104. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора
1) Составить характеристическое уравнение линейного оператора |A — l.E| = 0.
2) Найдем все корни характеристического уравнения.
3) Вычислим собственные векторы линейного оператора A, решая матричное уравнение (A — l.E)X=0.
4) Ортонормируем, полученный базис.
Пример. Линейный оператор A, действующий в евклидовом пространстве Е3, имеет в ортонормированном базисе E1, E2, E3 матрицу
.
Найти в Е3 ортонормированный базис из собственных векторов оператора A и составить матрицу оператора A в этом базисе.
Решение. 1) Составить характеристическое уравнение линейного оператора |A — l.E| = 0.
2) Найдем все корни характеристического уравнения: l1=-1, l2 = l3 = 1. Тогда матрица линейного оператора в ортонормированном базисе, составленном из собственных векторов имеет вид
.
3) Вычислим собственные векторы линейного оператора A, решая матричное уравнение (A — l.E)X=0.
Пусть l1=-1. Матричное уравнение (A — l1E)X=0 принимает вид:
Решая систему, находим решение X = C(1,-2,1), C€R.
Пусть l2 = l3 = 1. Матричное уравнение (A — l1E)X=0 принимает вид:
Решая систему, находим решение X = C1(2,1,0) + C2(-1,0,1), C€R.
4) Ортонормируем, полученный базис.
A1 = (1,-2,1), A2 = (2,1,0), A3 =(-1,0,1).
B1 = (1,-2,1), B2 = (2,1,0), B3 = A3 + k b2, 
, b3 =(-1/5, 2/5, 1/5).
.
Ортонормированные базисы
Определение. Базис пространства называется ортогональным, если базисные векторы попарно ортогональны. Базис называется ортонормированным, если при этом базисные векторы имеют единичную длину.
Теорема.Любая ненулевые взаимно ортогональные векторы линейно независимы. Если , то эти векторы образуют ортогональный базис.
Доказательство. Пусть , причем . Тогда
Полученное противоречие доказывает теорему.
Теорема.В любом конечномерном пространстве существует ортонормированный базис.
Доказательство теоремы немедленно следует из того, что существует базис , в котором квадратичная форма, соответствующая скалярному произведению, имеет канонический вид
(). В этом базисе скалярное произведение векторов и задается формулой . Но это и означает, что базис ортонормированный.
16.6. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта.Пусть — произвольный базис евклидова пространства. Мы будем строить новый – ортонормированный – базис пространства .
В качестве первого вектора нового базиса возьмем вектор . Таким образом, длина вектора равна 1. Прежде, чем построить второй вектор нового базиса, построим вектор :
Вектор не может быть нулевым, поскольку векторы и линейно независимы. Заметим, что векторы и ортогональны. В качестве второго базисного вектора возьмем вектор . Теперь будем строить третий базисный вектор. Сначала возьмем вектор
Этот вектор – ненулевой, так как векторы линейно независимы,- ортогонален векторам и . Остается только нормировать его: . Алгоритм ясен: имея вектор нового базиса, мы построим сначала вектор
Этот вектор ненулевой и ортогональный векторам . Нормировав его, получаем -й вектор нового базиса .
16.7. Матрица Грама.Пусть — произвольный базис пространства. В этом базисе скалярное произведение, как и любая билинейная форма, имеет свою матрицу. Легко видеть, что это за матрица. Так как
то элементами этой матрицы являются скалярные произведения базисных векторов.
Определение.Матрицей Грама векторов называется матрица , элементы которой являются скалярными произведениями этих векторов: . Можно записать в матричном виде .
Очевидно, что матрица является симметричной с определителем, большим нуля.
Матрицу Грама можно построить не только для базисных векторов. Возьмем произвольные векторы и построим матрицу Грама аналогичным образом:
Теорема.Определитель матрицы Грама произвольных векторов положителен, если эти векторы линейно независимы, и равен нулю в противном случае.
Доказательство. Если векторы линейно независимы, построим подпространство , в котором эти векторы будут базисом. (это подпространство является множеством всевозможных линейных комбинаций векторов ). Скалярное произведение, ограниченное на это подпространство, по-прежнему остается симметричной положительно определенной билинейной формой. Матрица Грама этих векторов является матрицей этой формы, поэтому ее определитель больше нуля.
Если векторы линейно зависимы, то один из них линейно выражается через другие, например, . Подставим в матрицу вместо вектора это выражение. Учитывая линейность скалярного произведения, получим, что первый столбец является линейной комбинацией остальных столбцов. Отсюда следует, что определитель матрицы равен нулю.
Очевидно, что матрица Грама векторов ортонормированного базиса является единичной.
16.8. Переход от одного ортонормированного базиса к другому. Пусть — ортонормированный базис пространства, — некоторый другой ортонормированный базис. Переход от старого базиса к новому осуществляется с помощью матрицы перехода . Поскольку в ортонормированном базисе матрица скалярного произведения является единичной, то , или . Получается, что матрица является обратной л матрице : .
Определение.Матрица , для которой выполняется условие , называется ортогональной.
Ортогональные матрицы и только они являются матрицами перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
Условие ортогональности матрицы можно записать через ее элементы:
Очевидным свойством ортогональных матриц является равенство 1 их определителя.
Задача.Докажите, что любая ортогональная матрица порядка 2 имеет вид
Ортонормированные базисы
Базис ei, ег, . еп евклидова пространства Е называют ортогональным базисом, если его векторы попарно ортогональны. Если, кроме того, векторы этого базиса имеют единичную длину (т.е. нормированы), то он называется ортонормированным базисом. В ортонормированном базисе ei, ег, . еп выполняются условия
Теорема 8.3. В любом конечномерном евклидовом пространстве Е существуют ортогональные и ортонормированные базисы. При этом любой вектор в Е входит в состав какого-либо ортогонального базиса, а любой единичный вектор — в состав какого-либо ортонормированного базиса.
> Чтобы получить ортогональный базис, достаточно применить процесс ортогонализации к какой-либо максимальной линейно независимой системе векторов в Е. Поскольку любой вектор евклидова пространства можно взять в качестве первого вектора максимальной линейно независимой системы векторов, заключаем, что этот вектор входит в какой-либо ортогональный базис, так как в процессе ортогонализации первый вектор исходной (ортогонализируемой) системы не изменяется. Если выбран единичный вектор, то он будет входить в состав ортогонального базиса. Нормировка этого базиса не изменяет единичные векторы. Значит, любой единичный вектор входит в состав того или иного ортонормированного базиса. ?
Примеры построения ортонормированных базисов с помощью процесса ортогонализации приведены выше (см. примеры 8.5 и 8.6). Ортогональные (ортонормированные) базисы можно также строить, дополняя подходящими векторами данный вектор или данную ортогональную (ортонормированную) систему векторов.
Пример 8.7. В трехмерном арифметическом пространстве К3 со скалярным произведением
построить ортонормированный базис, содержащий вектор е = (1,1,
Решение. Добавим к вектору е вектор в2 = (г/i, У2, Уз) Т , удовлетворяющий условию (e-i, е-2) = 0, которое в координатах имеет вид У + У2 + Уз = 6. Одним из решений этого уравнения является вектор С2 ='(2,-1,-1) т .
Далее, к векторам е, и То добавим вектор ез = (z,, то, удо-
влетворяющий условиям (e3,ei) = 0, (ез,в2) = 0, которые в координатной форме имеют вид z + + z3 = 0, 2 z — Z2 — z3 = 0. Решая
однородную систему из этих двух уравнений, получим, например, решение ез = (0, —1,1) т . система векторов е, ег, ез является одним из ортогональных базисов в К3. Нормируя эти векторы, получим в К3 ортонормированный базис
Теорема 8Д • В любом ортонормированием базисе е п-мерно- го евклидова пространства Е скалярное произведение векторов х =
= (ж1,Ж2. хп) т и у = (2/1,2/2» • ••,Уп) Т , заданных координатами в этом базисе, определяется формулой
Наоборот, если в базисе е скалярное произведение определяется формулой (8.13), то этот базис ортонормированный.
> Пусть базис е = (ei, б2,еп) ортонормированный. Тогда выполняются равенства (8.12). Поэтому матрицей Грама базиса е является матрица
а скалярное произведение вычисляется по формуле
Наоборот, если скалярное произведение в данном базисе Е евклидова пространства вычисляется по формуле (8.13), то легко убедиться в том, что скалярные произведения базисных векторов удовлетворяют условию (8.12). А это означает, что базис е нормированный. ?
Следствие 8.1. В п-мерном линейном пространстве X с заданным базисом е можно задать скалярное произведение так, что заданный базис будет ортонормированным.
> Достаточно определить скалярное произведение через координаты векторов в базисе е формулой (8.13). Тогда по доказанной теореме базис е будет ортонормированным. ?