Найдите все значения а при каждом из которых неравенство имеет хотя бы одно решение из промежутка

Упр.30.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Неравенства с параметром

При каких значениях параметра a среди решений неравенства $$\log_<2>(x-100)-\log_<\frac<1><2>>\frac<|x-101|><105-x>+\log_<2>\frac<|x-103|(105-x)>> a$$ содержится единственное целое число?

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3209

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство $$\frac-4x-5>-4x-5>\geq1$$ имеет ровно четыре целочисленных решения. Для каждого такого a укажите эти решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 5341

Найдите все значения параметра $$3a(a-7)-8(a-7)(2^+1)\leq (8x^<2>-16x)(2^+1)-3ax^<2>+6ax$$ , при каждом из которых неравенство имеет решения на промежутке $$[-1;0)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Преобразуем данное неравенство: $$(a-7)(3a-8(2^+1))\leq 8x(x-2)(2^+1)-3ax(x-2) \Leftrightarrow$$$$(a-7)(3a-8(2^+1))\leq x(x-2)(8(2^+1)-3a) \Leftrightarrow$$$$(a-7)(3a-8(2^+1)) + x(x-2)(3a-(2^+1))\leq 0 \Leftrightarrow$$$$(8(2^+1)-3a)(x^<2>-2x+a-7) \geq 0 (1)$$

Рассмотрим по отдельности обе скобки и представим их как функции $$a(x)$$:

$$8(2^+1)-3a = 0\Leftrightarrow$$$$a=\frac<2^><3>+\frac<8><3>$$ — график степенной функции

$$x^<2>-2x+a-7=0 \Leftrightarrow$$$$a=-x^<2>+2x+7\Leftrightarrow$$$$a=-(x^<2>-2x-7)\Leftrightarrow$$$$a=-(x^<2>-2x+1-1-7)\Leftrightarrow$$$$a=-(x-1)^<2>+8$$ — график квадратичной функции.

По условии задачи необходимо, чтобы решения были на промежутке $$[-1;0)$$, тогда так же построим графики $$x=-1 ; x=0$$ и графики полученных функции в системе координат AoX.

Найдем пересечение степенной функции с прямыми $$x=-1 ; x=0$$:

Как видим по графикам мы получили три области, необходимо проверить, точки каких областей удовлетворяют неравенству (1). Для этого будем брать из каждой области точку, и подставлять координаты в наше неравенство:

1) Возьмем точку (0;0) : $$(8(2^<0>+1)-3*0)(0^<2>-2*0+0-7) \geq 0 \Leftrightarrow$$$$16*(-7)\geq 0$$ — неравенство неверно, следовательно, первая область не подходит

2) Возьмем точку (0;6): $$(8(2^<0>+1)-3*6)(0^<2>-2*0+6-7) \geq 0 \Leftrightarrow$$$$-2*(-1)\geq 0$$ — неравенство верно, следовательно, вторая область подходит и по а она находится в промежутке [4;7) (7 не входит, так как по условию $$x \neq 0$$)

3) Возьмем точку (0;8) : $$(8(2^<0>+1)-3*8)(0^<2>-2*0+8-7) \geq 0 \Leftrightarrow$$$$-8*1 \geq 0$$ — неравенство неверно, следовательно, третья область не подходит

Итоговый ответ: $$a \in \left [ 4 ; 7 \right )$$

Задание 6479

Найдите все значения параметра a, при которых неравенство $$x^<2>+4x+6a|x+2|+9a^ <2>\leq 0$$ имеет не более одного решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Прибавим к обеим частям неравенства 4, получим: $$(|x+2|+3a)^<2>\leq 4\Rightarrow -2\leq \left | x+2 \right |+3a\leq 2\Rightarrow -2-3a\leq \left | x+2 \right |\leq 2-3a$$ (1)

1. Если $$2-3a<0$$ , то есть $$a>\frac<2><3>$$, неравенство (1) не имеет решений (подходит под решение).

2. Если $$2-3a=0$$, $$a=\frac<2><3>$$ и неравенство (1) имеет одно рещение x=-2 (подходит под решение)

3. Если $$2-3a>0$$, неравенство (1) имеет множество рещений; в частности, этому множеству заведомо принадлежат значения $$x=-2\pm (2-3a)$$

Задание 6573

При каких значениях $$x\neq 0$$ неравенство $$x^<2>(1-\fraca>+a^<2>>)-x(1-\fraca>+a^<2>>)\geq 0$$ выполняется при любых значениях a

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) При $$x \in (-\infty ;0)\cup [1; +\infty )(1)$$: $$f(x)>0\Rightarrow$$ $$g(x)>0$$ тоже. Тогда , чтобы выполнилось неравенство для всех a надо, чтобы трехчлен $$a^<2>-x^<2>a+x^<2>$$ (относительно переменной a) был всегда больше или равен $$0\Rightarrow D\leq 0$$:

$$D=x^<4>-4x^<2>\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x^<2>(x^<2>-4)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x \in [-2,2]$$. С учетом (1): $$x \in [-2;0)\cup [1;2]$$

2) При $$x \in (0;1), f(x)<0$$.Тогда и $$g(x)<0$$. Но у параболы вида $$f(a)=a^<2>-x^<2>a+x^<2>$$ ветви направлены вверх, то она не может быть меньше 0 при всех x. Следовательно , ответ $$x \in [-2;0)\cup [1;2]$$

Задание 6976

Найдите все значения параметра a , при которых неравенство $$4a^<2>\sqrt<2-\frac<6><\pi>\arcsin(\sqrt<3>-2x)>+\frac<12a><\pi>\arccos(2x-\sqrt<3>)-8a^<2>-3a \leq 1$$ выполняется для любых $$x \in [\frac<2\sqrt<3>-1><4>;\frac<3\sqrt<3>><4>]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть $$2x-\sqrt<3>=y$$, тогда с учетом, что $$x \in [\frac<2\sqrt<3>-1><4>; \frac<3\sqrt<3>><4>]$$ получим , что $$y \in [-\frac<1><2>; \frac<\sqrt<3>><2>]$$.

Пусть $$\frac<6> <\pi>\arcsin y=m$$, т.к. $$y \in [-\frac<1><2>; \frac<\sqrt<3>><2>]$$ , то $$m \in [-1; 2]$$, тогда: $$4a^<2>\sqrt<2+m>\leq 1+8a^<2>+3a-6a+2m\Leftrightarrow$$$$4a^<2>\sqrt<2+m>\leq 2am+8a^<2>-3a+1\Leftrightarrow$$$$\sqrt<2+m>\leq \frac<2a>+\frac<8a^<2>-3a+1><4a^<2>>$$

• g(m) – прямая, при этом $$g(m)\cap Oy$$ в точке, которая «стремится» к у=2
• f(m) – ветвь параболы . При этом необходимо , чтобы $$f(m)\geq g(m)$$ для любого $$m \in [-1;2]$$

Рассмотрим 3 случая:

1) $$a>0$$: тогда g(m) располагается в 1 и 3 четвертях . При этом, чтобы $$f(m)\geq g(m)$$ необходимо, чтобы $$f(-1)\geq g(-1)$$: $$-\frac<1><2a>+\frac<8a^<2>-3a+1><4a^<2>>\geq 1\Leftrightarrow$$ $$-2a=8a^<2>-3a+1\geq 4a^<2>\Leftrightarrow$$ $$4a^<2>-5a+1\geq 0\Leftrightarrow$$ $$a \in (-\infty ; \frac<1><4>]\cup [1; +\infty)$$

С учетом , что $$a>0$$ : $$a\in (0; \frac<1><4>]\cup [1; +\infty )$$

• При $$a\in (0; \frac<1><4>]$$ получим , что $$\frac<8a^<2>-3a+1><4a^<2>> >2$$ ( пересечение F(x) с Oy) , при этом $$f(0)=\sqrt<2>\Rightarrow$$ подходит.
• При $$a\in [1; +\infty )$$ получим , что $$\frac<8a^<2>-3a+1><4a^<2>>\geq 1,5 \Rightarrow$$ тоже подходит

2) $$a<0$$. Тогда $$g(2) \geq f(2) \Leftrightarrow$$ $$\frac<2><2a>+\frac<8a^<2>-3a+1><4a^<2>>\geq 2\Leftrightarrow$$ $$4a+8a^<2>-3a+1\geq 8a^<2>\Leftrightarrow$$ $$a+1\geq 0\Leftrightarrow$$ $$a\geq -1$$. Т.к. $$a<0$$, то $$a \in [-1; 0)$$

3) $$a=0$$: $$0*\sqrt<2+m>\leq 0 *m+8*0-3*0+1\Leftrightarrow$$ $$0\leq 1\Rightarrow$$ подходит

В итого решение: $$a \in [-1; \frac<1><4>]\cup [1; +\infty )$$

Задание 7023

Найдите все значения параметра b, при каждом из которых для любого a неравенство $$(x-a-2b)^<2>+(y-3a-b)^<2><\frac<1><2>$$ имеет хотя бы одно целочисленное решение

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(x-a-2b)^<2>+(y-3a-b)^<2><\frac<1> <2>\Leftrightarrow$$ $$(x-(a+2b))^<2>+(y-(3a+b))^<2><(\frac<\sqrt<2>><2>)^<2>$$, т.е. имеем множество точек внутри окружности радиуса $$\frac<\sqrt<2>><2>$$ и центром в $$(a+2b; 3a+b)$$ . При этом $$\frac<\sqrt<2>><2>$$ — половина диагонали квадрата со стороной 1 . Т.е. в данный круг вписан квадрат со стороной 1 . Рассмотрим пример:

Видим по радиусу , что целых значений внутри круга не будет. Тогда и только тогда, когда координаты центра одновременно будут иметь вид: $$(\frac<2>, \frac<2>)$$,где m и n $$\in Z$$

Если хотя бы одна не имеет вид, то 1 целое точно попадет в круг. Тогда :$$\left[\begina+2b\neq \frac<2m+1><2>\\3a+b\neq \frac<2n+1><2>\end\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin2a+4b\neq 2m+1\\6a+2b\neq 2n+1\end\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin6a+12b\neq 6m+3\\6a+2b\neq 2n+1\end\right.\Leftrightarrow$$$$10b\neq 6m-2n+2\Leftrightarrow$$$$b\neq \frac<3m-n+1><5>$$ , где $$m , n \in Z$$

Т.е. с учетом, что $$3m-n+1 \in Z$$ при $$m , n \in Z$$, то $$b \notin \frac<5>, k \in Z$$

Задание 7111

При каких значениях параметра a неравенство $$\log_<\frac<-2a-13><5>> (\frac<\sin x -\sqrt<3>\cos x -a-4><5>)>0$$ выполняется для любых значений x ?

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть $$m(x) =\sin x-\sqrt<3>\cos x$$, тогда $$m^<'>(x)=\cos x+\sqrt<3>\sin x=0\Leftrightarrow$$ $$\sqrt<3>tg x=-1\Leftrightarrow$$ $$x=-\frac<\pi><6>+\pi n , n \in Z$$

$$ (1): -2a-13>0\Leftrightarrow a<-6,5$$

$$(2): -2a-13\neq 5\Leftrightarrow a\neq -9$$

$$(3) :a<-6,5 , -a-4>2,5 \Rightarrow \frac<5>>0$$ при любом m( и ,следовательно, x)

$$(5)$$: при $$a<-9$$: $$-a-9>0$$ при любом a , следовательно, чтобы было решение для любого m должно выполняться: $$m_-a-9>0\Leftrightarrow$$ $$-2-a-9>0\Leftrightarrow$$ $$a<-11$$. Получим $$a \in (-\infty ;-11)$$

$$(6)$$ : аналогично $$m_-a-9<0\Rightarrow$$ $$2-a-9<0\Rightarrow a>-7$$. Получим $$a \in (-7; +\infty )$$

С учетом (1): $$a \in (-\infty ;-11)\cup (-7;-6,5)$$

Задание 7204

При каких значениях параметра a неравенство $$(a^<3>+(1-\sqrt<2>)a^<2>-(3+\sqrt<2>)a+3\sqrt<2>)x^<2>+2(a^<2>-2)x+a>-\sqrt<2>$$ выполнено для любого x>0

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Получим , что $$f(x)>0$$. При этом график f(x)-парабола вида $$y=m x^<2>+nx+p$$, где $$m=(a^<3>+(1-\sqrt<2>)a^<2>-(3+\sqrt<2>)a+3\sqrt<2>)$$, $$n=2(a^<2>-2)$$, $$p=a+\sqrt<2>$$

При m<0 ветви параболы направлены вниз, но тогда f(x)>0 не выполнится для любого x>0. Следовательно, m>0. Решим данное неравенство: $$a^<3>+(1-\sqrt<2>)a^<2>-(3+\sqrt<2>)a+3\sqrt<2>>0\Leftrightarrow$$ $$a^<3>+a^<2>-3a-\sqrt<2>a^<2>-\sqrt<2>a+3\sqrt<2>>0\Leftrightarrow$$ $$a(a^<2>+a-3)-\sqrt<2>(a+a-3)>0\Leftrightarrow$$ $$(a-\sqrt<2>)(a^<2>+a-3)>0\Leftrightarrow$$ $$(a-\sqrt<2>)(a-\frac<-1+\sqrt<13>><2>)(a-\frac<-1-\sqrt<13>><2>)$$

Получим, что $$a \in (\frac<-1-\sqrt<13>><2>; \frac<-1+\sqrt<13>><2>)\cup (\sqrt <2>;+\infty )$$. Следует рассмотреть отдельно значения, когда $$m=0$$:

3) $$a=\sqrt<2>$$: $$2((\sqrt<2>)^<2>-2)x+\sqrt<2>+\sqrt<2>>0\Rightarrow$$ $$2\sqrt<2>>0\Rightarrow$$ $$a=\sqrt<2>$$ является решением.

При m>0 ветви направлены вверх и существует 3 возможных расположения параболы, при которых f(x)>0:

При этом $$x_<0>=-\frac$$, а так как m>0 , то $$x_<0>>0\Leftrightarrow$$ $$-n>0\Leftrightarrow n<0$$. Получим :

Объединяем все полученные значения : $$a \in [-\sqrt<2>; 1)\cup [\sqrt <2>;+\infty)$$

Задание 7445

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых хотя бы одно решение неравенства $$x^<2>+a+|x-a-3|+6\leq 5x$$ принадлежит отрезку [1;2].

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7898

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых неравенство $$a(1+(4-\sin x)^<4>)>3-\cos^<2>x$$ выполнено при любом значении x

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть $$g(x)=3-\cos^<2>x$$. С учетом, что $$\cos^<2>x\in[0;1]$$, то $$g(x)\in[2;3]$$.

Пусть $$f(x)=1+(4+\sin x)^<4>$$. Т.к. $$\sin x\in[-1;1]$$, то $$4-\sin x\in[3;5]$$, тогда $$(4-\sin x)^<4>\in[81;625]$$ и $$f(x)\in[82;626]$$, тогда $$af(x)\in[a\cdot82;a\cdot626]$$

Т.е. принимают в одной точке, тогда чтобы решение было для любого $$a$$ необходимо выполнение $$af_(x)>g_(x)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$82a>3$$ $$\Rightarrow$$ $$a>\frac<3><82>$$

Задание 8347

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Необходимо единственное решение $$\Rightarrow$$ $$y=2$$. Т.е. получим $$\sqrt+ax+5>=2$$ тоже должно иметь единственное решение. Т.е. ордината в вершине параболы равна 2. Найдем абсциссу вершины:

Задание 8783

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство $$(4|x|-a-3)(x^2-2x-2-a)\leq 0$$ имеет хотя бы одно решение из промежутка [-4; 4].

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8802

Найдите все значения а, при каждом из которых любое значение из промежутка [-1,5; -0,5] является решением неравенства $$(4|x|-a-3)(x^<2>-2x-2-a)\geq 0$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

/>

Задание 10197

Найдите все значения параметра $$a\in [-6;6]$$ при которых неравенство $$(a+3)\cdot ((x+1)(a+2)+3x)>0$$ выполняется при любых $$x \geq 0$$.

Задание 10445

При каких значениях b неравенство $$x^<2>+(2a+4b)x+2a^<2>b+4b^<2>-2ab+6b+15\leq 0$$ не имеет решений ни при одном значении a?

Задание 10512

Задание 10660

Найдите все значения параметра $$a$$, при которых неравенство $$<<\sin >^<<\rm 4>> x\ >+<<\cos >^<<\rm 4>> x\ >>a\cdot <\sin x\ >\cdot <\cos x\ >$$ выполнено при любом значении $$x$$.

Задание 11090

Найдите все значения параметра $$a$$ при каждом из которых множество решений неравенства $$2+\sqrt>x$$ содержит отрезок $$[4;7]$$

Задание 11148

Найдите все значения $$a,$$ при каждом из которых неравенство $$2x^3+9x+3\left|x+a-2\right|+2\left|2x-a+2\right|+\sqrt[5]<2x-3>\le 16$$ выполняется для всех значений $$x\in \left[-2;1\right].$$

Поскольку неравенство должно выполняться для всех значений $$x\in \left[-2;1\right]$$, то оно должно выполняться и при $$x=1.$$ Подставим $$x=1$$ в неравенство: $$11+3\left|a-1\right|+2\left|4-a\right|-1\le 16$$ или $$3\left|a-1\right|+2\left|4-a\right|\le 6$$ $$(\cdot )$$.

Рассмотрим функцию $$f\left(a\right)=3\left|a-1\right|+2\left|4-a\right|$$ на трёх промежутках:
$$1) \left\< \begina\ge 4 \\ f\left(a\right)=3\left(a-1\right)+2\left(a-4\right)=5a-11 \end\right.$$
$$2) \left\< \begin1<a<4 \\ f\left(a\right)=3\left(a-1\right)+2\left(4-a\right)=a+5 \end\right.$$
$$3) \left\< \begina\le 1 \\ f\left(a\right)=3\left(1-a\right)+2\left(4-a\right)=-5a+11 \end\right.$$
При $$a>1$$ функция возрастает, а при $$a<1$$ убывает. Следовательно, она принимает наименьшее значение в точке $$a=1.$$ Имеем: $$f_=f\left(1\right)=6.$$ Значит, неравенство $$(\cdot )$$ может быть выполнено только при $$a=1.$$

При $$a=1$$ получим $$2x^3+9x+3\left|x-1\right|+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]<2x-3>\le 16.$$

Поскольку $$x\in \left[-2;1\right],$$ то $$2x^3+9x+3\left(1-x\right)+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]<2x-3>\le 16\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow 2x^3+6x+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]<2x-3>-13\le 0\ \left(\cdot \cdot \right).$$

Пусть $$g\left(x\right)=2x^3+6x+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]<2x-3>-13,\ x\in \left[-2;1\right].$$

При $$x\in \left[-2;-\frac<1><2>\right];g\left(x\right)=2x^3+6x-2\left(2x+1\right)+\sqrt[5]<2x-3>-13=$$ $$=2x^3+2x+\sqrt[5]<2x-3>-15.$$

При $$x\in \left[-\frac<1><2>;1\right];g\left(x\right)=2x^3+6x+2\left(2x+1\right)+\sqrt[5]<2x-3>-13=$$ $$=2x^3+10x+\sqrt[5]<2x-3>-11$$ функция $$g\left(x\right)$$ также возрастающая, как сумма возрастающих функций. И поскольку $$g\left(1\right)=0,$$ то при всех $$x\in \left[-2;1\right]$$ выполняется неравенство $$(\cdot \cdot )$$

Задание №20 (С5) из Т/Р №86 А. Ларина

1) Рассматривать случай, когда , нет никакого смысла, так как весь график функции располагается над осью . Неравенство не имеет решений.

2) Если , то необходимо потребовать, для выполнения условия задачи, чтобы вершина параболы была бы положительна. Исходное неравенство в этом случае будет иметь одно решение.

Итак, нам подходит.

3) Рассмотрим случай, когда

Нам подходят два случая :

a)

б) .

Наконец, собираем все подходящие нам значения , получаем:

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

• Задание №19 Т/Р №113 А. Ларина
• Задание С4 (№18) из Т/Р Ларина
• Тренировочная работа №130 А. Ларина
• Задание №15 (С1) из Т/Р №91 А. Ларина
• Задание №20 (С5) из Тренировочного варианта №88 А. Ларина
• Задание №15 Т/Р №207 А. Ларина

Объясните, пожалуйста, зачем во втором пункте требовать, чтобы координата вершины была положительна?