Задача 39638 .
Рассмотрим координатно-параметрическую плоскость xOa:
Строим график |a|=4-4|x|
a=4-4x, x ≥ 0
a=4+4x, x <0
Строим график |a|=4-4|x|
Отражаем часть графика на рис. 1 , расположенную выше оси Ох симметрично оси Ох
|a| ≤ 4-4|x| при a ∈ [-4;4]
Причем [green]это верно для x∈ [-1;1] [/green]
Перепишем второе неравенство системы:
x^2+2x -3 ≤ a
a ≥ x^2+2x-3
Этому множеству, удовлетворяют точки на плоскости, расположенные внутри параболы ( окрашено синим цветом)
Системе двух неравенств
<|a| ≤ 4-4|x| при a ∈ [-4;4]
соответствует пересечение множеств
Найдем точку пересечения
a= — 4 — x и a=x^2+2x-3
x^2 + 2x — 3 = — 4 — x
О т в е т. ([m]\frac<-5-\sqrt<5>><2>[/m]; 4] 
Найдите все значения а при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение 4 5
Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].
Изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств, на координатной плоскости xОa. Гипербола и график корня пересекаются в точке A(2; 1). Гипербола и прямая пересекаются в точке График корня и прямая пересекаются в точке C(5; 2). Множество точек, координаты которых удовлетворяют заданной системе (выделено штриховкой на рисунке), состоит из точек криволинейного треугольника ABC, не включая границу, лежащую на дуге АС.
Поскольку система должна иметь хотя бы одно решение на отрезке
[3; 4], осталось определить наименьшую и наибольшую ординаты проекции выделенного на рисунке четырехугольника на ось ординат. Проекции точек B и дают искомое множество: заданная система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4] при
Приведем аналитическое решение. Заметим, что искомыми могут быть только положительные значения параметра и запишем систему в виде
и рассмотрим три случая.
Если то решением системы является полуинтервал имеющий общие точки с отрезком [3; 4].
Если то Тогда решением системы является отрезок Он существует, если
и пересекается с отрезком [3; 4] тогда и только тогда, когда
При этот отрезок вырождается в точку 4, система имеет единственное решение это решение лежит на отрезке [3; 4].
Если то В этом случае решением системы является полуинтервал Этот полуинтервал существует, если
Найдите все значения параметра а. на отрезке [3; 4].
Неравенство у ≥ 0 будет выполняться хотя бы для одного х из [3; 4] в том случае, если прямая у = ах — 2 будет иметь общую точку с фигурой, ограниченной осью ܱОх и линиями х = 3, х = 4 для всех у ≥ 0. Это достигается при всех а ≥ 1/2.
Из аналогичных рассуждений для g получаем а < √3.
Неравенство h ≤ 0 будет выполняться хотя бы для одного x из [3; 4] в том случае, если прямая ݄h = 3x — 2a — 11 будет иметь общую точку с фигурой, ограниченной осью ܱОх и линиями х = 3, х = 4 для всех у ≤ 0. Это достигается при всех а ≥ -1. Пересекая полученные неравенства, получаем ответ.
Ответ: 1/2 ≤ а < √ 3.