Задания по теме «Системы уравнений с параметром»
Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система \begin
Решение
Если y \geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность \phi _1 с центром в точке C_1 (4; 4) радиуса 3 , а если y < 0, то оно задаёт окружность \phi _2 с центром в точке C_2 (4; -4) того же радиуса.
При a > 0 второе уравнение задаёт окружность \phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность \phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей \phi _1 и \phi _2.
Координаты точки касания окружностей \phi и \phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1 (1; 4) и B_1 (7; 4) . То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности \phi и \phi _1 касаются. При a > 7 и a < 1 окружности \phi и \phi _1 не пересекаются, при 1 < a < 7 окружности \phi и \phi _2 имеют 2 общие точки.
Далее, из точки C проведём луч CC_2 и обозначим A_2 и B_2 точки его пересечения с окружностью \phi_2 , где A_2 лежит между C и C_2. Заметим, что длина отрезка CC_2= \sqrt <4^2+(4-(-4))^<2>>= \sqrt <80>= 4\sqrt 5.
При a < CA_2 или a > CB_2 окружности \phi и \phi_2 не пересекаются. При CA_2 < a < CB_2 окружности \phi и \phi _2 имеют 2 общие точки. При a =CA_2=4\sqrt 5-3 или a=CB_2=4\sqrt 5+3, окружности \phi и \phi _2 касаются.
Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность \phi с одной из окружностей \phi _1 и \phi _2 имеет 2 общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.
Так как 1<4\sqrt 5-3<7<4\sqrt 5+3, то условию задачи удовлетворяют значения a\in (1;4\sqrt 5-3) \cup (7; 4\sqrt 5+3).
Найдите сумму всех целых значений параметра при которых система уравнений имеет ровно одно решение
Тип 17 № 555270 
Найдите все значения параметра параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Преобразуем первое уравнение системы:
Преобразуем второе уравнение системы:
Заметим, что решения должны удовлетворять условию
Значит, исходная система равносильна системе
Заметим, что если пара чисел является решением системы, то пара чисел тоже является решением системы. Значит, чтобы система имела ровно три решения одним из решений должна быть пара чисел Подставив во второе уравнение системы, получаем, что решением должна являться или пара чисел или пара чисел Из первого уравнения системы найдём значения параметра, при которых эти пары чисел являются решениями системы. Если то если же то Таким образом, только при этих значениях параметра у системы может быть нечётное число решений. Выясним, сколько решений имеет система при найденных значениях параметра.
Подставим в первое уравнение системы:
Значит, при система имеет ровно три решения: и
Подставим в первое уравнение системы:
Если то второе уравнение системы не имеет решений. Следовательно, при система имеет ровно одно решение — пару
Таким образом, система имеет ровно три решения только при
Тип 17 № 559907
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений
Заметим, что если пара чисел является решением системы, то пара чисел тоже является решением системы. Значит, чтобы решение было единственным необходимо чтобы С учётом второго уравнения системы получаем, что единственным решением может являться либо пара чисел либо пара чисел
Пара чисел является решением системы при Проверим есть ли другие решения при этом значении параметра. Подставляя найденное значение параметра, находим:
Из второго уравнения системы получаем, что и тогда левая часть первого уравнения системы неотрицательна, а правая неположительна, причём равенство достигается только при и Значит, при система имеет единственное решение.
Пара чисел является решением системы при Подставляя найденное значение параметра, находим:
Заметим, что кроме пары чисел решением системы является пара чисел Значит, при система имеет более одного решения.
Задания Д17 C6 № 511263
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно одно решение.
Первое уравнение системы задаёт множество точек (x; y), сумма расстояний от которых до точек с координатами A(4; 0) и B(4; 4) равна 4. Так как расстояние между указанными точками в точности 4, то это уравнение задаёт отрезок AB.
Второе уравнение системы задаёт окружность радиуса 2, центр которой (a; a) лежит на прямой y = x. При увеличении a окружность перемещается вправо-вверх вдоль этой прямой.
Ясно, что при меньшем из этих значений B лежит на верхней полуокружности, а при большем — на нижней.
Таким образом, при система имеет два решения, при система имеет одно решение, при система не имеет решений.
Приведём другое решение.
Первое уравнение системы задает множество точек плоскости (х; у) сумма расстояний от которых до точек (4; 0), (4; 4), лежащих на прямой x = 4, равна 4. Следовательно, это уравнение фактически задает отрезок [0; 4], лежащий на прямой x = 4. Этот же отрезок можно задать системой:
Требуется найти все значения параметра а, при каждом из которых система имеет ровно одно решение.
Подставим значение x = 4 в третье условие последней системы. Получим:
Далее найдем значения а, при которых последнее уравнение на [0; 4] имеет ровно один корень.
Нас устроят следующие ситуации (см. также рисунок):
1) Уравнение имеет два корня, один из которых принадлежит интервалу (0; 4), другой лежит вне отрезка [0; 4].
2) Уравнение имеет два корня, один из которых равен 0 или 4, другой лежит вне отрезка [0; 4].
3) Уравнение имеет единственный корень, который принадлежит интервалу (0; 4).
Первая ситуация возможна тогда и только тогда, когда будет выполнено неравенство: Докажем это.
Пусть уравнение (*) имеет два различных корня и причем Функция меняет знак только в точках и Но отрезку [0; 4] принадлежит только точка которая является внутренней точкой этого отрезка, следовательно, на концах отрезка знаки функции обязаны быть разными. Необходимость доказана.
Докажем достаточность. Пусть выполняется неравенство при любом значении так как А это значит, что ни при каком значении а не может быть выполнено равенство
Неравенство свидетельствует о существовании двух различных корней у уравнения (*). Причем лишь один из них обязательно лежит на интервале (0; 4). Если это было бы не так, то значения функций в точках 0 и 4 имели бы одинаковый знак. Кроме того, второй корень не может совпадать с 4 (совпадение с 0, как показано выше, вообще невозможно), так как в противном случае было бы верным равенство
Итак, решим неравенство
Рассмотрим вторую ситуацию.
Пусть y = 4. Тогда:
Вычислим значение у при каждом из полученных значений а.
Заметим, что оба корня принадлежат отрезку [0; 4]. Следовательно, значение искомым не является.
При значении рассматриваемое уравнение на [0; 4] имеет ровно один корень, значит, следует отнести к числу искомых.
Теперь рассмотрим третью ситуацию. Потребуем, чтобы четверть дискриминанта уравнения (*) была равна нулю.
Следовательно, при данной ситуации искомое значение а равно 2.
Объединив полученные результаты, будем иметь:
Задания Д17 C6 № 511920
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет единственное решение.
Первое условие задачи задает в плоскости (xy) окружность с центром в точке (a; 2a − 2). Определимся, где будут располагаться центры этих окружностей. Поскольку 2a − 2 будет зависеть от параметра a линейно, очевидно, они (центры) будут расположены на некоторой прямой. Найдем ее уравнение. Оно (уравнение) будет иметь вид y = kx + b. Вычислим значения k и b. Если a = 0, то 2a − 2 = ka + b, т. е. −2 = b; если же, к примеру, a = 5, то 10 − 2 = 5k + b. Теперь решим систему:
Таким образом, центры окружностей, задаваемых первым условием задачи принадлежат прямой y = 2x − 2 (*)
График уравнения y = |x| (это — объединение биссектрис первого и второго координатных углов) делит плоскость на две области. Неравенству y ≥ |x| будут удовлетворять только те точки плоскости, которые принадлежат все точки, принадлежащие ломаной y = |x| и область, которой принадлежит точка (0; 1).
Каждое слагаемое левой части уравнения неотрицательно. Тогда должно выполняться условие:
Если то Это равенство выполнимо только при одновременном выполнении двух условий: x = 1 и y = 0. Но при этом неравенство y ≥ |x| не выполняется.
Поскольку пара (4; 6) удовлетворяет неравенству y≥ |x|, a = 4 — одно из искомых значений параметра. Неравенство y ≥ |x| не допускает отрицательных значений переменной у, значит, интересующие нас пары (x; у) — точки (x; у) плоскости не могут находиться ниже ломаной y = |x|. Но они не могут находиться и выше ломаной y = |x|, в противном случае получим бесчисленное множество решений системы. Таким образом, в дальнейшем нас будут интересовать только лишь пары (x; у), удовлетворяющие условию x = у. В то же время нас будут интересовать только лишь касание заданной окружности с ломаной y = |x|. Ясно, что центры окружностей при этом будет расположены ниже рассматриваемой ломаной. Рассмотрим случай, когда x = у = 0. (При этом центр окружности будут иметь координаты 0 и −2 соответственно). В этом случае, как нетрудно заметить, окружность и ломаная будут иметь лишь одну общую точку. Получим:
Таким образом, значение a = 0 есть искомое. Можно удостовериться, что не удовлетворяет условию задачи.
Исследуем первое условие системы при y = x, x≥ 0.
Мы получили квадратное уравнение относительно x − a. Потребуем, чтоб его четверть дискриминанта была равна нулю.
Итак, мы получили два значения параметра а. Но это — всего лишь необходимое условие единственности решения смешанной системы. Проверим их пригодность. Найдем координаты центра соответствующей окружности при :
Оказалось, что ордината центра соответствующей окружности выше правого звена ломаной, что невозможно. Вывод: значение не удовлетворяет условию задачи.
Ордината центра окружности ниже правого звена ломаной. Значение есть искомое. Рассмотрение случаев при x Ответ:
Тип 17 № 548429
Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет ровно два различных решения.
Изобразим линии, соответствующие уравнениям и неравенству системы, в плоскости xOy. Каждое из двух уравнений задаёт пучок прямых, проходящих через начало координат, симметричных друг другу относительно оси ординат и совпадающих при (см. рис., выделено красным). Двойное неравенство задает внутреннюю часть горизонтальной полосы, ограниченной прямыми и Уравнение задает окружность с центром в точке и радиусом Дуга окружности, лежащая в указанной полосе, выделена на рисунке синим. Определим, при каком значении параметра а прямые, задаваемые уравнениями имеют с этой дугой окружности ровно две общие точки.
Заметим, что число решений системы при и одинаково. Искомые значения параметра симметричны относительно нуля. Рассмотрим подробно случай
Точка является решением при любом значении параметра a. Вторая точка пересечения соответствует следующим трем случаям.
— Пересечению с дугой окружности прямой если при этом прямая не пересекает дугу в точке, отличной от точки Этот случай реализуется при
— Пересечению совпадающих при прямых с дугой окружности в точке (2; 0) — см. рис., выделено пурпурным.
— Пересечению с дугой окружности прямой в том случае, когда прямая является касательной, проходящей через точку Найдем уравнение такой касательной. Прямая, проходящая через начало координат, задается уравнением Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть перпендикулярна прямой содержащий этот радиус (см. рис.). Две прямые на плоскости, отличные от координатных осей, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1. Тем самым откуда Следовательно, искомое уравнение касательной есть что соответствует значениям При этом вторая прямая пересекает дугу в точке, отличной от начала координат, а значит, найденное значение параметра является искомым.
Объединяя полученные значения параметра с соответствующими отрицательными значениями, получаем, что система имеет ровно два различных решения при