Найдите сумму всех значений параметра а при которых уравнение имеет не менее двух корней

егэ — Уравнение с параметром

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^4+2x^3-4x^2-2ax+4a-a^2=0 имеет не менее трёх корней. Найдите все корни, которые получаются при единственном значении параметра a.

задан 10 Апр ’18 13:19

О каком единственном значении идёт речь в последней фразе? Наверное, там что-то другое имелось в виду. Сами корни тут легко выражаются через a.

1 ответ

Картинки не вставляются ,попробую написать так Решаем уравнение как квадратно относительно «a”

Получим а(1)=x^2 и а(2)=-x^2-2x+4 (дискриминант ) при решении получается произведение двух полных квадратов x+2)^2(x-1)^2)

Cтроим два этих графика в координатах аОХ

На первый вопрос ответ а€[0;5],

Второй вопрос что — то не понял, если понял, то ответ (из графика ) х=-2 при а=4 и х=1 при а=1

ЕГЭ (профиль) / (C6) Задача с параметром

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение:

Задание 1321

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых наибольшее значение функции $$f(x)= |x-a|-x^<2>$$ не меньше 1

Задание 1322

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых наименьшее значение функции $$f(x)=4ax+|x^<2>+6x+5|$$ больше, чем -24

Задание 1323

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых наименьшее значение функции $$f(x)=4x^<2>+4ax+a^<2>-2a+2$$ на множестве $$|x|\geqslant 1$$ не менее 6

Задание 1324

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых функция $$f(x)=x^<2>-2|x-a^<2>|-8x$$ имеет более двух точек экстремума

Задание 1325

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых функция $$f(x)=x^<2>-2|x-a^<2>|-4x$$ имеет хотя бы одну точку максимума

Задание 1326

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых среди значений функции $$y=\frac-2x+a><6+x^<2>>$$ есть ровно одно целое число

Задание 1327

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых график функции $$f(x)=x^<2>-3x+2-|x^<2>-5x+4|-a$$

Задание 1328

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых множество значений функции $$y=\frac+2ax+a^<2>+1>$$ содержит отрезок $$[0;1]$$

Задание 1329

Найдите все такие значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$(4x-x^<2>)^<2>-32\sqrt<4x-x^<2>>=a^<2>-14a$$ имеет хотя бы одно решение

Задание 2503

Найдите все а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень: $$\left|x-2\right|+\left|x\right|-ax=2(a-1)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 2949

Найдите все значения параметра b, при которых система $$ \left\<\beginx=-|b-y^<2>|\\ y=a(x+b^<2>)\end\right.$$ имеет решение при любом значении параметра а.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Текстовое решение пока отсутствие. Вы можете посмотреть видео подробного решения в начале варианта.

Задание 3039

При каких значениях параметра a среди решений неравенства $$\log_<2>(x-100)-\log_<\frac<1><2>>\frac<|x-101|><105-x>+\log_<2>\frac<|x-103|(105-x)>> a$$ содержится единственное целое число?

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3163

Найдите все а, при каждом из которых уравнение $$3*2^+\frac<3><2^>+a(18-x^<2>)=6(a^<2>+2)$$ имеет ровно одно решение

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Текстовое решение временно отсутствует, вы можете найти его в видео в начале варианта

Задание 3209

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство $$\frac-4x-5>-4x-5>\geq1$$ имеет ровно четыре целочисленных решения. Для каждого такого a укажите эти решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3334

Найдите все значения a, при каждом из которых система $$\left\<\beginx\sin a-y\cos a+3\sin a+\cos a=0\\ 2x+y-1=0\end\right.$$ имеет решение (x;y) в квадрате $$-4\leq x\leq -1 , 2\leq y\leq 5$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3381

Найдите все значения параметра a, при которых существует решение уравнения: $$|x|+|ax+2a-8|=4$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3429

Найдите все значения параметра р, при каждом из которых система уравнений имеет два различных решения: $$\left\<\begin(y-1)^<2>=x-|x|\\(x-p)^<2>+2p+y=25\end\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3666

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение $$\lg(1-x)+\lg(a^<2>-x^<2>)=\lg(x-a)^<2>$$ имеет ровно один корень.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3865

Найдите все значение параметра a , при которых система $$\left\<\begin9x^<2>-6xy+y^<2>+6x-13y+3=0\\13x^<2>+6xy+10y^<2>+16x+2y-4ax-6ay+a^<2>-2a+3=0\end\right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4022

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений $$\left\<\beginx^<2>-2xy-3y^<2>=8\\2x^<2>+4xy+5y^<2>=a^<4>-4a^<3>+4a^<2>-12+\sqrt<105>\end\right.$$имеет хотя бы одно решение.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Так как обы минимальных значения больше нуля, то сама функция меньше нуля быть не может, отсюда (1) не имеет решений, и ответом будет только промежутки с (2)

Задание 4192

Найти все значения параметра $$a$$, при каждом из которых существует хотя бы одно $$x$$, удовлетворяющее условию: $$\left\<\beginx^<2>+(5a+2)x+4a^<2>+2a<0\\x^<2>+a^<2>=4\end\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4400

Найти все значения параметра a, при каждом из которых существует хотя бы одно x, удовлетворяющее системе уравнений: $$\left\<\begin|x^<2>-5x+4|-9x^<2>-5x+4+10x|x|=0\\x^<2>-2(a-1)x+a(a-2)=0\end\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

2. $$\left\<\begin1\leq x_<1>\leq4\\1\leq x_<2>\leq4\end\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\<\begin1\leq a\leq4\\1\leq a-2\leq4\end\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\<\begin1\leq a\leq4\\3\leq a\leq6\end\right.$$

Общим решением будет объединение: $$a\in<-1>\cup[1;6]$$

Задание 4577

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4776

При каких значениях параметра p система $$\left\ <\beginx^<2>+2px+3p^<2>+3p+3\leq 3\sin y — 4\cos y\\ 0\leq y\leq 2\pi \end\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4823

Найдите все значения параметра а при каждом из которых система $$\left\<\begin1-\sqrt<|x-1|>=\sqrt<7|y|>\\49y^<2>+x^<2>+4a=2x-1\end\right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Тогда система примет вид : $$\left\<\beginm+n=1\\m^<4>+n^<4>=-4a\end\right.(*)$$. Если пара чисел $$(m_<0>;n_<0>)$$ является решением системы (*), то пара $$(n_<0>; m_<0>)$$ также её решение :

1) Пусть $$m_<0>\neq n_<0>, m_<0>, n_<0>>0$$. Тогда $$\left[\begin\left\<\begin\left | x-1 \right |=m_<0>^<2>\\7\left | y \right |=n_<0>^<2>\end\right.\\\left\<\begin\left | x-1 \right |=n_<0>^<2>\\7\left | y \right |=m_<0>^<2>\end\right.\end\right.(**)$$. Каждая система совокупности имеет четыре решения, тогда данная система имеет 8 различных решений , что не удовлетворяют условию задачи .

2) Пусть одно из значений $$m_<0>$$ или $$n_<0>$$ равно нулю, тогда пары (0;1) и (1;0)-решения системы(*), -4a=1, откуда $$a=-\frac<1><4>$$ . В этом случае совокупность (**) примет вид :

$$m_<0>=\frac<1><2>$$, $$a=-\frac<1><32>$$ и система (*) имеет одно решение $$(\frac<1><2>;\frac<1><2>)$$. В Этом случае совокупность (**) примет вид :

Докажем, что при $$a=-\frac<1><4>$$ и $$a=-\frac<1><32>$$ других, кроме найденных решений, данная система не имеет .

Тогда $$m^<4>+n^<4><m+n$$, т.е. $$m^<4>+n^<4><1$$, что противоречит второму уравнению системы . Следовательно, при $$a=-\frac<1><4>$$ других решений системы нет и $$a=-\frac<1><4>$$ удовлетворяет условию .

Задание 4867

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $$a(2\log_ <2>(|x|+2) — a -3)\sqrt <\log_<2>(|x|+2) -a +2>=0$$ имеет ровно два различных корня

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1)$$a\neq 0$$ — иначе получаем 0 = 0, и, следовательно, множество корней

2)Пусть $$\log_ <2>(|x|+2) = $$ y при этом будет строго больше 1, так как $$|x|+2 \geq 2 \Rightarrow \log_ <2>(|x|+2)\geq 1$$ при всех х, и если y равен единице, то x = 0 и мы получаем всего один корень. Так же получаем ОДЗ с учетом корня четной степени: $$y \geq a-2$$

Если мы имеем какой-либо корень y=m, то, из-за модуля, при обратной замене мы получим два корня по х. Следовательно, чтобы выполнялось условия существования именно двух корней по x, один корень по y не должен входить в ОДЗ. Отсюда 2 случая:

В результате получим: $$a\in (-1;3) \cup [7;+\infty )$$

Задание 4918

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение $$x^<2>-4x-12=2|x-a+2|-16$$ имеет ровно три различных решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Перенесем -16 влево: $$x^<2>-4x-12+16=2|x-(a-2)|\Leftrightarrow $$ $$(x-2)^<2>=2|x-(a-2)|$$ Рассмотрим графики функций: $$f(x)=(x-2)^<2>$$ и $$g(x)=2|x-(a-2)|$$. В первом случае представлена парабола с вершиной в точке (2;0), во втором случае график модуля (галочка) с вершиной в точке (a-2 ; 0). Данные фукциии имеют в зависимости от параметра а от двух до четырех пересечений. Нам необходимо три. Рассмотрим все возможные случаи:

Задание 4965

Найдите все значения параметра , при каждом из которых наименьшее значение функции $$y=4x^<2>-4ax+(a^<2>-2a+2)$$ на отрезке $$0\leq x\leq2$$ равно 3.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 5014

Найдите все $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\log<\frac<1,2x><\pi>>(2\sin^<2>x-4a\sin x-\sin x+2a+1)=0$$ имеет не более трёх корней, входящих в отрезок $$[-\frac<\pi><2>;\frac<5\pi><2>]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\sin x=\frac<1><2>$$ дает с учетоа ОДЗ 2 корня: $$(\frac<\pi><6>;\frac<13\pi><6>)$$, значит $$\sin x=2a$$ не более одного отличного решения $$\Rightarrow$$ $$2a\in(-\infty;-1]\cup<\frac<1><2>>\cup(1;+\infty)$$ $$\Rightarrow$$ $$a\in(-\infty;-\frac<1><2>]\cup<\frac<1><4>>\cup(\frac<1><2>;+\infty)$$

Задание 5061

При каких значениях параметра система уравнений $$\left\<\begin(x^<2>+(y-7)^<2>-9)((x-4)^<2>+(y-3)^<2>-1)=0\\ax-y-4a-2=0\end\right.$$ имеет четыре решения?

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(*) x^<2>+(y-7)^<2>=9$$ — окружность с центром $$O_<1>(0;7)$$ и радиусом $$R=3$$

$$(**)(x-4)^<2>+(y-3)^<2>=1$$ – окружность с центром $$O_<2>(4,3)$$ и радиусом $$R=1$$

$$y=a(x-4)-2$$ — пучок прямых ,проходящих через точку $$A(4,-2)$$

Пусть $$B_<1>C$$ — точки касания прямой $$y=a(x-4)-2$$ с окружностью (**) с , а, $$D_<1>E$$ — с окружностью (*)

Система будет иметь 4 решения , если прямая будет пересекать окружности в 4 точках. На рисунках слева оранжевым цветом выделены пограничные случаи расположения прямой в таком случае (4 решения от момента касания в точке D до момента касания в точке C при повороте прямой против часовой стрелки ,не включая данные значения)

Найдем соответствующие значения параметра a .Воспользуемся формулой нахождения расстояния от точки с координатами $$(x_<0>,y_<0>)$$ до прямой $$ax+by+c=0$$: $$p=\frac<\left | ax_<0>+by_<0>+c \right |><\sqrt+b^<2>>>$$

С другой стороны , расстояние от точки $$O_<1>$$ до прямой $$y=a(x-4)-2$$ равно радиусу окружности (*) , откуда $$\frac<\left | 4a+9 \right |><\sqrt+1>>=3\Rightarrow$$ $$(4a+9)^<2>=9(a^<2>+1)\Leftrightarrow$$ $$16a^<2>+72a+81=9a^<2>+9\Leftrightarrow $$$$7a^<2>+72a+72=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begina=-\frac<36+6\sqrt<22>><7>\\a=-\frac<36-6\sqrt<22>><7>\end\right.$$

Поскольку касание происходит в точке D, то угловой коэффициент прямой в случае касания в точке D должен быть меньше, чем в случае касания в точке E, поэтому $$a=-\frac<36+6\sqrt<22>><7>$$

Аналогичным образом находим значения параметра в случае касания с окружностью (**):

Касание прямой с окружностью в точке C соответствует значению $$a=-2\sqrt<6>(a=2\sqrt<6>$$ — касание в точке B). Окончательно получим , что система имеет 4 решения при $$a_<1,2>=-\frac<36+6\sqrt<22>><7>;-2\sqrt<6>.$$

Задание 5145

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $$|a^<2>+3-x|+|x-a-2|+|x-3a-1|=a^<2>-a+1$$ имеет хотя бы один корень.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Следовательно , в цепочке (1) все неравенства обращаются в равенства. Это возможно лишь в том случае , когда $$a^<2>+3-x$$ и $$x-a-2$$ неотрицательны ( так как их сумма положительна) , а $$x-3a-1=0$$. Получим систему условий: $$\left\<\beginx-3a-1=0\\a^<2>+3-x\geq 0\\x-a-2\geq 0\end\right.(2)$$

Подставим значение $$x=3a+1$$ из первого неравенства системы (2) во второе и третье:

$$\left\<\begina^<2>-3a+2\geq 0\\2a-1\geq 0\end\right.\Rightarrow$$ $$\left\<\beginx \in (-\infty; 1]\cup [2;+\infty )\\a\geq 0,5\end\right.\Rightarrow$$ $$a\in [0,5; 1]\cup [2;+\infty )$$

Задание 5198

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение $$(x^<2>-5+\ln(x+a))^<2>=(x^<2>-5)^<2>+\ln^<2>(x+a)$$ имеет единственное решение на отрезке $$[0;3]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

ОДЗ: $$x+a>0 \Leftrightarrow x>-a$$

$$\sqrt<5>\in [0; 3]$$, тогда есть три возможных варианта ($$x_<2>\in$$ ОДЗ при всех a)

1) $$x_<1>\notin$$ ОДЗ и $$x_<2>\in [0 ;3]$$

$$\left\<\begin\sqrt<5>\leq -a \\0\leq1-a\leq 3 \end\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\<\begina\leq -\sqrt <5>\\-2\leq \leq 2\end\right.\Leftrightarrow$$ $$\varnothing$$

2) $$x_<1>\in$$ ОДЗ и $$x_<2>\notin [0 ;3]$$

Объединим полученные результаты: $$a\in (-\sqrt<5>;-2)\cup (1-\sqrt<5>)\cup (1; +\infty)$$

Задание 5245

Найдите все значения а, при каждом из которых система $$\left\<\beginx^<2>+y^<2>-2ax+2ay\leq0\\x^<2>+y^<2>+6ax+8ay\leq1-10a\end\right.$$ имеет ровно одно решение.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

f(x)-окружность с центром (a;-a) и $$r=\sqrt<2>|a|$$

g(x)-окружность с центром (-3a;-4a) и $$r=|5a-1|$$??

Чтобы было одно решение, расстояние между центральным равно сумме радиусов(т.к. окружности касается)

$$\sqrt<25a^<2>>=\left | 5a-1 \right |+\sqrt<2>\left | a \right |$$

Задание 5293

Найдите все а, при каждом из которых уравнение $$4^<1-x^<2>>-3a^<2>\cdot2^<1-x^<2>>+3a^<3>-a^<2>=0$$ имеет ровно два корня

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

В исходном уравнении $$4^<1-x^<2>>-3a^<2>*2^<1-x^<2>>+3a^<2>-a^<2>=0$$ выполним замену переменной $$t=2^<1-x^<2>>$$. Получим уравнение $$t^<2>-3a^<2>t+3a^<3>-a^<2>=0$$. В этом уравнении $$t>0$$

Поскольку $$1-x^<2>\leq 1$$ имеем : $$2^<1-x^<2>>\leq 2\Leftrightarrow t\leq 2$$. Если $$x_<0>\neq 0$$ является корнем исходного уравнения, то и $$-x_<0>$$-также является его корнем. Следовательно, преобразовательное уравнение должно иметь ровно один корень в промежутке (0;2]. Более того, если 2- корень преобразованного уравнения , то исходное уравнение имеет нечётное количество корней , т.к. равенство $$2^<1-x^<2>>=2$$ выполняется только при $$x=0$$

1)Преобразованное уравнение имеет единственный корень при $$D=0$$, т.е. $$D=9a^<4>-12a^<3>+4a^<2>=a^<2>(3a-2)^<2>=0$$

При $$a=0$$ получаем $$t=0\notin (0;2)$$ . При $$a=\frac<2><3>$$ получаем $$(t-\frac<2><3>)^<2>=0\Leftrightarrow t=\frac<2><3>$$-решение задачи

2) Обозначим $$f(t)=t^<2>-3a^<2>+3a^<3>-a^<2>$$ и рассмотрим теперь промежуток (0;2) для значений корня преобразованного уравнения. Обозначим $$f(t)=t^<2>-3a^<2>t+3a^<3>-a^<2>$$

Для того, чтобы единственный корень этого уравнения попадал в указанный промедуток , досаточно, чтобы a\neq 0

Остается рассмотреть случай $$a=\frac<1><3>$$. В этом случае преобразованное уравнение принимает

Вид $$t(t-\frac<1><3>)=0$$, откуда $$t=\frac<1><3>$$-единственный корень в промежутке (0;2) , т.е.

Задание 5341

Найдите все значения параметра $$3a(a-7)-8(a-7)(2^+1)\leq (8x^<2>-16x)(2^+1)-3ax^<2>+6ax$$ , при каждом из которых неравенство имеет решения на промежутке $$[-1;0)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Преобразуем данное неравенство: $$(a-7)(3a-8(2^+1))\leq 8x(x-2)(2^+1)-3ax(x-2) \Leftrightarrow$$$$(a-7)(3a-8(2^+1))\leq x(x-2)(8(2^+1)-3a) \Leftrightarrow$$$$(a-7)(3a-8(2^+1)) + x(x-2)(3a-(2^+1))\leq 0 \Leftrightarrow$$$$(8(2^+1)-3a)(x^<2>-2x+a-7) \geq 0 (1)$$

Рассмотрим по отдельности обе скобки и представим их как функции $$a(x)$$:

$$8(2^+1)-3a = 0\Leftrightarrow$$$$a=\frac<2^><3>+\frac<8><3>$$ — график степенной функции

$$x^<2>-2x+a-7=0 \Leftrightarrow$$$$a=-x^<2>+2x+7\Leftrightarrow$$$$a=-(x^<2>-2x-7)\Leftrightarrow$$$$a=-(x^<2>-2x+1-1-7)\Leftrightarrow$$$$a=-(x-1)^<2>+8$$ — график квадратичной функции.

По условии задачи необходимо, чтобы решения были на промежутке $$[-1;0)$$, тогда так же построим графики $$x=-1 ; x=0$$ и графики полученных функции в системе координат AoX.

Найдем пересечение степенной функции с прямыми $$x=-1 ; x=0$$:

Как видим по графикам мы получили три области, необходимо проверить, точки каких областей удовлетворяют неравенству (1). Для этого будем брать из каждой области точку, и подставлять координаты в наше неравенство:

1) Возьмем точку (0;0) : $$(8(2^<0>+1)-3*0)(0^<2>-2*0+0-7) \geq 0 \Leftrightarrow$$$$16*(-7)\geq 0$$ — неравенство неверно, следовательно, первая область не подходит

2) Возьмем точку (0;6): $$(8(2^<0>+1)-3*6)(0^<2>-2*0+6-7) \geq 0 \Leftrightarrow$$$$-2*(-1)\geq 0$$ — неравенство верно, следовательно, вторая область подходит и по а она находится в промежутке [4;7) (7 не входит, так как по условию $$x \neq 0$$)

3) Возьмем точку (0;8) : $$(8(2^<0>+1)-3*8)(0^<2>-2*0+8-7) \geq 0 \Leftrightarrow$$$$-8*1 \geq 0$$ — неравенство неверно, следовательно, третья область не подходит

Итоговый ответ: $$a \in \left [ 4 ; 7 \right )$$

Задание 5389

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение $$(|2x+1-a|+|2x+1+a|-2a)(|x^<2>-2x+a|+|x^<2>-2x-a|-2a)=0 $$имеет ровно четыре целых решения

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Рассмотрим каждую скобку по отдельности. Так как произведение равно нулю, когда один из множителей равно нулю, то итоговым решением будет совокупность решений каждой скобки:

A) Раскроем модули. Модули равны 0, если $$2x+1=\pm a$$. Отметим данные значения на координатной прямой, рассмотрим, какие знаки принимают подмодульные выражения:

Итоговой областью решения будет множество точек объединения получившихся промежутков (фиолетовая область):

Наим необходимо, чтобы было ровно 4 целых значения х. Построим прямую $$a=0,5$$ Как видим, целых абсцисс, попавших в пересечение прямой и области решения всего 2 ( 0 и 2). Построим прямую $$a=1$$. Как видим, целых абсцисс получаем 4 (-1 ; 0 ; 1 ; 2). Построим прямую $$a=3$$, там уже будет 6 целых абсцисс (-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3). Следовательно, решением будет $$a \in [1 ; 3)$$

Задание 6045

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$x^<4>-2x^<3>-(2a+3)x^<2>+2ax+3a+a^<2>=0$$ имеет решения, и определите то решение, которое получается только при единственном значении параметра a .

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Преобразуем данное уравнение относительно переменной а (х будет параметром): $$x^<4>-2x^<3>-(2a+3)x^<2>+2ax+3a+a^<2>=0\Leftrightarrow$$$$x^<4>-2x^<3>-2ax^<2>+3x^<2>+2ax+3a+a^<2>=0\Leftrightarrow$$$$a^<2>+a(3+2x-2x^<2>)+x^<4>-2x^<3>-3x^<2>$$

Найдем корни данного уравнения:

Рассмотрим график функции $$a_<1>(x)$$, раскроем модуль:

Рассмотрим график функции $$a_<2>(x)$$, раскроем модуль:

Построим графики функций $$a_<1>(x);a_<1>(x)$$:

Как видим, значения $$a$$ начинаются с -4 (вершина параболы $$a_<2>(x)$$). С учетом свойств квадратичной функции, получаем, что $$a \geq -4$$. При этом значение х, пределяемое единственным значением а равно -1,5 (абсцисса точки пересечение графиков обеих квадратичных фукнций)

Задание 6092

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$a^<2>+8|x-5|+2\sqrt-10x+29>=2a+|x-2a-5|$$ имеет хотя бы один корень.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$a ^<2>+8\left | x-5 \right |+2\sqrt-10x+29>=2a +\left | x-2a -5 \right |$$

$$a ^<2>+8\left | y \right |+2\sqrt+4>=2a +\left | y-2a \right |$$

$$2\sqrt+4>= 2a -a ^<2>-8\left | y \right |+\left | y-2a \right |$$

Рассмотрим обе части уравнения как отдельные функции g(y) и f(y):

$$g(y)=2\sqrt+4>$$ — график данной функции — ветви параболы

При этом минимальное значение будет: $$g_=g(0)=2\sqrt<0+4>=4$$

Рассмотрим функцию f(y): так как там есть модуль и параметр, то будет несколько вариантов раскрытия:

$$f(g)=2a -a ^<2>-8\left | y \right |+\left | y-2a \right |$$ — кусочно-линейная функция

а)Пусть $$2a \geq 0$$, тогда

1)$$y\leq 0$$ $$f(y)=2a -a ^<2>+8y-y+2a =7y+4a -a ^<2>$$ — синий цвет

2)$$y\in (0 ; 2a )$$ $$f(y)=2a -a ^<2>-8y-y+2a =-9y+4a -a ^<2>$$ — зеленый цвет

3) $$y> 2a$$ $$f(y)=2a -a ^<2>-8y+y-2a =-7y-a ^<2>$$ — красный цвет

Схематичное изображение графика:

Как видим максимальное значение в координате $$y=0$$: $$f_=f(0)=2a =a ^<2>+\left | -2a \right |$$

Схематичное изображение графика:

И тут максимальное значение в координате $$y=0$$: $$f_=f(0)$$. То есть, независимо от значения $$a$$ максимальное значение при $$y=0$$.

Тогда , чтобы были решения $$g_\leq f_$$ (графическая интерпритация):

$$4\leq 2a -a ^<2>+\left | -2a \right |\Leftrightarrow$$$$a ^<2>-2a -\left |- 2a \right | +4\leq 0$$

1)$$-2a \geq 0\Rightarrow a \leq 0$$. Тогда $$a ^<2>-2a +2a +4\leq 0\Rightarrow a ^<2>+4\leq 0\Rightarrow$$ решений нет

2) $$-2a < 0\Rightarrow a > 0$$. Тогда $$a ^<2>-2a -2a +4\leq 0\Rightarrow (a -2)^<2>\leq 0\Rightarrow a =2$$

Задание 6139

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Рассмотрим монотонность $$y_<2>$$:

Пусть $$x^<2>-ax-3a+2=f$$. Тогда $$y_<1>=-2f$$. Получаем, если $$f>0$$,то $$y_<2>>0$$, но $$y_<1><0$$ ,и наоборот . Тогда $$y_<1>=y_<2>$$ только при условии , что $$f=0$$.

Задание 6187

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\<\beginx^<2>+5x+y^<2>-y-|x-5y+5|=52\\ y-2=a(x-5)\end\right.$$ имеет ровно два решения

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Рассмотрим варианты раскрытия модуля:

1) При $$x-5y+5\geq 0\Leftrightarrow y\leq \frac<5>+5$$

$$(x+2)^<2>+(y+2)^<2>=65$$-окружность с центром (-2 ;-2) и радиусом $$\sqrt<65>$$

2) При $$x-5y+5<0\Leftrightarrow y>\frac<5>+5$$

$$(x+3)^<2>+(y-3)^<2>=65$$ — окружность с центром $$(-3;3)$$ и радиусом $$\sqrt<65>$$

При этом $$g: y=a(x-5)+2$$-прямая, проходящая через точку

Построим график обеих функций:

Чтобы прямая y=a(x-5)+2 имела 2 точки, то :

$$a \in (b_<1>; \frac<1><5>)$$, где $$b_<1>$$-коэффициент касательной $$y=b_<1>x+n_<1>(1)$$k и $$a \in (\frac<1><5>;b_<2>)$$, где $$b_<2>$$- коэффициент касательной $$y=b_<2>x+n_<2>(2)$$(в обоих случаях касательная в точке (5;2))

1) Посмотрим радиус $$O_<2>A$$ . Задаем коэффициент k данной прямой $$f=\frac<4><7>$$, при этом $$y=b_<1>x+n_<1>\perp O_<1>A\Rightarrow k*b_<1>=-1\Rightarrow b_<1>=-\frac<7><4>$$

2) Аналогично $$O_<2>A$$: $$k=-\frac<1><8>\Rightarrow b_<2>=8$$

В итоге получаем: $$a\in (-\frac<7><4>; 8)$$

Задание 6234

Найти все значения параметра $$\alpha$$, $$\pi<\alpha<\pi$$ , $$\left\<\begin(4-x^<2>-y^<2>)(y^<2>-4x+28)=0 \\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2\end\right.$$ при которых система уравнений имеет ровно три решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Рассмотрим систему (1) :

$$x \cos \alpha +y \sin \alpha =2\Leftrightarrow y=\frac<-x \cos \alpha +2><\sin \alpha >=-ctg \alpha *x+\frac<2><\sin \alpha >$$. Построим данную прямую . Она смешена по Oy на $$\frac<2><\sin \alpha >$$

Пусть $$\angle OAB=\alpha$$, тогда $$\angle BCO=90-\alpha$$ , и смежный с ним $$\alpha -90$$. Для прямой $$y=kx+b; k=tg \beta$$ ,где $$\beta$$-угол между прямой и Ox: $$tg(\alpha -90)=-ctg \alpha$$

Длина OB из $$\Delta ABO: OA*\sin \alpha =\frac<2><\sin \alpha >*\sin\alpha =2$$ Т.е. независимо от $$\alpha$$ , длина OB всегда что составляет радиус окружности $$x^<2>+y^<2>=4$$. Т.е. $$y=-ctg \alpha *x+\frac<2><\sin \alpha >$$ при всех $$\alpha$$ — касательная ,следовательно, одно решения есть.

Рассмотрим систему (2):она должна иметь ровно 2 решения :

Учитываем ,что: $$\cos \alpha \neq 0\Leftrightarrow \alpha \neq \frac<\pi><2>+\pi n , n \in Z$$

$$y^<2>\cos \alpha -8+4y \sin \alpha +28 \cos \alpha =0$$

Чтобы было два решения, дискриминант должен быть строго больше 0:

$$D=(4 \sin \alpha )^<2>-4 \cos \alpha (28 \cos \alpha -8)>0$$

$$16 \sin^<2>\alpha -16 \cos\alpha (7\cos\alpha -2)>0$$

$$1-\cos^<2>\alpha -7 \cos ^<2>\alpha +2 \cos \alpha >0$$

Получаем: $$\left\<\begin\cos \alpha >-\frac<1> <4>& & \\\cos \alpha <\frac<1> <2>& &\end\right.$$. Учтем ,что $$\alpha \in (-\pi; \pi) \alpha \neq \frac<\pi><2>+\pi n$$

Задание 6282

При каких значениях параметра a уравнение $$\log_ <5>x +4(1-a^<2>)\log_ <25x>5 -2=0$$ имеет два корня, расстояние между которыми больше 24/5?

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Пусть $$a=\pm 1$$,тогда $$\log_<5>x=2\Leftrightarrow x=25$$ — один корень, что не устраивает условие задания

Так как по условию задания $$\left | x_<1>-x_ <2>\right |>\frac<24><5>$$ тогда: $$\left | 5^<2a>-5^ <-2a>\right |\Leftrightarrow$$. Пусть $$5^<2a>=y>0$$, тогда:

С учётом , что $$a\neq \pm 1$$, получаем: $$a\in (-\infty ;-1)\cup (-1; -\frac<1><2>)\cup (\frac<1><2>; 1)\cup (1 ;+\infty )$$

Задание 6330

Найдите все значения параметра a, при которых система $$\left\<\begin\log_ <2>(3-x+y)=\log_ <2>(25-6x+7y)\\ y+2=(x-2a)^<2>+a+2x\end\right.$$ имеет ровно два решения

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Рассмотрим область определения данной системы. Так как даны логарифмы, то: $$\left\<\begin3-x+y>0\\25-6x+7y>0\end\right.\Rightarrow$$ $$\left\<\beginy>x-3\\y>\frac<6x-25><7>\end\right.$$ (желтым выделено решение для первого неравенства, синим — для второго, серым — их пересечение)

Рассмотрим первое уравнение системы:

Построим график данной функции с учетом области определения:

Как видим, чтобы было два пересечения, x должен быть больше 4 (иначе часть прямой лежит вне области определения)

Подставим (1) во второе:$$2+2x+1=(x-2a)^<2>+a+2x\Leftrightarrow$$$$(x-2a)^<2>=3-a$$

Так как число в квадрате, то правая часть уравнения должна быть больше нуля (если равна нулю, то корень всего один): $$3-a>0\Rightarrow a<3$$

Рассмотрим график второй функции:

Найдем вершину параболы:

Рассмотрим возможное расположение графика с учетом области определения:

Как видим, координата y вершины параболы должна быть больше -8, а х больше -3 (если будет левее, то отно пересечение точно не попадет в область определения) :

С учетом того, что $$a<3$$, получаем: $$a \in (-1;3)$$

Задание 6377

Найдите все значения a, при которых система уравнений $$\left\<\begin|x|+|y|+|2y-3x|=12\\ x^<2>+y^<2>=a \end\right.$$ имеет ровно две действительные пары решений

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

g — окружность с центром в начале координат и радиуса $$\sqrt\Rightarrow a>0$$

Рассмотрим график f:

При $$2y-3x\geq 0\Leftrightarrow$$ $$y\geq 1,5 x$$ получили $$\left | x \right |+2\left | y \right |+ 2y-3x =12$$

В данном случае будет 3 части плоскости:

1)$$\left\<\beginx\geq 0\\y\geq 0\end\right.\Rightarrow$$ $$x+2y+2y-3x=12\Leftrightarrow$$ $$y=3+0,5x$$

2)$$\left\<\beginx<0\\y\geq 0\end\right.\Leftrightarrow$$ $$-x+2y+2y-3x=12\Leftrightarrow$$ $$y=3+x$$

При $$2y-3x<0\Leftrightarrow y<1,5x$$ получим так же 3 части плоскости:

1)$$\left\<\beginx\geq 0\\y\geq 0\end\right.\Leftrightarrow$$ $$x+y-2y+3x=12\Leftrightarrow x=3$$

2)$$\left\<\beginx\geq 0\\y<0\end\right.\Leftrightarrow$$ $$x-y-2y+3x=12\Leftrightarrow y=-3+x$$

Построим график данной функции .

Очевидно , что 2 точки будет если пройдет через (C) и если касается в (B)

Найдем координаты (C) :$$y=3+0,5=4,5$$.

Задание 6424

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $$a^<2>|a+\frac>|+|x+1|=1-a^<3>$$ имеет не менее четырех различных решений, являющихся целыми числами?

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Так как слева сумма модулей, то справа должно быть число неотрицательное :$$1-a^<3>\geq 0\Leftrightarrow$$ $$a^<3>\leq 1\Leftrightarrow$$ $$a\leq 1$$

Преобразуем уравнение :$$\left | x+1 \right |=-a^<2>\left | a+\frac> \right |+(1-a^<3>)$$

$$\left | x+1 \right |=-\left | a^<3>+x \right |+(1-a^<3>)$$

$$f=\left | x+1 \right |$$ — график модуля смещённый на 1 по Ox влево.

$$f=-\left | a^<3>+x \right |+(1-a^<3>)$$ — график $$\left | x \right |$$ смещённый на $$a^<3>$$ по Ox влево или право и $$1-a^<3>$$ по Oy вверх или низ и перевернуты (с учетом $$a\leq 1$$, то по Oy вверх и $$a^<3>$$ вправо от $$x=-1$$)

Начертим график функции:

Есть 2 случая удовлетворения условию задачи :

Задание 6472

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\<\beginy(ax-1)=2|x+1|+2xy\\ xy+1=x-y\end\right.$$ имеет решения

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Приравняем правые части функций: $$\frac<2\left | x+1 \right |>=\frac$$. Раскрываем модуль:

1) $$x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1\Leftrightarrow$$$$2(x+1)^<2>=(ax-1-2x)(x-1)\Leftrightarrow$$$$2x^<2>+4x+2=ax^<2>-ax-x+1-2x^<2>+2x\Leftrightarrow$$$$x^<2>(a-4)+x(-a-3)-1=0$$. Чтобы были корни, дискриминант должен быть неотрицательным: $$D=a^<2>+6a+9+4a-16=a^<2>+10a-7\geq 0$$. Так же корень из дискриминанта должен находится: $$D_<1>=100+28=128$$. Получаем: $$a_<1,2>=\frac<-10\pm \sqrt<128>><2>=-5\pm 4\sqrt<2>$$

$$a \in (-\infty ; -5-4\sqrt<2>]\cup [-5+4\sqrt<2>;+\infty )(*)$$ — условие возможного существованиях корней.

При этом имеем параболу $$f(x)=x^<2>(a-4)+x(-a-3)-1$$. Рассмотрим случай, когда ни один корень не попадает в $$x\geq -1$$ (противоположный необходимому нам. То есть, найдя решения для данного случая, нам необходимо будет взять оставшийся промежуток. Например: пусть решением получим$$(0;1)$$, тогда для нахождения решений, чтобы хотя бы один корень попадал в промежуток от -1, мы возьмем $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$$. Тогда абцисса вершины должна быть меньше -1, т.е. $$\frac<2(a-4)><-1$$ и если ветви вверх, то $$f(-1)>0$$ ветви вниз , то $$f(-1)<0$$

Как видим, если ветви направлены вверх и f(-1)<0, то будет точно один корень, который попадет в промежуток от -1 до плюс бесконечности ($$x_<2>$$)

Как видим, если ветви направлены вниз и f(-1)>0, то будет точно один корень, который попадет в промежуток от -1 до плюс бесконечности ($$x_<2>$$)

Пересечений нет, значит случай невозможен и хотя бы один корень $$\geq -1$$. Тогда с учетом (*): $$a\in (-\infty ; -5-4\sqrt<2>]\cup [-5+4\sqrt<2>; +\infty )$$

2) $$x+1<0\Rightarrow x<-1$$. Аналогично п.1

$$-2(x+1)^<2>=(ax-1-2x)(x-1)\Leftrightarrow$$$$-2x^<2>-4x-2=ax^<2>-ax-x+1-2x^<2>+2x\Leftrightarrow$$$$ax^<2>+x(-a+5)+3=0\Leftrightarrow$$$$D=a^<2>-100+25-12a=a^<2>-22a+25\geq 0\Leftrightarrow$$$$D=484-100=384\Leftrightarrow$$$$a_<1,2>=\frac<22\pm \sqrt<384>><2>=11\pm 4\sqrt<6>\Leftrightarrow$$$$a \in (-\infty ; 11-4\sqrt<6>]\cup [11+4\sqrt<6>;+\infty )$$

Имеем параболу: $$f(x)=ax^<2>+x(5-a)+3$$

Пусть оба корня $$>-1$$, тогда $$x_<0>\geq -1$$. И при ветвях вверх $$f(-1)\geq 0$$, при ветвях вних $$f(-1)\leq 0$$, т.е. $$\left\<\begina> 0\\a-5+a+3\geq 0\end\right.$$ и $$\left\<\begina <0\\a-5+a+3\leq 0\end\right.$$.Или $$a(2a-2)\geq 0$$. Тогда: $$\left\<\begin\frac<2a>\geq -1\\a(a-1)\geq 0\end\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\<\begin\frac<2a>\geq 0\\a(a-1)\geq 0\end\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\<\begin\frac<3a-5><2a>\geq 0\\a(a-1)\geq 0\end\right.$$

Т.е. $$a \in (-\infty ; 0]\cup [\frac<5><3>;+\infty )(3)$$ с учетом $$a \in (-\infty ; 11-4\sqrt<6>]\cup [11+4\sqrt<6>;+\infty )$$ и то, что промежуток (3) нас не удовлетворяет (мы должны взять наоборот $$(0;\frac<5><3>)$$ имеем:

Сравним $$4\sqrt<2>-5$$ и $$11-4\sqrt<6>$$:

Объединим с (*) , тогда

т.е. $$a \in (-\infty ;-5-4\sqrt<2>]\cup (0; +\infty )$$

Задание 6479

Найдите все значения параметра a, при которых неравенство $$x^<2>+4x+6a|x+2|+9a^ <2>\leq 0$$ имеет не более одного решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1. Если $$2-3a<0$$ , то есть $$a>\frac<2><3>$$, неравенство (1) не имеет решений (подходит под решение).

2. Если $$2-3a=0$$, $$a=\frac<2><3>$$ и неравенство (1) имеет одно рещение x=-2 (подходит под решение)

3. Если $$2-3a>0$$, неравенство (1) имеет множество рещений; в частности, этому множеству заведомо принадлежат значения $$x=-2\pm (2-3a)$$

Задание 6526

Найдите все значения параметра a при которых уравнение $$\sqrt[3]<\frac<1><2>x^<3>+x+1>+\sqrt[3]<-\frac<1><2>x^<3>+x-1>=\sqrt[3]$$ имеет ровно четыре корня

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Следовательно, $$\sqrt[3]=0\Leftrightarrow x=0$$ является корнем, значит надо еще три отличных от 0 корня.

Рассмотрим замену: пусть $$f(x)=\frac><2>+\frac<1>$$ и g(x)=t. g(x)=t – прямая, параллельная Ox. При этом f(x)-совмещенный график параболы и обратной пропорциональности. Исследуем график:

$$f(x)=0\Leftrightarrow$$ $$\frac+2><2x>=0\Leftrightarrow$$ $$x=-\sqrt[3]<2>$$

$$x=1$$ –точка минимума. При x=1: $$f(1)=\frac<1><2>+1=1,5$$.

При x=1: $$f(1)=\frac<1><2>+1=1,5$$. Построим эскиз :

Видим что при t<1,5-одно решение, при t=1,5-два решения , при t>1,5 – три решения.

Каждое пересечение при t<1,5 , дает одно решение, при t>1,5 даёт три решения и т.е. есть всегда 1(при t<0) , то нас не устраивает .

При t=1,5 будет 2 решения, да еще одно ( область t<0)-следовательно, в общем получим 3, что и нужно .

Задание 6573

При каких значениях $$x\neq 0$$ неравенство $$x^<2>(1-\fraca>+a^<2>>)-x(1-\fraca>+a^<2>>)\geq 0$$ выполняется при любых значениях a

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) При $$x \in (-\infty ;0)\cup [1; +\infty )(1)$$: $$f(x)>0\Rightarrow$$ $$g(x)>0$$ тоже. Тогда , чтобы выполнилось неравенство для всех a надо, чтобы трехчлен $$a^<2>-x^<2>a+x^<2>$$ (относительно переменной a) был всегда больше или равен $$0\Rightarrow D\leq 0$$:

$$D=x^<4>-4x^<2>\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x^<2>(x^<2>-4)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x \in [-2,2]$$. С учетом (1): $$x \in [-2;0)\cup [1;2]$$

2) При $$x \in (0;1), f(x)<0$$.Тогда и $$g(x)<0$$. Но у параболы вида $$f(a)=a^<2>-x^<2>a+x^<2>$$ ветви направлены вверх, то она не может быть меньше 0 при всех x. Следовательно , ответ $$x \in [-2;0)\cup [1;2]$$

Задание 6620

Найдите все значения параметра p, при которых уравнение $$3-2 \cos x=p(1+tg^<2>x)$$ имеет хотя бы один корень.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$3-2 \cos x=p(1+tg^<2>x)\Leftrightarrow$$ $$3-2\cos x=p*\frac<1><\cos ^<2>x>$$

$$\frac

<\cos ^<2>x>+2 \cos x-3=0\Leftrightarrow$$ $$2 \cos ^<3>x-3 \cos ^<2>x+p=0$$

Замена: $$\cos x=t \in [-1;0)\cup (0;1]$$

$$‘(t)=6t^<2>-6t=0\Leftrightarrow$$ $$6t(t-1)=0\Rightarrow$$ $$t=0-max, t=1-min$$

С учетом , что $$t \in [-1;0)\cup (0;1](1)$$ имеем следующие возможные расположения графика, при котором будет хотя бы одно решение из (1):

Рассмотрим график функции $$p=3t^<2>-2t^<3>$$.

Найдем экстремумы: $$‘(t)=6t-6t^<2>=0\Leftrightarrow$$ $$6t(1-t)=0\Rightarrow$$ $$t=0-min, t=1-max$$

Тогда $$p(0)=0; p(1)=1$$. При этом $$p(-1)=5$$. С учетом, что на промежутке от [-1;0) — убывает, а на (0;1] — возрастает, то $$p \in (0;5]$$

Задание 6668

Найдите все значения x , удовлетворяющие уравнению $$\log_<2>(a^<2>x^<3>-5a^<2>x^<2>+\sqrt<6-x>)=\log_<2+a^<2>>(3-\sqrt)$$ при любом значении параметра a .

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Рассмотрим (1): $$3-\sqrt=1\Leftrightarrow$$ $$2=\sqrt\Leftrightarrow x=5$$. Тогда : $$a^<2>5^<3>-5a^<2>*5^<2>+\sqrt<6-5>=1\Leftrightarrow$$ $$1=1$$ — верное при $$\forall a\Rightarrow x=5$$ — решение (в ОДЗ попадает)

Рассмотрим (2): $$2=2+a^<2>\Leftrightarrow$$ $$a^<2>=0\Leftrightarrow a=0$$, тогда нет смысла рассматривать , т.е. выполнение не при $$\forall a$$

Задание 6703

Найдите все значения параметра a , при которых система уравнений $$\left\<\begin3(\sqrt+|y|-3)(|x|+3|y|-9)=0\\ (x-a)^<2>+y^<2>=25\end\right.$$ имеет ровно три решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

(2): окружность радиуса 5 и центром (a;0). Построим график (1)

Тогда есть 3 случая, чтобы было 3 решения.

1) Проходит через С (1;1) и центр правее этой точки (А;B)$$\Rightarrow a=6$$ (красная окружность)

2) Проходит через (1;1) и центр левее (D,C,E- точки пересечения)$$\Rightarrow a=-4$$ (оранжевая)

3) Проходит через(0;3) ;(0;-3);(9;0) $$\Rightarrow a=4$$ (синяя)

Задание 6762

При каких значениях параметра a система $$\left\<\begin|x-a|+|y-a|+|a+1-x|+|a+1-y|=2\\ y+2|x-5|=6\end\right.$$ имеет единственное решение

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть m=y-a; n=x-a, тогда имеем

Рассмотрим раскрытие модулей:

a) $$m\leq 0$$: $$-2m+1=1+2n\Leftrightarrow$$ $$m=-n$$, с учетом, что $$n\leq 0$$ , то $$m=-n$$ при $$n=0$$ и $$m=0$$

b) $$m \in (0;1]$$: $$1=1+2n\Leftrightarrow$$ $$n=0$$

c) $$m \in (1;+\infty )$$: $$2m-1=1+2n\Leftrightarrow$$ $$m=n+1$$ при $$n\leq 0$$ – решений нет

2) $$0<n\leq 1$$:$$ 2-\left | n \right |-\left | 1-n \right |=1$$

a) $$m\leq 0$$: $$-2m+1=1\Leftrightarrow$$ $$m=0$$

b) $$0<m\leq 1$$: $$1=1\Rightarrow$$ решение все точки в квадрате

c) $$m>0$$: $$2m-1=1\Rightarrow$$ $$m=1$$ решений нет

3) $$n>1$$: $$2-\left | m \right |-\left | 1-n \right |=3-2n$$

a) $$m\leq 0$$: $$-2m+1=3-2n\Leftrightarrow$$ $$m=n-1$$, с учетом , что $$n>1$$ решений нет

b) $$a<m\leq 1$$: $$1=3-2n\Rightarrow$$ $$n=1\Rightarrow$$ решений нет

c) $$m>1$$: $$2m-1=3-2n\Leftrightarrow$$ $$m=2-n$$ решений нет

Построим график m(n). С учетом , что m=y-a и n=y-a , то график y(x) будет строиться смещение вершины (0;0) на (a;a) ( по прямой (y=x)), и построим график $$y=6-2\left | x-5 \right |$$ — cуществует 2 случая с одним решением :

2) При пересечении вершиной и диагональю y=x части графика $$y=6-2\left | x-5 \right |$$(она задается y=16-2x)

$$\left\<\beginy=x\\y=16-2x\end\right.\Leftrightarrow$$ $$x=16-2x\Leftrightarrow$$ $$3x=16\Rightarrow$$ $$x=\frac<16><3>\Rightarrow$$ $$a=\frac<16><3>$$

Задание 6809

Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система $$\left\<\begin(4 \sin ^<2>y-a)=16 \sin ^<2>\frac<2x><7>+9 ctg ^<2>\frac<2x><7>\\(\pi ^<2>\cos ^<2>3x-2 \pi ^<2>-72)y^<2>=2\pi ^<2>(1+y^<2>)\sin 3x\end\right.$$ имеет решения

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Рассмотрим 2 уровнение системы . Т.к. $$\cos^<2>3x=1-\sin ^<2>3x$$ , и пусть $$\sin 3x=t$$ , тогда:

На промежутке $$t \in [-1; 0]$$, $$‘(t) <0$$ $$\Rightarrow f(t)$$-убывает $$\Rightarrow$$ область значения $$E (f)\in [f(0); f(-1)]$$; $$f(0)=0; f(-1)=\frac<2 \pi ^<2>><72>=\frac<\pi ^<2>><36>$$; $$y^<2>\leq \frac<\pi ^<2>><36>\Rightarrow$$ $$y \in [-\frac<\pi><6>; \frac<\pi><6>]$$

Рассмотрим первое уравнение системы:

Так как $$a\rightarrow max$$, $$\sin ^<2>\frac<2x><7>=\frac<3><4>$$. Тогда: $$\sin \frac<2x><7>=\pm \frac<\sqrt<3>><2>\Leftrightarrow$$ $$\frac<2x><7>=\pm \frac<\pi><3>+\pi n , n \in Z\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac<7 \pi ><6>+\frac<7 \pi n ><2>, n \in Z$$

Т.к. $$\sin 3x=-1\Rightarrow$$ $$3x=-\frac<\pi><2>+2 \pi k , k \in Z$$, $$x=-\frac<\pi><6>+\frac<2 \pi k><3>, k \in Z$$

Найдем n и k : $$\pm \frac<7 \pi><6>+\frac<7 \pi n ><2>=-\frac<\pi><6>+\frac<2 \pi k><3>|*6\Leftrightarrow$$ $$\pm 7 \pi +21 \pi n =-\pi +4 \pi k\Leftrightarrow$$ $$6 \pi =21 \pi n -4 \pi k \Leftrightarrow$$ $$21 n -4k=6\Rightarrow$$ $$n=2, k=9$$. Следовательно, существует такой x. Тогда: $$a=4*(\frac<1><2>)^<2>-15 =-14$$

Задание 6829

Найдите все значения параметра a , при которых уравнение $$4a^<2>x^<4>+(2a-8)x^<2>+a+|a|=0$$ имеет ровно три корня на промежутке (-1;1]

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Если один из корней лежит на промежутке (0;1], то всегда будет ему симметричный относительно О на [-1;0)(например , $$\frac<1><2>$$ и $$-\frac<1><2>$$) т.к дано биквадратное уравнение . Чтобы было три корня существует 2 случая :

Учитывая, что $$\sqrt<\frac<8-2a><4a^<2>>><1$$ (если будет равен 1 , то ему симметричный =-1, не попадет в (-1; 1]):

2) Если один из корней равен 1, а симметричный $$\in (-1,1]$$(тогда $$-1 \in (-1;1]$$ и получим 3 корня):

$$4a^<2>*1^<4>+(2a-8)*1^<2>+a+\left | a \right |=0\Leftrightarrow$$$$4a^<2>+2a-8+a+\left | a \right |=0$$

Учитываем, что a>0 (смотреть п.1): $$4a^<2>+4a-8=0\Leftrightarrow$$ $$a^<2>+a-2=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begina=1\\a=-2(a<0)\end\right.$$

Сделаем проверку: при a=1: $$4x^<4>-6x^<2>+2=0$$$$\Leftrightarrow$$ $$2x^<4>-3x^<2>+1=0$$

Отдельно рассмотрим a=0

$$4*0*x^<4>+(2*0-8)x^<2>+0+\left | 0 \right |=0\Leftrightarrow$$$$-8x^<2>=0\Rightarrow$$ $$x=0$$ — один корень

Задание 6880

При каких значениях параметра a уравнение $$(a-1)4^+(2a-3)6^=(3a-4)9^$$ имеет единственное решение?

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Существуют следующие варианты единственного решения :

1) $$y_<1>=y_<2>\Rightarrow$$ $$4a-5=0\Rightarrow$$ $$a=\frac<5><4>$$. Выполним проверку: $$(\frac<2><3>)^=\frac<3-2,5><2(1,25-1)>=1\Rightarrow$$ $$x=0$$ — один корень

Рассмотрим системы отдельно:

Проверим случай $$a=1$$: $$-6^=-9^\Rightarrow$$ $$x=0$$ — один корень

Тогда конечный ответ: $$a \in (-\infty ;1]\cup <\frac<5><4>>\cup [\frac<4><5>; +\infty )$$

Задание 6928

Найдите все значения параметра a, для которых при любом положительном b уравнение $$a \log_<\frac<1>-2>4=\log_<2>(\frac<1>-2)-b$$ имеет хотя бы одно решение, меньшее $$\frac<1><3>$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Так как $$x<\frac<1><3>$$, то $$\frac<1>-2>1$$. Пусть $$\frac<1>-2=y$$. Тогда получим : $$a \log_4=\log_<2>y-b$$$$\Leftrightarrow$$ $$2a \log_2+b=\log_<2>y$$

Пусть $$f(y)=2a \log_2+b$$ и $$g(y)=\log_<2>y$$

Рассмотрим $$f(y)$$: данный график имеет растяжение по Oy и располагается так же как $$m(y)=\log_2+b$$ при $$a>0$$. При a<0 симметрично отобразится относительно Ox .

Необходимо решение при y>1. На данном промежутке $$m(y)=\log_2+b$$ убывает, при этом $$\lim _m(y)=b$$ и предел достигается сверху. Следовательно, при a>0 и b>0, $$\lim _f(y)=b\Rightarrow$$ будет пересечение с g(y) , т.к. $$\lim_g(y)=\infty$$

При $$a<0$$ , $$f(y)$$ на $$y>1$$ возрастает и $$\lim _ f(y)=b$$. При этом предел достигается снизу, и так как в задании необходимо решение для любого положительного b, а, например, при b=0,1, пересечений графика f(y) и g(y) не будет. Следовательно, данный промежуток мы не учитываем.

При a=0 имеем $$\log_<2>y=b\Rightarrow y=2^$$. Т.к. $$b>0$$, то $$y>1$$ $$\Rightarrow$$ $$a \in [0;+\infty)$$

Задание 6976

Найдите все значения параметра a , при которых неравенство $$4a^<2>\sqrt<2-\frac<6><\pi>\arcsin(\sqrt<3>-2x)>+\frac<12a><\pi>\arccos(2x-\sqrt<3>)-8a^<2>-3a \leq 1$$ выполняется для любых $$x \in [\frac<2\sqrt<3>-1><4>;\frac<3\sqrt<3>><4>]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть $$2x-\sqrt<3>=y$$, тогда с учетом, что $$x \in [\frac<2\sqrt<3>-1><4>; \frac<3\sqrt<3>><4>]$$ получим , что $$y \in [-\frac<1><2>; \frac<\sqrt<3>><2>]$$.

Пусть $$\frac<6> <\pi>\arcsin y=m$$, т.к. $$y \in [-\frac<1><2>; \frac<\sqrt<3>><2>]$$ , то $$m \in [-1; 2]$$, тогда: $$4a^<2>\sqrt<2+m>\leq 1+8a^<2>+3a-6a+2m\Leftrightarrow$$$$4a^<2>\sqrt<2+m>\leq 2am+8a^<2>-3a+1\Leftrightarrow$$$$\sqrt<2+m>\leq \frac<2a>+\frac<8a^<2>-3a+1><4a^<2>>$$

g(m) – прямая, при этом $$g(m)\cap Oy$$ в точке, которая «стремится» к у=2

f(m) – ветвь параболы . При этом необходимо , чтобы $$f(m)\geq g(m)$$ для любого $$m \in [-1;2]$$

Рассмотрим 3 случая:

1) $$a>0$$: тогда g(m) располагается в 1 и 3 четвертях . При этом, чтобы $$f(m)\geq g(m)$$ необходимо, чтобы $$f(-1)\geq g(-1)$$: $$-\frac<1><2a>+\frac<8a^<2>-3a+1><4a^<2>>\geq 1\Leftrightarrow$$ $$-2a=8a^<2>-3a+1\geq 4a^<2>\Leftrightarrow$$ $$4a^<2>-5a+1\geq 0\Leftrightarrow$$ $$a \in (-\infty ; \frac<1><4>]\cup [1; +\infty)$$

С учетом , что $$a>0$$ : $$a\in (0; \frac<1><4>]\cup [1; +\infty )$$

При $$a\in (0; \frac<1><4>]$$ получим , что $$\frac<8a^<2>-3a+1><4a^<2>> >2$$ ( пересечение F(x) с Oy) , при этом $$f(0)=\sqrt<2>\Rightarrow$$ подходит.

При $$a\in [1; +\infty )$$ получим , что $$\frac<8a^<2>-3a+1><4a^<2>>\geq 1,5 \Rightarrow$$ тоже подходит

2) $$a<0$$. Тогда $$g(2) \geq f(2) \Leftrightarrow$$ $$\frac<2><2a>+\frac<8a^<2>-3a+1><4a^<2>>\geq 2\Leftrightarrow$$ $$4a+8a^<2>-3a+1\geq 8a^<2>\Leftrightarrow$$ $$a+1\geq 0\Leftrightarrow$$ $$a\geq -1$$. Т.к. $$a<0$$, то $$a \in [-1; 0)$$

3) $$a=0$$: $$0*\sqrt<2+m>\leq 0 *m+8*0-3*0+1\Leftrightarrow$$ $$0\leq 1\Rightarrow$$ подходит

В итого решение: $$a \in [-1; \frac<1><4>]\cup [1; +\infty )$$

Задание 7023

Найдите все значения параметра b, при каждом из которых для любого a неравенство $$(x-a-2b)^<2>+(y-3a-b)^<2><\frac<1><2>$$ имеет хотя бы одно целочисленное решение

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(x-a-2b)^<2>+(y-3a-b)^<2><\frac<1> <2>\Leftrightarrow$$ $$(x-(a+2b))^<2>+(y-(3a+b))^<2><(\frac<\sqrt<2>><2>)^<2>$$, т.е. имеем множество точек внутри окружности радиуса $$\frac<\sqrt<2>><2>$$ и центром в $$(a+2b; 3a+b)$$ . При этом $$\frac<\sqrt<2>><2>$$ — половина диагонали квадрата со стороной 1 . Т.е. в данный круг вписан квадрат со стороной 1 . Рассмотрим пример:

Видим по радиусу , что целых значений внутри круга не будет. Тогда и только тогда, когда координаты центра одновременно будут иметь вид: $$(\frac<2>, \frac<2>)$$,где m и n $$\in Z$$

Если хотя бы одна не имеет вид, то 1 целое точно попадет в круг. Тогда :$$\left[\begina+2b\neq \frac<2m+1><2>\\3a+b\neq \frac<2n+1><2>\end\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin2a+4b\neq 2m+1\\6a+2b\neq 2n+1\end\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin6a+12b\neq 6m+3\\6a+2b\neq 2n+1\end\right.\Leftrightarrow$$$$10b\neq 6m-2n+2\Leftrightarrow$$$$b\neq \frac<3m-n+1><5>$$ , где $$m , n \in Z$$

Т.е. с учетом, что $$3m-n+1 \in Z$$ при $$m , n \in Z$$, то $$b \notin \frac<5>, k \in Z$$

Задание 7043

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $$\left | \frac-1)><3^+1> -2a\right |=a^<2>+1$$ имеет нечетное число решений.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) $$f(x) \geq 0$$ при любом x. Найдем промежутки возрастания и убывания: $$‘(x)=\frac<(x<(3^-1)>'(3^+1)-<(3^+1)>'(x(3^-1)))><(3^+1)^<2>>=0|* (3^+1)^<2>\Leftrightarrow$$$$((3^-1)+x*3^\ln 3)(3^+1)-3 ^\ln 3* x(3^-1)=0\Leftrightarrow$$ $$3 ^<2x>-1+3^<2x>*x\ln 3+x*3^\ln 3-x*3^<2x>\ln 3 +3 ^*x\ln 3=0\Leftrightarrow$$ $$3 ^<2x>-1+2x*3^<2x>\ln 3=0\Leftrightarrow$$ $$3^<2x>+2x*3 ^\ln 3=1\Leftrightarrow$$ $$1-2x\ln3=3^$$

Пусть $$m(x)=1-2x\ln 3$$ и $$n(x) =3^$$: m(x) — линейная убывающая и n (x)-степенная возрастающая $$\Rightarrow$$ одна точка пересечения x=0

Для f(x): x=0 — точка минимума $$\Rightarrow$$ $$(-\infty ; 0)$$ – убывает монотонно, $$(0; +\infty )$$ — возрастает . При этом

$$\left | \frac-1)><3^+1>-2a \right |=f_<1>(x)$$ — это график f(x), у которого вся часть графика под Ox отражается симметрично относительно Ox. g(x) –прямая, параллельная Ox ($$a^<2>+1>0$$, при любом a ). Тогда возможен только один вариант нечетного числа корней, когда $$\left | 2a \right |=a^<1>+1\Leftrightarrow$$ $$a^<2>-\left | 2a \right |+1=0\Leftrightarrow$$ $$(\left | a \right |-1)^<2>=0\Leftrightarrow$$ $$a=\pm 1$$

2) Возможно решение с использованием инвариантности: доказать четность левой функции (f(-x)=f(x)), тогда нечетное количество решений будет лишь в том случае, когда один из корней равен 1. Подставить вместо х в начальное уравнение 1 и получим сразу уравнение отностильно а

Задание 7064

Найти все а, при каждом из которых уравнение $$\lg (2-x)\sqrt<2ax-3a^<2>>=x\cdot \lg x$$ имеет ровно два различных корня.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Т.к. $$x\geq 0$$, то $$x_<2>$$ и $$x_<3>$$ будут одновременно существовать , если $$x_<2>=x_<3>=0\Rightarrow a=0$$, условие двух корней соблюдается. В противном случае решениями будут $$x_<1>$$ и $$x_<2 >$$ или $$x_<1>$$ и $$x_<3>$$. При этом , чтобы было два корня , должно выполняться ОДЗ:

$$x_<1>$$ и так входит в [0 ;2) , потому проверяется только условие (2) для него , $$x_<2>$$ и $$x_<3>$$ и так получились из (2) , потому проверим (1) для них. При этом учитываем, что $$x_<1>\neq x_<2>$$ и $$x_<1>\neq x_<3>$$, иначе получим 1 корень $$\Rightarrow$$ $$3a\neq 1\Rightarrow$$ $$a\neq \frac<1><3>$$ и $$-a\neq 1\Rightarrow$$ $$a\neq -1$$. Тогда: $$a \in (-2; -1)\cup (-1 ;-\frac<2><3>]\cup(0 ;\frac<1><3>)\cup [\frac<1><3>; \frac<2><3>]$$

Задание 7111

При каких значениях параметра a неравенство $$\log_<\frac<-2a-13><5>> (\frac<\sin x -\sqrt<3>\cos x -a-4><5>)>0$$ выполняется для любых значений x ?

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть $$m(x) =\sin x-\sqrt<3>\cos x$$, тогда $$m^<'>(x)=\cos x+\sqrt<3>\sin x=0\Leftrightarrow$$ $$\sqrt<3>tg x=-1\Leftrightarrow$$ $$x=-\frac<\pi><6>+\pi n , n \in Z$$

$$ (1): -2a-13>0\Leftrightarrow a<-6,5$$

$$(2): -2a-13\neq 5\Leftrightarrow a\neq -9$$

$$(3) :a<-6,5 , -a-4>2,5 \Rightarrow \frac<5>>0$$ при любом m( и ,следовательно, x)

$$(5)$$: при $$a<-9$$: $$-a-9>0$$ при любом a , следовательно, чтобы было решение для любого m должно выполняться: $$m_-a-9>0\Leftrightarrow$$ $$-2-a-9>0\Leftrightarrow$$ $$a<-11$$. Получим $$a \in (-\infty ;-11)$$

$$(6)$$ : аналогично $$m_-a-9<0\Rightarrow$$ $$2-a-9<0\Rightarrow a>-7$$. Получим $$a \in (-7; +\infty )$$

С учетом (1): $$a \in (-\infty ;-11)\cup (-7;-6,5)$$

Задание 7184

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $$(\cos x -1)^<2>=a(\cos x+4\sin^ <2>x-8)$$ имеет на промежутке $$(0;\frac<\pi><2>]$$ единственный корень.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(\cos x-1)^<2>=a(3 \cos x+4 \sin ^<2>x-8)\Leftrightarrow$$ $$(\cos x-1)^<2>=a(3 \cos x+4-4\cos^<2>x-8)\Leftrightarrow$$ $$(\cos x-1)^<2>=a(3\cos x-4 \cos ^<2>x-4)$$

Рассмотрим правую часть : -$$4 \cos^<2>x-4 \in [-8 ;-4]$$ $$(\cos ^<2>x \in [0 ;1] )\Rightarrow$$ $$3 \cos x-4 \cos ^<2>x-4\leq -1$$ при любом x) , при этом $$(\cos x-1)^<2>\geq 0\Rightarrow$$ чтобы выполнялось решение должно быть $$a<0$$ (при a=0 получим, что $$\cos x-1=0 \Rightarrow$$ $$\cos x=1\Rightarrow$$ $$x=2 \pi n \notin (0 \frac<\pi><2>]$$)

При этом, чтобы было решение на $$(0 ;\frac<\pi><2>]$$, то $$\cos x \in [0; 1)$$

$$f_<2>(t): t_<0>=-\frac<3><-8>=\frac<3><8>\Rightarrow$$ $$f_<2>(t_<0>)=-\frac<55><16>$$ — парабола, ветви вниз, вершина $$(\frac<3><8>;-\frac<55><16>)$$, сужение к оси симметрии

$$f_<1>(t)$$: парабола, вершина (1; 0) , ветви в зависимости от a ($$a<0 \Rightarrow$$ вниз )

При этом необходимо единственное решение на $$x \in (0 ;\frac<\pi><2>]\Rightarrow$$ $$\cos x \in [0; 1) \Rightarrow$$ $$t \in [0; 1)$$ -единственное решение на данном промежутке.

Задание 7204

При каких значениях параметра a неравенство $$(a^<3>+(1-\sqrt<2>)a^<2>-(3+\sqrt<2>)a+3\sqrt<2>)x^<2>+2(a^<2>-2)x+a>-\sqrt<2>$$ выполнено для любого x>0

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Получим , что $$f(x)>0$$. При этом график f(x)-парабола вида $$y=m x^<2>+nx+p$$, где $$m=(a^<3>+(1-\sqrt<2>)a^<2>-(3+\sqrt<2>)a+3\sqrt<2>)$$, $$n=2(a^<2>-2)$$, $$p=a+\sqrt<2>$$

При m<0 ветви параболы направлены вниз, но тогда f(x)>0 не выполнится для любого x>0. Следовательно, m>0. Решим данное неравенство: $$a^<3>+(1-\sqrt<2>)a^<2>-(3+\sqrt<2>)a+3\sqrt<2>>0\Leftrightarrow$$ $$a^<3>+a^<2>-3a-\sqrt<2>a^<2>-\sqrt<2>a+3\sqrt<2>>0\Leftrightarrow$$ $$a(a^<2>+a-3)-\sqrt<2>(a+a-3)>0\Leftrightarrow$$ $$(a-\sqrt<2>)(a^<2>+a-3)>0\Leftrightarrow$$ $$(a-\sqrt<2>)(a-\frac<-1+\sqrt<13>><2>)(a-\frac<-1-\sqrt<13>><2>)$$

Получим, что $$a \in (\frac<-1-\sqrt<13>><2>; \frac<-1+\sqrt<13>><2>)\cup (\sqrt <2>;+\infty )$$. Следует рассмотреть отдельно значения, когда $$m=0$$:

3) $$a=\sqrt<2>$$: $$2((\sqrt<2>)^<2>-2)x+\sqrt<2>+\sqrt<2>>0\Rightarrow$$ $$2\sqrt<2>>0\Rightarrow$$ $$a=\sqrt<2>$$ является решением.

При m>0 ветви направлены вверх и существует 3 возможных расположения параболы, при которых f(x)>0:

При этом $$x_<0>=-\frac$$, а так как m>0 , то $$x_<0>>0\Leftrightarrow$$ $$-n>0\Leftrightarrow n<0$$. Получим :

Объединяем все полученные значения : $$a \in [-\sqrt<2>; 1)\cup [\sqrt <2>;+\infty)$$

Задание 7225

При каких значениях параметра a функция $$f(x)=4^<-x>+(\frac<1><2>)^\cdot \frac<5a><2>+\frac+12><6>$$ принимает во всех точках отрезка [-1;1] значения больше 2.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Рассмотрим (1) : пусть $$g(t)=t^<2>+\frac<5a><4>t+\frac><6>$$, тогда $$g(t)>0$$ при $$t \in [\frac<1> <2>;2]$$. Есть три случая .

При любом а $$g(t_<0>)<0\Rightarrow$$ не подходит

Задание 7327

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система $$\left\<\beginx^<3>-(a+3)x^<2>+(3a+2)x-2a\geq 0\\ x^<3>-(a+3)x^<2>+3ax\leq 0\end\right.$$ имеет единственное решение

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Рассмотрим $$f(x) =x^<3>-(a+3)x^<2>+3ax$$, тогда в первом неравенстве записано $$f(x) +2x-2a\geq 0\Rightarrow$$ $$f(x)\geq 2a-2x$$. Пусть $$2a-2x=g(x)$$ , тогда имеем $$\left\<\beginf(x)\geq g(x)\\g(x)\leq 0\end\right.$$ и оно должно иметь единственное решение . При этом g(x) – прямая, функция убывает. Рассмотрим $$f(x)$$:

Изобразим схематичное решение системы:

Очевидно , чтобы выполнялось условие единственного решения при $$f(x) \leq 0$$ необходимо, чтобы $$g(x_<0>)=0$$. Если $$g(x_<0>)>0$$ — решений нет, если $$g(x_<0>)<0$$ решением будет множество точек из $$[g_ <0>;x_<0>]$$. При этом $$f(x)=0$$ при $$x=0 ;3 ;a$$.

Есть три варианта расположения а:

1) $$a<0$$: тогда $$g(3)=0\Rightarrow$$ $$2a-2*3=0\Rightarrow$$ $$a=3$$ — не подходит

2) $$0\leq a\leq 3$$ : $$g(3) =0\Rightarrow$$ $$a=3$$ — решение

3) $$a>3 \Rightarrow$$ $$g(a)=0\Rightarrow$$ $$2a-2a=0$$ – верное числовое равенство $$\Rightarrow$$ $$a>3$$

Тогда $$a \in [3; +\infty )$$

Задание 7369

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\<\begina(x+2)+y=3a\\ a+2x^<3>=y^<3>+(a+2)x^<3>\end\right.$$ имеет не более двух решений

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7416

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$a^<2>+5|x|+7\sqrt<2x^<2>+49>=2x+2|x-7a|$$ имеет хотя бы один корень.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть $$f(x)=7\sqrt<2x^<2>+49>$$ и $$g(x)=2x+x|x-7a|-5|x|-a^<2>$$. Рассмотрим g(x): если $$7a>0$$, то получим следующее раскрытие модулей:

В обоих случаях необходимо, чтобы $$g(0)\geq f(0)$$:

При $$a=0$$ получим: $$7\sqrt<2x^<2>+49>=2x+2|x|-5|x|\Leftrightarrow$$$$7\sqrt<2x^<2>+49>=2x-3|x|$$ — решений не имеет, так как левая часть всегда больше нуля, а правая — меньше.

Задание 7426

Найти все значения параметра a , при каждом из которых уравнение $$3\sin x +\cos x=a$$ имеет ровно один корень на отрезке $$[\frac<\pi><4>;\frac<3\pi><4>]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7445

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых хотя бы одно решение неравенства $$x^<2>+a+|x-a-3|+6\leq 5x$$ принадлежит отрезку [1;2].

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7518

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений $$\left\<\beginy^<2>-(x^<2>+\sqrt<2|x|-x^<2>>-4)y+(x^<2>-4)\sqrt<2|x|-x^<2>>=0\\y=2x+a\end\right.$$ имеет ровно 3 решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7565

Найти все значения параметра a, при каждом из которых ровно одна точка графика функции $$y=2x+(\lg a)\cdot \sqrt<\cos (2\alpha \pi x)+2\cos (\alpha \pi x)-3>+1$$ лежит в области $$(2x-7)^<2>+4(y-3)^<2>\leq 25$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7865

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение $$a^<2>\ctg^<2>x-9a+a^<2>=4a\sin x$$ имеет хотя бы один корень.

1) При $$a=0$$ корни есть

2) При $$a\neq0$$: $$a(ctg^<2>x+1)-9-4\sin x=0$$

При $$f(1)\leq g(1)$$ получим наличие корней. При этом $$a$$ должно быть меньше $$0$$, иначе ветви $$f(y)$$ вниз и $$f(y)<0$$ при всех $$y$$. Т.к. $$f(y)$$ симметричен от оси ординат, то $$f(1)\leq g(1)$$ достаточно $$\frac<1>\leq4\cdot1+9$$ $$\Rightarrow$$ $$a\leq13$$ $$\Rightarrow$$ $$a\in(0;13]$$. С учетом (1) получим $$a\in[0;13]$$

Задание 8702

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\frac<|3x|-2x-2-a>=0$$ имеет ровно два различных корня.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8722

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\frac<|x-6|+a-6>-10x+a^<2>>=0$$ имеет ровно два различных корня.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8745

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8764

Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений $$\frac<(y-\sqrt<10-x^2>)((x+5)^2+(y+5)^2-10(x+7,5)+x^2-y^2+5)>=0$$ имеет одно решение

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8783

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство $$(4|x|-a-3)(x^2-2x-2-a)\leq 0$$ имеет хотя бы одно решение из промежутка [-4; 4].

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8802

Найдите все значения а, при каждом из которых любое значение из промежутка [-1,5; -0,5] является решением неравенства $$(4|x|-a-3)(x^<2>-2x-2-a)\geq 0$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

/>

Задание 8897

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8917

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9050

Найдите все значения параметра при которых уравнение $$(\sin x-a)(tg x-a)=0$$ имеет единственное решение на интервале $$(-\frac<\pi><2>;\frac<3\pi><4>)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9096

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\frac+x+a>-2x+a^<2>+6a>=0$$ имеет ровно два различных корня.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9115

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений $$\left\<\beginy=(a+2)x^<2>+2ax+a-2\\y^2=x^2\end\right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9166

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $$4x+7-4\sqrt<4x-x^2>=x^2+a^2+2a$$ имеет хотя бы одно решение.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9233

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно шесть решений.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9250

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно восемь решений.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9347

Найдите все значения параметра a , при которых система уравнений $$\left\ <\begina=x^2+2x+5\\ a=(2x+8-2y)y-5 \end\right.$$ имеет единственное решение

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9367

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\ <\begin(a+1)(x^2+y^2)+(a+1)x+(a+1)y+2=0\\ xy-1=x-y \end\right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9492

Найдите все значения а, при каждом из которых функция $$f(x)=x^<2>-3|x-a^<2>|-5x$$ имеет более двух точек экстремума.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9512

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $$\sqrt+x^<2>-5a^<2>>=\sqrt-4ax>$$ имеет ровно одно решение.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9532

Найдите все значения а, при каждом из которых функция $$f(x)=x^<2>-4|x-a^<2>|-8x$$ имеет хотя бы одну точку максимума.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9637

Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений $$\left\ <\beginx^2+y^2=a\\\sin(\pi x+\pi y)=0 \end\right.$$ имеет ровно четыре решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9665

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений $$\left\ <\beginx^<4>+y^<2>=a^<2>\\x^<2>+y=|a+1| \end\right.$$ имеет ровно четыре решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9685

Найдите значения а, при которых система уравнений $$\left\ <\begin6x^2-5xy+y^2+x-y-2=0\\ y=ax-5 \end\right.$$ имеет ровно одно решение.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9785

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $$\cos^ <2>x-a^<2>\cos x+(a^<2>-a+\frac<1><2>)(a-\frac<1><2>)=0$$ имеет ровно одно решение на промежутке $$(-\frac<\pi><3>;\frac<\pi><2>]$$.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9805

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений $$\left\ <\beginx^4+y^2=a^2-1\\x^2-y=|a-1| \end\right.$$ имеет ровно четыре решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9880

Найдите все значения параметра a, при которых система $$\left\ <\beginy-\ln(x-a)-a=x^2-4x+4\\ y=\frac <|x|>\end\right.$$ имеет единственное решение.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9932

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\ <\beginy=a(x-3)\\\frac<1><\log_2> +\frac<1><\log_2> =1 \end\right.$$ не имеет решений

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9952

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$\sqrt<3a+\sqrt<3a+2x-x^2>>=2x-x^2$$ имеет решения.

Задание 10057

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\<\begin\frac<\sqrt<2-|y-x|>>=0\\ y-ax=3a-3\end\right.$$ имеет ровно одно решение.

Задание 10077

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$\sqrt<(x^2+|x|)(x^2+5|x|+6)+1>=3|x|-3ax-a^2+1$$ имеет корни как большие -3, так и меньшие -3

Задание 10100

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых число корней уравнения $$|x^2-5x+6|=a$$ равно наименьшему значению выражения $$|x-a|+|2x-a|+4|x-1|+1$$

Задание 10119

Найдите все значения a, при которых наименьшее значение функции $$y=|x+4|+|2x-a|$$ меньше 3

Задание 10138

Найдите все значения a , при которых уравнение $$x^<2>+2a=x+|x^2-a|$$ имеет три корня

Задание 10172

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение $$a+\sqrt<6x-x^2-8>=3+\sqrt<1+2ax-a^2-x^2>$$ имеет единственное решение

Задание 10177

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система $$\left\ <\begin2^\cdot (y+1)(1-y\cdot 2^)=a^3\\(1+2^)(1-y\cdot 2^)=a \end\right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Задание 10197

Найдите все значения параметра $$a\in [-6;6]$$ при которых неравенство $$(a+3)\cdot ((x+1)(a+2)+3x)>0$$ выполняется при любых $$x \geq 0$$.

Задание 10218

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств $$\left\ <\begin(a-x^<2>)(a+x-2)<0\\x^<2>\leq 1 \end\right.$$ не имеет решений

Задание 10265

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых функция $$f(x)=x(1-a)+3(1-2a)\sin \frac<3>+\frac<3><2>\sin \frac<2x><3>+\pi a$$ имеет не более двух экстремумов на промежутке $$(\pi;5\pi)$$

Задание 10291

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции $$f(x)=-x^<4>+\frac<2ax^<3>><9>+\fracx^<2>><3>$$ на отрезке [-1;0] не превышает единицы и достигается на левом конце отрезка.

Задание 10395

Найти все значения параметра a, при которых уравнение $$\frac<(x^<2>-4x+a)^<3>><2>=(a-4x)(3x^<4>+(a-4x)^<2>)$$ имеет единственное решение на промежутке $$(-2-\sqrt<2>;0]$$

Задание 10445

При каких значениях b неравенство $$x^<2>+(2a+4b)x+2a^<2>b+4b^<2>-2ab+6b+15\leq 0$$ не имеет решений ни при одном значении a?

Задание 10501

Задание 10512

Задание 10532

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\sqrt<2-5x>\cdot \ln(36x^<2>-a^<2>)=\sqrt<2-5x>\cdot \ln(6x+a)$$ имеет ровно один корень.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 10560

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений

имеет не более двух решений.

Задание 10580

Найдите все значения параметра $$p$$, при каждом из которых система неравенств

имеет единственное решение.

Задание 10600

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Задание 10620

Найдите все значения параметра $$a$$, при которых уравнение $$2^<\sqrt>\cdot \left(\sqrt-2x^2\right)=0$$

имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее неравенству $$x(x-1)<0$$

Задание 10640

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система $$\left\< \begin x^2+\left(2-5a\right)x+4a^2-2a\le 0 \\ x^2+a^2=4 \end \right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Задание 10660

Найдите все значения параметра $$a$$, при которых неравенство $$<<\sin >^<<\rm 4>> x\ >+<<\cos >^<<\rm 4>> x\ >>a\cdot <\sin x\ >\cdot <\cos x\ >$$ выполнено при любом значении $$x$$.

Задание 10696

Найдите все значения параметра $$a$$, при которых система уравнений

имеет не более 3 решений.

Задание 10736

Найти все значения $$a$$ при каждом из которых уравнение $$\left(7x-6\right)<\ln \left(x+a\right)\ >=(7x-6)<\ln \left(4x-a\right)\ >$$ имеет единственный корень на отрезке $$[0;1]$$.

2) $$x=\frac<2a><3>\in [0;1]$$ и с учетом ОДЗ $$\to $$ $$0<a\le 1,5$$

Задание 10756

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Перейдем к совокупности. $$\left[ \begin9x-4=0 \\ <\ln \left(\frac<2x-a>\right)=0\ > \end\right.\to \left[ \begin9x-4=0 \\ \frac<2x-a>=1 \end\right.$$.

Решим систему координатно-параметрическим методом:

Для вычисления параметра необходимо знать координаты точек.

1) В точке $$N\ \left(\frac<4><9>;-\frac<4><9>\right)\to \left\< \begina=-x \\ x=\frac<4> <9>\end\right.\to a=-\frac<4><9>$$ — нет решений.

2) На промежутке от N до B $$\to a\in (-\frac<4><9>;0)$$ — одно решение.

3) В точке $$B\ \left(1;0\right)\to \left\< \begina=0 \\ x=1 \end\right.\to a=0$$ — одно решение.

4) На промежутке от B до A $$\to a\in (0;\frac<2><9>)$$ — два решения.

5) В точке $$A\left(\frac<4><9>;\frac<2><9>\right)\to \left\< \begina=\frac<1><2>x \\ x=\frac<4> <9>\end\right.\to a=\frac<2><9>$$ — одно решение.

6) На промежутке от A до M $$\to a\in (\frac<2><9>;\frac<1><2>)$$ — два решения.

7) В точке $$M\left(1;\frac<1><2>\right)\to \left\< \begina=\frac<1><2>x \\ x=1 \end\right.\to a=\frac<1><2>$$ — два решения.

8) На промежутке от M до L $$\to a\in (\frac<1><2>;\frac<8><9>)$$ — одно решение.

9) В точке $$L\ \left(\frac<4><9>;\frac<8><9>\right)\to \left\< \begina=2x \\ x=\frac<4> <9>\end\right.\to a=\frac<8><9>$$ — нет решений.

Задание 10825

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\< \begin \left|y\right|+\left|2x-x^2\right|=4 \\ y^2+<\left(2x-x^2\right)>^2=a^2 \end \right.$$ будет иметь ровно 8 решений.

Задание 10845

$$a+1\ge 0,\ a\ge -1.$$ Пусть $$<\cos 3x\ >=t,t\in \left[-1;1\right],\ b=\sqrt+1,\ b\ge 1$$.

Рассмотрим функцию $$f\left(t\right)=\frac<2t-b>$$, исследуем ее при помощи производной.

Учитывая, что $$b\ge 1$$, получим $$b=1,\ \sqrt+1=1,a=-1$$.

Задание 10864

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\< \begin x^2-8x+y^2+4y+15=4\left|2x-y-10\right| \\ x+2y=a \end \right.$$ имеет более двух решений.

Уравнение (1) равносильно совокупности двух систем $$\left[ \begin \left\< \begin 2x-y-10\ge 0 \\ x^2-8x+y^2+4y+15=8x-4y-40 \end \right. \\ \left\< \begin 2x-y-10<0 \\ x^2-8x+y^2+4y+15=-8x+4y+40 \end \right. \end \to \left[ \begin \left\< \begin y\le 2x-10 \\ x^2-16x+y^2+8y=-55 \end \right. \\ \left\< \begin y>2x-10 \\ x^2+y^2=25 \end \right. \end \right.\right.$$ $$\to \left[ \begin \left\< \begin y\le 2x-10 \\ x^2-16x+64+y^2+8y+16=-55+64+16 \end \right. \\ \left\< \begin y>2x-10 \\ x^2+y^2=25 \end \right. \end \right.\to$$ $$\to \left[ \begin \left\< \begin y\le 2x-10 \\ <\left(x-8\right)>^2+<\left(y+4\right)>^2=25 \end \right. \\ \left\< \begin y>2x-10 \\ x^2+y^2=25 \end \right. \end \right.$$

$$<\left(x-8\right)>^2+<\left(y+4\right)>^2=25$$ — уравнение окружности с центром (8;-4), $$R_1=5$$, но строить эту окружность будем в области $$y\le 2x-10$$.

$$x^2+y^2=25$$ уравнение окружности с центром (0;0), $$R_2=5$$, но строить эту окружность будем в области $$y>2x-10$$.

Заметим еще, что прямые $$y=2x-10$$ и $$y=-\frac<1><2>x$$ перпендикулярны, т.к. $$2\cdot \left(-\frac<1><2>\right)=-1.$$

Найдем те значения b, при которых прямая $$y=-\frac<1><2>x+b$$ проходит через точки: $$1) A\left(5;0\right)\to 0=-\frac<1><2>\cdot 5+b,\ b=2,5$$ $$2) B\left(3;-4\right)\to -4=-\frac<1><2>\cdot 3+b,\ b=-2,5$$ $$3) C(x_0;y_0)\to \left\< \begin y_0=2x_0 \\ y_0=-0,5x_0+b,\ b=2,5x_0.\ \ CH\bot Ox.\ \ CH=y_0=2x_0,\ OH=x_0 \end \right.$$

$$OC^2=OH^2+CH^2;25=x^2_0+4x^2_0,\ 5x^2_0=25,\ x_0=\pm \sqrt<5>$$

Для точки $$C(\sqrt<5>;2\sqrt<5>)\to b=2,5\sqrt<5>$$.

Для точки $$D\left(-\sqrt<5>;-2\sqrt<5>\right)\to b=-2,5\sqrt<5>$$.

Задание 10883

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\< \begin 2x-2y-2=\left|x^2+y^2-1\right| \\ y=a(x-1) \end \right.$$ имеет более двух решений.

Рассмотрим каждую систему в совокупности отдельно:

Геометрическое место точек, представляющих собой решения систем $$\left\< \begin x^2+y^2+1\ge 0 \\ <\left(x-1\right)>^2+<\left(y+1\right)>^2=1 \end \right.$$ и $$\left\< \begin x^2+y^2-1<0 \\ <\left(x+1\right)>^2+<\left(y-1\right)>^2=5 \end \right.$$ — это две дуги, которые имеют две общие точки $$A(1;0)$$ и $$B(0;1)$$ — место стыка графиков. Системы (1) и (2) будут иметь более двух решений, если графики параметрической прямой и дуг будут иметь более двух точек пересечения.

Параметрическая прямая, проходящая через точки $$A(1;0)$$ и $$B(0;1)$$, имеет с графиком дуг две общие точки. Мы это положение рассматриваем как пограничное. При этом параметр равен $$a=1$$. Данное значение параметра включать в ответ не стоит.

Чтобы найти второе пограничное положение графика параметрической прямой и значение параметра при этом рассмотрим касание графика прямой $$y=a(x-1)$$ и графика окружности $$<\left(x+1\right)>^2+<\left(y-1\right)>^2=5$$. Нам известно из условия задачи расстояние от точки $$O_2(-1;1)$$ до параметрической прямой $$y=a(x-1)$$. $$d=\sqrt<5>$$. Воспользуемся этим фактом. (Расстояние от точки до прямой по формуле $$d=\frac<\left|Ax_0+By_0+C\right|><\sqrt>$$)

Преобразуем уравнение прямой к виду $$Ax+By+C=0$$. $$y=ax-a\to ax-y-a=0$$. Расстояние от точки $$O_2(-1;1)$$ до касательной $$ax-y-a=0$$ равно $$d=\sqrt<5>$$. Следовательно $$\sqrt<5>=\frac<\left|-a-1-a\right|><\sqrt>$$.

Задание 10902

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\left|\frac<7>-4\right|=ax-3$$ на промежутке $$(0;+\infty )$$ имеет более двух корней.

Рассмотрим функции $$f\left(x\right)=ax-3,\ g\left(x\right)=\left|\frac<7>-4\right|$$. Исследуем уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ на промежутке $$(0;+\infty )$$.

При $$a\le 0$$ все значения функции $$f(x)$$ на промежутке $$(0;+\infty )$$ отрицательны, а все значения функции $$g(x)$$ — неотрицательны, поэтому при $$a\le 0$$ уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ не имеет решений на промежутке $$(0;+\infty )$$.

При $$a>0$$ функция $$f(x)$$ возрастает. Функция $$g(x)$$ бывает на промежутке $$(0;\frac<7><4>]$$, поэтому уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ имеет не более одного решения на промежутке $$(0;\frac<7><4>]$$, причём решение будет существовать тогда и только тогда, когда $$f(\frac<7><4>)\ge g(\frac<7><4>)$$, откуда получаем $$a\cdot \frac<7><4>-3\ge 0$$, то есть $$a\ge \frac<12><7>$$.

На промежутке$$\ (\frac<7><4>;+\infty )$$ уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ принимает вид $$ax-3=4-\frac<7>$$. Это уравнение сводится к уравнению $$ax^2-7x+7=0$$. Будем считать, что $$a>0$$, поскольку случай $$a\le 0$$ был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения $$D=49-28a$$, поэтому при $$a>\frac<7><4>$$ это уравнение не имеет корней; при $$a=\frac<7><4>$$ уравнение имеет единственный корень, равный 2; при $$0<a<\frac<7><4>$$ уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня $$x_1,\ x_2$$, то есть $$0<a<\frac<7><4>$$, то больший корень $$x_2=\frac<7+\sqrt><2a>>\frac<7><2a>>2>\frac<7><4>$$, поэтому он принадлежит промежутку $$(\frac<7><4>;+\infty )$$. Меньший корень $$x_1$$ принадлежит промежутку $$(\frac<7><4>;+\infty )$$ тогда и только тогда, когда $$a\left(x_1-\frac<7><4>\right)\left(x_2-\frac<7><4>\right)=a<\left(\frac<7><4>\right)>^2-7\cdot \frac<7><4>+7=\frac<7\left(7a-12\right)><16>>0$$ то есть $$a>\frac<12><7>$$.

Таким образом, уравнение $$\left|\frac<7>-4\right|=ax-3$$имеет следующее количество корней на промежутке $$(0;+\infty )$$:

Найдите сумму всех значений параметра а, при которых уравнение + ax — 2x — a имеет единственное решение?

Найдите сумму всех значений параметра а, при которых уравнение + ax — 2x — a имеет единственное решение.

Кв. уравнение имеет один корень, если дискриминант равен нулю.

Найти сумму всех значений параметра а, при которых уравнение х ^ 2 + ах = х — 3а имеет единственное решение?

Найти сумму всех значений параметра а, при которых уравнение х ^ 2 + ах = х — 3а имеет единственное решение.

Найдите множество значений параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение,?

Найдите множество значений параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение,.

Найти сумму всех значений параметра а, при которых уравнение х ^ 2 + ах = 2х — а имеет единственное решение?

Найти сумму всех значений параметра а, при которых уравнение х ^ 2 + ах = 2х — а имеет единственное решение.

Плиииз срочно надо, помогите.

Заранее спасибо большое.

Найдите все значения параметра «а», при которых уравнение имеет решение :а) х в квадрате + 3 = а ?

Найдите все значения параметра «а», при которых уравнение имеет решение :

а) х в квадрате + 3 = а ;

Найдите сумму всех различных значений параметра p, при которых уравнение имеет ровно один корень?

Найдите сумму всех различных значений параметра p, при которых уравнение имеет ровно один корень.

Найдите все значения параметра а при которых уравнение имеет единственный корень?

Найдите все значения параметра а при которых уравнение имеет единственный корень.

Найти все значения параметра значения t, при котором система уравнения имеет единственное решение?

Найти все значения параметра значения t, при котором система уравнения имеет единственное решение.

Найти все эти решения.

Помогите пожалуйста?

Найдите все значения параметра а , при каждом из которых уравнение ax ^ 2 + 4030x + a = 0 имеет единственное решение.

Номер 198 При каком положительном значении параметра а система уравнений имеет единственное решение?

Номер 198 При каком положительном значении параметра а система уравнений имеет единственное решение?

Найти сумму всех значений при котроых параметр a при которых уравнение x ^ 2 + ax = x — 3a имеет единственное значение?

Найти сумму всех значений при котроых параметр a при которых уравнение x ^ 2 + ax = x — 3a имеет единственное значение.

Вы зашли на страницу вопроса Найдите сумму всех значений параметра а, при которых уравнение + ax — 2x — a имеет единственное решение?, который относится к категории Алгебра. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

Похожие публикации:

Вызов сервера 1с общий модуль что значит

Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности s где s часть плоскости

Где используется троичная система счисления

Где лучше скачать