поскольку иначе получается евозможное основание для логарифма. При таких x уравнение равносильно следующему

Первая скобка дает корни Значит, вторая скобка должна дать не более двух новых корней на Есть два очевидных варианта.

1)   — тогда корни скобок совпадают.

2)  или  — тогда у второй скобки вообще нет корней.

Далее, при будет два новых корня а при будет один новый корень

Наконец, при прочих a будет по два новых корня уже на отрезке где синус примет все возможные значения (кроме ) ровно по одному разу.

Задания Д17 C6 № 511263

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

Первое уравнение системы задаёт множество точек (x; y), сумма расстояний от которых до точек с координатами A(4; 0) и B(4; 4) равна 4. Так как расстояние между указанными точками в точности 4, то это уравнение задаёт отрезок AB.

Второе уравнение системы задаёт окружность радиуса 2, центр которой (a; a) лежит на прямой y = x. При увеличении a окружность перемещается вправо-вверх вдоль этой прямой.

Ясно, что при меньшем из этих значений B лежит на верхней полуокружности, а при большем — на нижней.

Таким образом, при система имеет два решения, при система имеет одно решение, при система не имеет решений.

Приведём другое решение.

Первое уравнение системы задает множество точек плоскости (х; у) сумма расстояний от которых до точек (4; 0), (4; 4), лежащих на прямой x = 4, равна 4. Следовательно, это уравнение фактически задает отрезок [0; 4], лежащий на прямой x = 4. Этот же отрезок можно задать системой:

Требуется найти все значения параметра а, при каждом из которых система имеет ровно одно решение.

Подставим значение x = 4 в третье условие последней системы. Получим:

Далее найдем значения а, при которых последнее уравнение на [0; 4] имеет ровно один корень.

Нас устроят следующие ситуации (см. также рисунок):

1) Уравнение имеет два корня, один из которых принадлежит интервалу (0; 4), другой лежит вне отрезка [0; 4].

2) Уравнение имеет два корня, один из которых равен 0 или 4, другой лежит вне отрезка [0; 4].

3) Уравнение имеет единственный корень, который принадлежит интервалу (0; 4).

Первая ситуация возможна тогда и только тогда, когда будет выполнено неравенство: Докажем это.

Пусть уравнение (*) имеет два различных корня и причем Функция меняет знак только в точках и Но отрезку [0; 4] принадлежит только точка которая является внутренней точкой этого отрезка, следовательно, на концах отрезка знаки функции обязаны быть разными. Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Пусть выполняется неравенство при любом значении так как А это значит, что ни при каком значении а не может быть выполнено равенство

Неравенство свидетельствует о существовании двух различных корней у уравнения (*). Причем лишь один из них обязательно лежит на интервале (0; 4). Если это было бы не так, то значения функций в точках 0 и 4 имели бы одинаковый знак. Кроме того, второй корень не может совпадать с 4 (совпадение с 0, как показано выше, вообще невозможно), так как в противном случае было бы верным равенство

Итак, решим неравенство

Рассмотрим вторую ситуацию.

Пусть y = 4. Тогда:

Вычислим значение у при каждом из полученных значений а.

Заметим, что оба корня принадлежат отрезку [0; 4]. Следовательно, значение искомым не является.

При значении рассматриваемое уравнение на [0; 4] имеет ровно один корень, значит, следует отнести к числу искомых.

Теперь рассмотрим третью ситуацию. Потребуем, чтобы четверть дискриминанта уравнения (*) была равна нулю.

уравнения — Задание с параметром

Числа p и q подобраны так, что уравнение 2^(1+x)+p+q*2^(1-x)=0 имеет ровно два различных корня, а их сумма равна 4. Найти произведение всех различных корней уравнения (x^2-5x-300)(x^2-px-q)=0.

задан 12 Янв ’17 1:28

Приведите первое уравнение к квадратному заменой $%t=2^x$%.

@EdwardTurJ, да это то и так понятно было) по сути только это и сделал :С

1 ответ

Пусть $%x_1\ne x_2$% — корни первого из уравнений. Положим $%y=2^x$% и рассмотрим квадратное уравнение $%y^2+\frac

2y+q=0$% (оно получается с помощью указанной замены, домножения на $%y$% и деления на $%2$%. Его корнями будут $%y_1=2^$% и $%y_2=2^$%. По условию, их произведение равно $%y_1y_2=2^=16$%. Тогда по теореме Виета $%q=16$%. Поскольку корни положительны, число $%p=-(y_1+y_2)$% отрицательно. Дискриминант уравнения положителен, откуда $%p^2 > 16q=16^2$%, то есть $%p < -16$%. Это всё, что мы можем извлечь из первого уравнения.

Теперь рассмотрим второе уравнение. У многочлена $%x^2-5x-300$% корни равны $%20$% и $%-15$%, что легко увидеть из теоремы Виета. Если мы проверим, что многочлен $%x^2-px-q$% также имеет два различных корня, ни один из которых не равен двум названным выше, то произведение четырёх различных корней уравнения 4-й степени будет равно $%300q=4800$% всё по той же теореме Виета. Осталось осуществить проверку.

Подставляя $%x=20$%, получаем $%400-20p-16=0$%, откуда $%p$% положительно. Подставляя $%x=-15$%, имеем $%225+15p-16=0$%, и оказывается, что $%p=-15+\frac<16> <15>> -15$%, что противоречит неравенству $%p < -16$%. Дискриминант же равен $%p^2+4q=p^2+64 > 0$%, поэтому корни существуют и различны.

отвечен 12 Янв ’17 2:10

@falcao а я думал p+q=4, но ладно, спасибо

@Антон Коваль: местоимение «их» можно вроде отнести к числам p и q, но вообще-то обычно берётся последнее из подходящих упоминаний. Но это уже как бы тонкости грамматики русского языка.

@falcao Второй случай. Почему «p<−15, что невозможно».? Например, p=-17. Это и меньше -15, и меньше -16 (условие, которое дало первое уравнение) Вроде возможно)) «Невозможно», наверное, относилось к первому случаю: он не подходит, p>-16.

Или я неправильно понял что-то?

@Антон Коваль: там просто опечатка (я сейчас исправлю). Получается p=-15+16/15 > -15, что противоречит условию p < -16.

@falcao Тогда как может быть, что корни существуют, если такого p не существует?

@Антон Коваль: почему же не существует? Ведь противоречие получилось с предположением о том, что x=-15 является корнем. То есть мы проверили, что ни 20, ни -15 не являются корнями трёхчлена x^2-px-q, а он сам имеет два различных корня по причине p^2+4q>0. Поэтому корней четыре, они все разные, и остаётся найти произведение по теореме Виета.

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Найдите все значения параметра а такие что сумма корней уравнения равна нулю

Выделим класс задач, где за счет параметра на переменную накладываются какие- либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два, бесконечно много, ни одного; решением уравнения является какое-то подмножество множества действительных чисел и другие.

Прежде всего сюда относятся уравнения второй степени. Поэтому, прежде всего, обратим внимание на распространенную ошибку: считать такое уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда коэффициент перед x2 равен нулю. Итак, если параметр равен нулю, то, очевидно, данное уравнение имеет единственное решение. если же a?0, то имеем дело с квадратным уравнением.

2.1 Уравнения с ограничениями для решения

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение имеет один параметр а. если a=0, то пишем линейное уравнение -4x+3=0, которое имеет один корень . При a?0 уравнение является квадратным, и его корни выражаются через параметр а формулами . Эти формулы имеют числовые значения, если: . Решая это неравенство, находим:

Ответ. При ; при , ; при корней нет.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. рассмотрим два случая: a=2 и a?2. В первом случае исходное уравнение принимает вид -4x+1=0. Это линейное уравнение с единственным корнем . Во втором случае получим квадратное уравнение с дискриминантом .

Найдем промежутки знакопостоянства дискриминанта.

При a=1 или a=6 дискриминант квадратного уравнения равен нулю, и оно имеет один корень , то есть при a=1 получаем корень .

При дискриминант положительный, и квадратное уравнение имеет два корня:

При дискриминант оказывается отрицательным. Следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. . Наличие квадратного уравнения приведет к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие должно привлечь внимание.

Если D>0, то есть , то уравнение имеет два корня . Если то корней нет.

Ответ. Если то , если , если , если то корней нет.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Если a=-6, то решаем линейное уравнение -8x-6=0. .

Если a?-6, то решаем квадратное уравнение.

Ответ. Если , если , если , то корней нет, если , то .

Пример 5. Найти все значения параметра b, при каждом из которых уравнение имеет два различных корня.

Решение. рассматриваемое квадратное уравнение имеет два различных корня, если дискриминант его положительный. Запишем это условие: . Из последнего неравенства получим , откуда b>1.

Пример 6. Найти все значения параметра p, при каждом из которых уравнение имеет два различных корня.

Решение. Выпишем условие положительности дискриминанта данного квадратного трехчлена.

. При p=0 единственное решение.

Пример 7. Найти все значения параметра p, при каждом из которых уравнение имеет ровно одно решение.

Решение. Пусть p=0. Тогда исходное уравнение принимает вид x+2=0 и имеет единственное решение x=-2.

Пусть теперь p?0. В этом случае исходное уравнение имеет одно решение, если его дискриминант равен нулю. Получаем D=1-8p=0, откуда .

Пример 8. Найти все значения параметра p, при каждом из которых уравнение имеет одно решение.

Решение. Исходное уравнение имеет одно решение при D?0, при этом, если D=0, то уравнение имеет ровно одно решение, а при D>0 — два решения (а если есть два решения, то есть и одно). Решая неравенство .

Пример 9. При каких a уравнение имеет единственное решение ?

Решение. Понятно, что нужно начинать со случая a=2. Но при a=2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если a?2, то данное уравнение квадратное, и казалось бы, искомые значения параметра — это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при a=2 или a=5. Поскольку мы установили, что a=2 не подходит, то a=5.

Пример 10. При каких a уравнение имеет более одного корня?

Решение. При a=0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При a?0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант — положителен. Отсюда получаем -4<a<1. Однако в полученный промежуток (-4;1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.

Пример 11. При каких a уравнение имеет более одного корня?

Решение. Стандартный шаг начать со случаев a=0 и a=-3. При a=0 уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при a=-3 решением уравнения служит любое действительное число. При a?-3 и a?0, разделив обе части данного уравнения на a+3, получим квадратное уравнение , дискриминант которого 4(1+3a) положителен при . Опыт предыдущих промежутков показывает, что из промежутка (; надо исключить точку a=0, а в ответ не забыть включить a=-3.

Ответ. a=-3 или <a<0, или a>0.

2.2 Задачи на использование теоремы Виета

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни, сумма которых равна нулю?

Решение. Это уравнение квадратное, его дискриминант .

Сумма корней уравнения равна — и по условию задачи она равна нулю, то есть , что возможно при . Теперь необходимо осуществить контроль неотрицательности дискриминанта при этих значениях а. при а=-2 дискриминант D=0+4*2=8 положителен, тогда как при а=1 дискриминант D=0-4=-4 оказывается отрицательным.

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение имеет хотя бы один положительный корень?

Решение. Данное уравнение квадратное, значит имеет корни при неотрицательном дискриминанте.

То есть при . Значение большего (или единственного, в случае нулевого дискриминанта) корня должно быть положительным: , что равносильно (при D?0) следующей совокупности условий:

С учетом того, что при .

Пример 3. При каких значениях параметра а квадратное уравнение имеет корни одного знака?

Решение. Так как по условию задачи рассматриваемое уравнение- квадратное, то а?1 (иначе формулировка задачи не имеет смысла). Очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицательность дискриминанта.

Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то . Решением последнего неравенства является . С учетом условий D?0 () и а?1 получим .

Пример 4. Сумма квадратов двух различных корней уравнения больше 10. Найти значения параметра а, при которых выполняется данное условие.

Решение. Уравнение имеет два различных корня, если дискриминант положителен и а?0.

Сумму квадратов корней данного уравнения выразим через его коэффициенты при помощи теоремы Виета следующим образом:

Пример 5. Найти все значения параметра p, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение.

Решение. Выразим сумму квадратов корней данного уравнения через его коэффициенты при помощи теоремы Виета следующим образом: . Выражение принимает наименьшее значение при p=0.

Пример 6. Найти все значения параметра p, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения принимает значение, равное нулю.

Решение. Выразим сумму квадратов корней данного уравнения через его коэффициенты при помощи теоремы Виета следующим образом: . Поскольку сумма квадратов корней равна нулю, то решаем уравнение . Находим .

2.3 Задачи, в которых указан промежуток для решения

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3?

Решение. Так как идет речь о двух корнях, то рассматриваемое уравнение должно быть квадратным, то есть а?2.

Рассмотрим функцию (а?2). Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось Ох один раз на интервале ( и один раз на интервале (3;.

Рассмотрим два случая: а>2 и а<2.

В первом случае получим следующую систему неравенств:

Во втором случае получим систему:

Которая не имеет решений.

Пример 2. При каких значениях параметра а один из корней уравнения больше числа а ,а другой меньше числа а?

Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена лежат на вещественной оси по разные стороны от точки х=а?

Для решения этой задачи воспользуемся тем общим фактом, что для того, чтобы корни квадратного трехчлена лежали на вещественной оси по разные стороны от числа d, необходимо и достаточно выполнение условия .

линейный уравнение задача параметр

В нашем случае это условие принимает вид . Следовательно, требованию задачи удовлетворяют решения неравенства , где требованию задачи не удовлетворяют).

Решая полученное неравенство, находим, что .

Пример 3. При каких значениях параметра а корни х1 и х2 уравнения удовлетворяют условиям х1<-1 и -1<х2<1?

Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а только один, а именно- больший корень квадратного трехчлена , где 3а+2?0, принадлежит интервалу (-1;1), а другой меньше -1?

Требования приведенной задачи выполняются только при условиях

Таким образом, в нашем случае приходим к рассмотрению системы

Решая эту систему, получаем, что .

Пример 4. При каких значениях параметра а корни уравнения имеют разные знаки, и оба по абсолютной величине меньше 4?

Решение. Обозначим квадратный трехчлен в левой части исходного уравнения через f(x). Тогда требования задачи выполняются, если совместна система:

, которую подробнее можно переписать в виде , и которой удовлетворяют все .

Пример 5. При каких значениях параметра а один из корней уравнения по абсолютной величине больше 1, а другой меньше 1?

Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а один из двух корней квадратного трехчлена f(x) принадлежит на вещественной оси интервалу (-1;1), а второй расположен вне этого интервала и по модулю не равен 1?

А тогда, замечая, что ровно один корень трехчлена f(x) принадлежит интервалу (-1;1) только в том случае, когда числа f(-1) и f(1) имеют разные знаки (корни по модулю не равны 1), приходим к выводу, что требование задачи выполняется только при условии f(-1)*f(1)<0, которое в нашем случае записывается в виде (.

Решая это неравенство, находим, что .

Пример 6. Найти все значения m, при которых один из корней уравнения находится между числами 0 и 2, а второй между числами 3 и5.

Решение. Данное квадратное уравнение имеет корни . Очевидно, . Тогда искомые значения параметра найдем, решив систему:

Пример 7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;1].

Решение. Данная функция возрастает на луче и убывает на луче , где — абсцисса вершины параболы. Этих соображений вполне достаточно для выяснения вопроса.

В данной задаче результат фактически зависит от положения абсциссы x0 относительно отрезка [-1;1], а не от знака дискриминанта.

-1 1 х₀ х -1 0 х₀ 1 х -1 х₀ 0 1 х

Если 1, то есть a<-6, то max[-1;1]y=y(1)=-a-1, min[-1;1]y=y(-1)=a-1. (рис.1).

Если 0, то есть -6?а<0, то max y=y(x0)= 2+, min y=y(-1)=a-1. (рис.2).

Если -1, то есть 0?а<6, то max y=y(x0)= 2+, min y=y(1)=-a-1. (рис.3).

Если , то есть а?6, то max y=y(-1)=a-1, min y=y(1)=-a-1. (рис.4).

2.4 Дополнительные задания

1) Решите уравнение , если х-параметр.

2) Решить уравнение , а-параметр.

3) При каких а уравнение имеет единственное решение?

4) При каких а уравнение имеет единственное решение?

5) При каких а уравнение а) имеет более одного решения?

6) Найти все значения параметра а, при которых графики функций не имеют общих точек.

7) Найти все значения а, при которых уравнение имеет два различных корня.

8) Найти все значения а, при которых квадратные уравнения: а) имеют корни и определить знаки этих корней.

9) Найти все значения а, при которых квадратный трехчлен положителен для любого х.

10) Найти все значения а, при которых корни уравнения заключены между числами 2 и 4.

11) Найти все значения а, при которых корни уравнения больше 1.

12) Найти все значения а, при которых уравнение имеет два корня, причем один из них больше а, а другой меньше а.

13) Найти все значения а, при которых уравнение имеет два корня, каждый из которых принадлежит интервалу (-1;1).

2.5. Графическая иллюстрация решения квадратных уравнений с параметром.

Также, как и с линейными уравнениями, содержащими параметр, поступают и с квадратными уравнениями, содержащими параметр, то есть решают их графически для упрощения систематизации знаний. Часто такие уравнения имеют модуль или корень.

Пример 1. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение.

Решение. Данное уравнение можно переписать так: и . Посмотрим графики функций. Графики функций рассмотрим в случаях, когда а<0, а=0, а>0.

y=x|x+2a| y=x|x| y=x|x+2a|

y=a-1 y=a-1

Ясно, что при любом значении a<0 решение исходного уравнения единственно. При a=0 решение исходного уравнения так же единственно. Наконец, при a>0 графики выглядят так, как показано на третьем рисунке. Значит, исходное уравнение имеет единственное решение при a-1>0 (то есть, при a>1); или при -a2>a-1 (и при a>0). В последнем случае решим квадратное неравенство: -a2>a-1; a2+1-1<0. Соответствующее квадратное уравнение имеет корни: и , значит решение неравенства таково: ). Отсюда получаем ответ: ).

Пример 2. Найти все значения параметра a, при которых уравнение |x2-6x|=m имеет ровно три решения.

Решение. Построим графики функций y=|x2-6x| и y=m на одном чертеже.

Очевидно, что исходное уравнение имеет ровно три решения тогда и только тогда, когда графики двух вышеуказанных функций пересекаются ровно в трех точках, то есть при m=9.

Пример 3. Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет решение.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и перенесем все слагаемые в правую часть, получим квадратное уравнение . Найдем дискриминант . Так как D?0 при все значениях , то при каждом таком значении a имеется хотя бы одно решение у уравнения , а значит, и у уравнения .

Пример 4. Найти все значения параметра, при которых уравнение имеет решение.

Решение. Сделаем замену . Тогда , и для решения задачи надо найти, при каких значениях параметра a имеет решение уравнение , причем . Возведем обе части последнего уравнения в квадрат, получим уравнение . График функции y= — верхняя часть параболы (I) с вершиной (-3a;0) и ветвями, направленными вправо (рис.1), а график функции y=- парабола (II) с вершиной (0;-3a) и ветвями, направленными вверх (рис.2).

I y II y

Очевидно, что части парабол (I) и (II) (соответственно верхняя и правая половина) симметричны относительно прямой y=t, и точки пересечения парабол лежат на этой прямой. Построим графики (I) и (II) при a=0 (рис.3). Очевидно, что уравнение имеет два корня t1=0 и t2=1.

y=t 2

y= y=t 2 -3a y=

t₁ t₂ t t₁ t t

Если теперь увеличить значение a, то часть параболы (I) сдвинется влево, а часть параболы (II)- вниз (рис.4). Уравнение по-прежнему имеет положительное решение, но оно, очевидно, больше единицы. Если же сделать значение a немного меньше нуля, то часть параболы (I) сдвинется вправо, а часть параболы (II) сдвинется вверх, и точки их пересечения начнут сближаться, причем 0<t1<t2<1. При некотором значении a=a0 достигается крайнее положение, при котором кривые еще имеют общую точку, лежащую на прямой y=t (рис.5).

Решим уравнение t2-3a=t, то есть t2-t-3a=0. Найдем дискриминант D=1+12a, он не отрицателен при . При уравнение имеет единственный корень, а при все точки на параболе y= лежат выше прямой y=t.

Пример 5. Найти наименьшее значение выражения a2+(b-1)2 среди тех a и b, для которых уравнение ||x-4|-2|-ax+4a-b=0 имеет ровно три различных решения. Указать, при каких a и b достигается наименьшее значение.

Решение. Сделаем замену z=x-4 и преобразуем уравнение к виду ||z|-2|=az+b. Построим график функции y=||z|-2| и y= az+b.

Очевидно, эти графики могут пересекаться ровно в трех точках только в следующих случаях:

1) y 2) y 3) y

z z z

В случае 1) будет b=2, -1<a<1, в случае 2) будет =-2, 0<a<1, в случае 3) будет =2, -1<a<0. В случае 1) подстановка значения b=2 в выражение a2+(b-1)2 дает выражение a2+1, минимум которого равен 1 при значении a=0. В случае 2) будет b=2a; подставляя это значение в выражение a2+(b-1)2 имеем a2+(2a-1)2=5a2-4a+1; минимум достигается при и равен (). В случае 3) будет b=-2a, и подставляя это значение в выражение a2+(b-1)2, получаем a2+(-2a-1)2=5a2+4a+1; минимум достигается при и равен ().