XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум — 2019
РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛЕМНИСКАТЫ БЕРНУЛЛИ ИНСТРУМЕНТАМИ MATHCAD В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Лемниската Бернулли — кривая, у которой произведение расстояний от каждой её точки до двух определенных точек (фокусов) неизменно и равняется квадрату половины расстояния между ними. Место пересечения лемнискаты с самой собой принято называть узловой или двойной точкой [1] .
Лемниската по форме напоминает символ бесконечности.
Некоторые факты из истории кривой:
Название происходит от древне-греческого λημνίσκος — лента, повязка. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.
Представим несколько вариантов уравнения Лемнискаты Бернулли в различных системах координат: прямоугольная; полярная; параметрическая.
Отметим некоторые свойства Лемнискаты Бернулли для частных случаев:
Исходя из этого следует, что кривая перенимает ряд свойств данных прямых.
Если говорить о свойствах для произвольных овалов Кассани, то можно выделить следующие:
Лемниската Бернулли является кривой четвёртого порядка.
Кривая симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между точками.
Она имеет два максимума и два минимума.
Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойного фокуса.
Лемнискату описывает окружность радиуса a = c 2[2].
Перейдём к построению лемнискаты Бернулли инструментами Mathcad в полярной системе координат.
На первом этапе построения вводим функцию при помощи инструментов Mathcad . Задаём значения для аргумента) функции. Выводим значения аргумента. Для вывода графика на верхней панели инструментов выбираем пункт Вставка→ График→ Полярный график (Рис. 1).
Рис.1. Построение графика функции.
На втором этапе построения нажимаем кнопку Enter на клавиатуре и получаем итоговый график функции (Рис. 2).
Рис. 2. Вывод графика функции .
Для изображения на графике другой функции, например, вводим её с помощью инструментов Mathcad. Для того, чтобы функция появилась на самом графике, нужно записать её в системе координат через запятую (Рис. 3).
Рис. 3. Вывод графика функции .
Проверим как будет изменяться график в зависимости от аргумента (Таблица 1, Рис. 4.).
Лемниската Бернулли
Лемниската Бернулли — одна из самых замечательных алгебраических линий. Из вида уравнения кривой следует, что кривая состоит из двух симметричных лепестков (по внешнему виду эта кривая напоминает перевернутую восьмерку или бантик). Для точек лемнискаты должно выполняться нера-венство соs2, поэтому она расположена между прямыми у=±х. Отметим также, что = при = 0.
Покажем, как построить лемнискату Бернулли. Но сначала отметим, что, поскольку квадрат полярного радиуса неотрицателен, должно выполняться неравенство соs2. Решая это неравенство, находим область допустимых углов:
В силу периодичности функции соs2 (ее период равен р) достаточно построить график для углов в промежутке а в остальных случаях использовать периодичность
Итак, пусть Если угол изменяется от до р ,то cos2 изменяется от 0 до 1 и, следовательно, изменяется от 0 до
Если угол изменяется от р до , то изменяется от до 0 .Таким образом при изменении угла от точка на плоскости описывает кривую, напоминающую половинку от восьмерки, и возвращается в начало координат. Вторая половинка получится, когда угол изменяется в пределах от 0 до и от до 2р.
Лемниската Бернулли обладает рядом оригинальных геометрических и механических свойств:
* угол, составленный касательной к лемнискате в произвольной точке с радиус-вектором точки касания равен 2
* перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо ее точки, делит площадь соответствующего сектора пополам;
* эта кривая (в переводе с латинского lemniscatus — украшенный лентами) есть множество точек М, произведение расстояний которых r1, и r2 до двух данных точек F1, и F2 (фокусов) равно квадрату междуфокусного расстояния.
Впервые лемниската была рассмотрена Якобом Бернулли (1654—1705) в 1694 г. Впоследствии Бернулли много часов своих занятий уделял лемнискате и нашел несколько ее интересных свойств.
В технике лемниската используется, в частности, в качестве переходной кривой на закруглениях малого радиуса, как это имеет место на железнодорожных линиях в горной местности и на трамвай-ных путях. Таким образом она обеспечивает плавность закругления, без которой центробежная сила, действующая на поезд, возрастала бы резко, доставляя неудобство пассажирам.
В качестве примера применения лемнискаты в области физики можно указать, что линия поля, создаваемого двумя параллельными токами, текущими по бесконечно длинным проводникам в плоскости, к ним перпендикулярной, является лемнискатой.
Кардиоида
логарифмическая спираль полярный координата лемниската
Понаблюдаем за какой-нибудь точкой окружности, когда последняя катится по внешней стороне неподвижной окружности такого же радиуса. Траекторией точки будет кардиоида. По мнению математиков, придумавших название кривой, она отдаленно напоминает форму сердца (в переводе с греческого kardieidos — сердцеобразная).
Покажем способ построения кардиоиды.
Сначала выберем опорную окружность и ее радиус ОА примем за 1, а прямую ОА — за ось абсцисс, причем точка А произвольно выбирается на опорной окружности. Проведем другую окружность с центром в точке М, произвольно взятой на опорной окружности, и радиусом МА. Повторив затем такие построения для достаточно большого числа точек М, равномерно распределенных по опорной окружности, увидим, что огибающая всех окружностей радиуса МА и есть кардиоида (рис. 13).
Кардиоида используется как линия для вычерчивания профилей, если требуется, чтобы скользяший по профилю стержень совершал гармонические колебания. При этом скорость поступательного движения стержня будет изменяться без скачков. Этим свойством она выгодно отличается от спирали Архимеда, у которой, благодаря постоянности скорости стержня, в конце каждого хода стержня происходят удары (скорость скачком меняет значение скорости с v на —v), что вызывает быстрое изнашивание механизма.
Одна из составных частей в механизме для поднятия и опускания семафора очерчена по кардиоиде. При этом скорость поднятия’ или опускания достигает максимального значения в середине хода семафора, что очень важно.
Кардиоида также хорошо знакома конструкторам и возникает при возвратно-поступательных движениях стержней в двигателях.
В заключение заметим, что полярные координаты широко применяются при определении длин кривых, площадей фигур, объемов и площадей поверхностей тел вращения, а также в задачах на определение центра масс и момента инерции тела. Кривые, рассмотренные в статье, нередко возникают при решении различных задач в электротехнике, акустике, гидростатике и механике.
Как построить лемнискату бернулли в полярных координатах
1. Исторические сведения. В 1694 г. Якоб Бернулли в работе, посвященной теории приливов и отливов, использовал в качестве вспомогательного средства линию, которую он задает уравнением Он отмечает сходство этой линии (рис. 493) с цифрой 8 и с узлообразной повязкой, которую он именует «лемниском». Отсюда название лемниската. Лемниската получила широкую известность в 1718 г., когда итальянский математик Джулио Карло Фаньяно (1682-1766) установил, что интеграл, представляющий длину дуги
лемнискаты, не выражается через элементарные функции, и тем не менее лемнискату можно разделить (с помощью линейки и циркуля) на равных дуг при условии, что или или где любое целое положительное число.
Лемниската есть частный вид линии Кассини (§ 509, п. 6). Однако, хотя линии Кассини получили всеобщую известность с 1749 г., тождественность «восьмерки Кассини» с лемнискатой Бернулли была установлена лишь в 1806 г. (итальянским математиком Саладини).
2. Определение. Лемниската есть геометрическое место точек, для которых произведение расстояний от них до концов данного отрезка равно Точки называются фокусами лемнискаты; прямая ее осью.
3. Уравнение в прямоугольной системе (начало координат О — середина отрезка ось ОХ направлена по
Уравнение в полярной системе (О — полюс, полярная ось):
Угол изменяется в промежутках и .
Рациональное параметрическое представление:
где параметр и связан с соотношением
4. Построение. Можно применить общий способ построения линий Кассини, но нижеизложенный способ Маклорена) и проще и лучше. Строим (см. рис. 493) окружность радиуса — с центром в точке . Проводим произвольную секущую и откладываем
на этой прямой в обе стороны от точки О отрезки и равные хорде Точка опишет одну из петель лемнискаты, точка другую.
5. Особенности формы. Лемниската имеет две оси симметрии: прямую и прямую Точка О — узловая; обе ветви имеют здесь перегиб. Касательные в этой точке составляют с осью ОХ углы Точки лемнискаты, наиболее удаленные от узла О (вершины лемнискаты), лежат на оси на расстоянии с от узла.
6. Свойство нормали. Полярный радиус лемнискаты образует с нормалью угол вдвое больший полярного угла
Другими словами: угол между осью ОХ и вектором внешней нормали лемнискаты в точке равен утроенному полярному углу точки
7. Построение касательной. Чтобы построить касательную к лемнискате в ее точке проводим полярный радиус и строим Перпендикуляр к прямой есть искомая касательная.
8. Наибольший поперечник (см. рис. 493) служит основанием равностороннего треугольника с вершиной О.
9. Радиус кривизны
10. Площадь S полярного сектора
(К — проекция фокуса на полярный радиус ).
Другими словами: перпендикуляр опущенный из фокуса лемнискаты на произвольный полярный радиус делит площадь сектора пополам.
Площадь каждой петли лемнискаты .
11. Связь с гиперболой. Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из центра О равносторонней гиперболы с вершинами на ее касательные, есть лемниската с теми же вершинами.