алгебра — Значения a, при которых функция имеет максимум
Как найти все значения а, при каждом из которых функция $%y = x^2 — |x-a|^2 -3x$% имеет хотя бы одну точку максимума.
задан 11 Фев ’12 17:04
1 ответ
Так-как $%|b|^2=b^2$%, то имеем
$%y=x^2-(x-a)^2-3x=x^2-x^2+2ax-a^2-3x=(2a-3)x-a^2$% Значит функция линейная, а при $%a=3/2$% она постоянная, и все точки R-точки экстремума. Кстати, они точки и минимума, и максимума.
$%у’=2a-3$%. При $%a>3/2, y’>0$% — функция монотонно возрастающая, а при $%a<3/2, y'<0$% — функция монотонно убывающая в R. Значит не имеет точек экстремума. И так $%a=1.5$%. Ответ 1,5.
отвечен 11 Фев ’12 18:05
Экстремум линейной функции отсутствует по определению.Например, $%f(x)$%-принимает максимум в точке $%x=x_0$%, если в некоторой окрестности этой точки верно $%\forall x\neq x_0 \Rightarrow f(x)<f(x_0)$%
Такое определение в учебниках нет. По определению X0 точка максимума, если в некоторой окрестности точки x0, для всех x(включая и x0) выполняется неравенство f(x)<=f(x0). См. Фихтенголхц «Курс дифф. и инт. исчисления» т.1, стр.276, снизу. Кстати там есть и ваше определение- это называется собственный максимум.
Вот именно, в некоторой окрестности. А в некоторой окрестности точки для линейной функции с одной стороны значения функции будут меньше значения функции в точке, а с другой — больше. Приведенное вами определение имеет отличие от определения @ValeryB только в том, что здесь включена в рассмотрение сама точка экстремума. Определения экстремума могут несколько варьироваться, но ни по одному из них линейная функция(кроме функции $%y=a$%) точек экстремума иметь не будет.
Вы заставляете меня повторятся. Я об этом и написала, при а=3/2 линейная функция постоянная, а каждый знает что если функция постояная в некотором открытом промежутке, то в каждой точке этого промежутка имеет и максимум и минимум(это азбука анализа).А точное определение отличается от определения @Валери в основном не строгостью неравенства.
Прошу прощения, мой взгляд упрямо проскакивал мимо части предложения «а при $%a=3/2$% она постоянная» и читалось почему-то только «Значит функция линейная и все точки R-точки экстремума.»:3 Тогда вопросов больше не имею, все отлично
Метод мажорант и задачи с параметром. Задание С5
Решим задачу из Задания С5 для подготовки к ЕГЭ по математике :
Найдите все значения параметра 
, при каждом из которых имеет хотя бы один корень уравнение:
2. 
3. 
4. 
Рассмотрим каждый случай:
1. 
Оба подмодульных выражения неотрицательны, следовательно оба модуля раскрываем с тем же знаком:
Итак, левая часть уравнения больше или равна 25.
Рассмотрим правую часть уравнения:
. Мы видим, что из числа 25 мы вычитаем два неотрицательных выражения: 
и 
( в рассматриваемом случае 
), следовательно, правая часть уравнения меньше или равна 25.
Итак, равенство возможно, если обе части уравнения равны 25. Легко заметить, что обе части уравнения равны 25, если 
и 
Мы получили первое решение: при уравнение имеет единственный корень .
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
2.
Первое подмодульное выражение раскрываем с тем же знаком, а второе — с противоположным:
и 
Мы получили второе решение: при уравнение имеет единственный корень .
Совершенно аналогично рассматриваются третий и четвертый случаи. Рассмотрите их самостоятельно.
Третье решение: при уравнение имеет единственный корень .
И четвертое решение: при уравнение имеет единственный корень .
Задача 18 ЕГЭ-2021 по математике. Параметры
Посмотрите на условия задач с параметрами ЕГЭ-2021. Вы заметите, что на вид все они похожи. Однако сходство только внешнее, и решаются они по-разному. В этой статье – обзор задач с параметрами ЕГЭ-2021 по математике.
1. Начнем с задачи, которую лучше всего решить аналитическим способом. Слева в уравнении модуль, справа – произведение модуля и корня квадратного. Лучше всего первым действием сделать возведение обеих частей уравнения в квадрат (при неотрицательности подкоренного выражения).
О том, как решать уравнения, где слева модуль и справа модуль, читайте здесь: Уравнения с модулем.
При каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно 2 решения?
Уравнение равносильно системе:
Вынесли общий множитель за скобку
Так как и при всех исходное уравнение имеет корни и при всех Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня в следующих случаях:
не имеет решений и
2) совпадение корней
Рассмотрим первый случай.
Неравенство — не имеет решений, если
Рассмотрим второй случай.
1) Корни и совпадают, тогда и
Так как исходное уравнение при имеет один корень
2) Корни и совпадают.
Уравнение имеет корни и
3) Корни и совпадают, исходное уравнение имеет ровно два корня.
Мы применили аналитический способ решения: с помощью равносильных переходов от исходного уравнения перешли к такой форме, где сразу видно, какие корни имеет уравнение при определенных значениях параметра.
На Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов мы подробно рассказывали об этом методе и решали множество задач. Способ хорош тем, что вы просто действуете по образцу – и быстро приходите к ответу.
2. Второе уравнение очень похоже на первое. И первое действие будет таким же: возведением обеих частей в квадрат. А закончим мы – для разнообразия – построением графиков в системе координат (а; х).
Найти a, при которых имеет ровно 2 решения.
Возведем обе части уравнения в квадрат.
Найдем, каким значениям параметра соответствует ровно два значения
Построим в системе координат графики функций:
Мы находим такие при которых горизонтальная прямая имеет ровно 2 общие точки с совокупностью прямых, являющихся графиком исходного уравнения.
Видим, что в общем случае прямая пересекает каждую из трех прямых, то есть исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Ровно 2 решения будет в случаях, когда прямая проходит через точки пересечения прямых, то есть в случаях совпадения корней.
Данная совокупность имеет ровно два решения в случаях совпадения корней.
О графическом способе решения задач с параметрами читайте здесь: Графический метод решения задач с параметрами.
3. В третьем задании также присутствуют выражения под модулями. Но подход будет другой: мы применим метод интервалов для модулей, о котором можно прочитать здесь: Уравнения с модулем.
С его помощью раскроем модули и получим график функции, заданной описанием: на разных интервалах график этой функции выглядит по-разному, то есть состоит из отдельных кусочков. А дальше – графическое решение.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Применим метод интервалов для модулей. Уравнение равносильно совокупности систем:
Мы сделали так, потому что при оба модуля раскрываем с противоположным знаком:
Заметим, что если уравнение не выполняется ни при каких
Решим графически полученную совокупность.
Рассмотрим функцию такую, что:
Для функции ось ординат – вертикальная асимптота.
Уравнение имеет ровно два корня при или
Вообще задачи с параметрами, как правило, можно решать многими способами.
4. И наконец, довольно сложное уравнение с тремя модулями. Нам придется раскрывать все эти модули по определению, рассматривая 4 случая. Но ничего страшного здесь нет – просто аккуратность. А потом мы разобьем координатную плоскость (х; а) на области и в каждой из областей построим график уравнения. Кто знаком с методом областей – тот легко с этим справится.
При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три различных решения
2) Пусть тогда Получим:
Изобразим полученную совокупность условий в координатах
Получим области I — IV, соответствующие
Получили график уравнения.
Уравнение имеет ровно 3 решения, если значение a соответствует одной из точек пересечения прямых: точка A, B, С или D. В остальных случаях уравнение имеет ровно 4 решения.
5. (Резервный день) Найти все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы два различных корня.
Исходное уравнение имеет хотя бы два различных корня, если уравнение
имеет хотя бы один корень
Если t = 0, то x = 0, тогда
Этот случай рассмотрим отдельно.
1) Случай уравнение
должно иметь хотя бы один положительный корень.
Если уравнение линейное, тогда
Пусть уравнение квадратное.
При этом должно выполняться условие
Решим третье неравенство системы:
возведем обе части в квадрат:
Объединив со случаем a = 2, получим:
Вернемся к случаю, когда – корень уравнения. Тогда Получим уравнение:
– уравнение имеет, кроме корня положительный корень подходит
Вот так в задачах ЕГЭ-2021 по математике можно применить в задачах с параметрами аналитический и графический способы, а также метод областей.
Конечно, это не все. Существует не менее 12 методов решения задач с параметрами. Мы изучаем их все на практике на Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ по математике.