Как построить годограф найквиста

Как использовать диаграмму Найквиста (амплитудно-фазовую частотную характеристику) для частотного анализа

Большинство инженеров-электронщиков хорошо знакомы с графиками Боде (логарифмическими амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристиками). Мы используем эти термины для обозначения графиков, на которых по горизонтальной оси откладывается частота в логарифмическом масштабе, а по вертикальной оси откладывается амплитуда (выраженная в децибелах) или фаза. Исходный график Боде представлял собой прямолинейную аппроксимацию реальной частотной характеристики системы, но в настоящее время мы используем этот термин и для математически точных графиков, генерируемых программным обеспечением для моделирования.

Однако существует другой метод визуального описания того, как система реагирует на разные входные частоты. Он называется графиком Найквиста (или диаграммой Найквиста) и используется в основном для анализа устойчивости. Он может быть менее интуитивно понятным, чем график Боде (логарифмические АЧХ и ФЧХ), но он более прямо указывает, будет ли усилитель устойчивым, и может одновременно передавать информацию об амплитуде и фазе.

Полярная система координат против декартовой системы координат

Диаграмма Найквиста – это график в полярной системе координат, и я думаю, что мы должны начать это обсуждение с краткого обзора концепции полярной системы координат.

Наиболее распространенный тип графика содержит независимую переменную, которая увеличивается вдоль горизонтальной оси, и зависимую переменную, которая выражается посредством изменения вертикального положения. Чтобы идентифицировать эту систему, которая передает информацию с помощью горизонтального и вертикального расстояния от двух осей, мы используем термин «декартовы координаты».

График в полярной системе координат, напротив, передает информацию, указывая амплитуду и угол. Амплитуда соответствует радиальному расстоянию от начала координат до любой точки кривой, а угол измеряется против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси. На приведенной ниже диаграмме амплитуда обозначена как r , а угол – как θ .

Рисунок 1 Полярная система координат Рисунок 1 – Полярная система координат

Комплексные числа

Поскольку графики в полярной системе координат по своей природе связаны с понятием пары значений, состоящей из амплитуды и угла, неудивительно, что они особенно полезны, когда мы работаем с комплексными числами. Комплексное число, выраженное в полярной форме, может быть сразу перенесено на график в полярной системе координат в виде амплитуды и угла, или мы можем использовать прямоугольную форму для определения местоположения точки, откладывая мнимую часть по вертикальной оси, а действительную часть – по горизонтальной оси.

Диаграмма Найквиста

Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ, график Боде) передает значения амплитуды или фазы в зависимости от частоты. Таким образом, для описания амплитудно-частотного и фазо-частотного отклика системы вам нужны два графика (или, по крайней мере, вам нужны две кривые – вы можете включить две кривые в один график).

На диаграмме Найквиста, напротив, требуется только одна кривая. Это возможно, потому что график Найквиста является полярным: каждая точка на кривой указывает как амплитуду (через расстояние от начала координат), так и фазу (через геометрический угол), а многочисленные различные точки, которые образуют кривую, отражают реакцию системы на многочисленные различные входные частоты. Частота на графике Найквиста проходит от 0 до бесконечности, а для указания направления, в котором увеличивается частота, используется стрелка.

Я думаю, что будет намного понятнее после того, как мы рассмотрим пример. Следующая диаграмма – это график Найквиста для RC фильтра нижних частот первого порядка.

Рисунок 2 Диаграмма Найквиста для RC фильтра нижних частот первого порядка Рисунок 2 – Диаграмма Найквиста для RC фильтра нижних частот первого порядка

Давайте подробно рассмотрим этот график, чтобы убедиться, что мы понимаем, на что мы смотрим.

Наш пример диаграммы Найквиста

Вопрос: Прежде всего, почему на нем две кривые?

Ответ: Сплошная линия для положительных частот, а пунктирная линия для отрицательных частот. Они являются зеркальным отражением друг друга. Просто игнорируйте пунктирную линию.

Вопрос: Где находится информация о частоте?

Ответ: Помните, что кривая простирается от ω = 0 до ω = ∞ , а стрелка указывает направление увеличения частоты. Таким образом, сплошная кривая начинается при ω = 0 с правой стороны графика (при значении 1 на оси действительных значений) и заканчивается в начале координат, что соответствует ω = ∞ .

Вопрос: Хорошо, но как я должен интерпретировать этот полукруглый отклик по амплитуде?

Ответ: К счастью, мы уже знакомы с поведением RC фильтра нижних частот, поэтому давайте использовать эти знания, чтобы объяснить этот график Найквиста. В точке, где начинается кривая (т.е. при ω = 0 ), расстояние от начала координат равно 1. Другими словами, коэффициент передачи для низких частот, как и ожидалось, равен единице. По мере увеличения частоты радиальное расстояние от начала координат до кривой уменьшается – опять же, мы это ожидали, потому что меньшее радиальное расстояние соответствует большему затуханию. В точке, где кривая заканчивается (т.е. ω = ∞ ), расстояние от начала координат до кривой равно нулю, потому что, когда частота «достигает» бесконечности, фильтр нижних частот создает бесконечное затухание.

Вопрос: Это начинает обретать смысл. Я вижу, как изменение угла начинается от 0°, как и ожидалось, но фильтр нижних частот должен иметь конечный сдвиг фазы –90°. Как это отражено на диаграмме Найквиста? Я не могу измерить фазу точки, которая находится непосредственно над началом координат.

Ответ: Это, правда, немного сбивает с толку, но если вы сосредоточитесь на поведении кривой по мере приближения к началу координат, вы увидите, что угол стремится к –90°. Это показано на следующем графике, который также служит кратким изложением того, что мы только что рассмотрели.

Рисунок 3 Пояснения к диаграмме Найквиста Рисунок 3 – Пояснения к диаграмме Найквиста

Заключение

Надеюсь, что теперь у вас есть четкое понимание самых основных характеристик диаграммы Найквиста. Мы рассмотрим эту тему подробнее в следующей статье.

3. Частотные характеристики систем автоматического управления (АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ) ч. 3.1

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами» читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки» факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность!

Данные лекции готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

В этом разделе мы будем изучать частотные характеристики. Тема сегодняшней статьи:
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ

Будет интересно, познавательно и жестко.

3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ

Определение: Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию звена (системы) на единичное синусоидальное воздействие в установившемся режиме, т.е. в режиме вынужденных гармонических колебаний звена (системы).

Формула синусоидального воздействия может быть записана как:

— сдвиг фазы (нередко называют — фаза);
— амплитуда;
т.е. амплитуда на выходе звена(системы) и сдвиг фазы зависят от частоты входного воздействия x(t).

Используем показательную форму записи функции единичного гармонического воздействия и отклика на это воздействие (рис. 3.1.1):

Определим связь между передаточной функцией и гармоничным воздействием, пользуясь показательной формой.
Рассмотрим звено уравнение динамики которого имеет следующий вид:

В показательной форме:

Запишем в показательной форме используя соотношения 3.1.1:

Подставим эти соотношения в (3.1.1) получим:

Поскольку (амплитуда на выходе звена(системы) и сдвиг фазы зависят от частоты входного воздействия), то можно записать:

если вспомнить, что в преобразования Лапласа , то:

Получаем выражение для передаточной функции

— Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ)
Иногда называют частотной передаточной функцией.
Модуль АФЧХ= тождественно равен амплитуде выходного сигнала:

Сдвиг фазы выходного сигнала:

Обычно АФЧХ изображается на комплексной плоскости. Формулы (3.1.6) и (3.1.7) позволяют изобразить в полярных координатах
Так же можно изображать в традиционных декартовых координатах:

Если использовать для представления W(s) форму W(s)=K·N(s)/L(s), где L(s)- полиномы по степеням s, (причем свободные члены равны 1), а К – общий коэффициент усиления звена (системы), то

Сдвиг фазы можно определить по виду многочленов и (см. формулу (3.1.9)) т.е. как разность фаз (аргументов) числителя и знаменателя:

Постоим АФЧХ для «абстрактного» звена (системы) с передаточной функцией:

Подставляя в формулу различные значения , получаем набор векторов, на комплексной плоскости

Рассмотрим действительную и мнимую части полученных векторов Из рисунка 3.1.3 видно, что:

Амплитуда и сдвиг фазы рассчитываются для векторов, соответствующих положительным частотам и лежащих в 4 квадранте по формулам:

В общем случае для любых углов сдвига необходимо учитывать переход между квадрантами на плоскости. Тогда формула принимает вид:

где:
j = 0, 2, 3, 4. если вектор в I и IV квадрант;
j = 1, 3, 4, 4. если вектор в II и III квадранте.

Во всех технических системах отклик системы, как правило, отстает от входного воздействия, то есть сдвиг фазы всегда отрицательный. Исходя из формулы 3.1.10, степень полинома L(s) выше, чем полинома N(s). Поскольку обычно степень полинома L(s) выше, чем полинома N(s), то с увеличением частоты на входе в звено (в систему) сдвиг фазы обычно отрицателен, т.е. сигнал на выходе звена еще больше отстает по фазе от входного сигнала при увеличении частоты.
В предельном случае, если частота растет до бесконечности, мы можем вообще не получить выходного воздействия. Обычно при ω→ ∞ величина амплитуды на выходе звена стремится к 0, то есть lim A(ω→∞) = 0.

при замене на имеет зеркальное изображение.

Анализируя годографы АФЧХ при > 0 (сплошная линия на рисунке 3.1.3) и при < 0 (пунктирная линия), видим, что:
– четная функция, следовательно график симметричен относительно оси ординат, а
– нечетная функция и ее график центрально-симметричен относительно начала координат.

Кроме анализа свойств звена (системы) по годографу АФЧХ, широкое распространение получили анализ логарифмической амплитудной характеристики (ЛАХ) и фазочастотной характеристики (ФЧХ).

ЛАХ определяется как Lm(ω)=20lgA(ω).

Поскольку зачастую удобнее использовать десятичные логарифмы (lg), чем натуральные(ln), в теории управления (также и в акустике) значительно чаще используется специальная единица – децибел (1/10 часть Бела):
+1Бел – единица, характеризующая увеличение в 10 раз.
+1дБ (децибел) – соответствует увеличению в раз.

В формуле Lm(ω)=20lgA(ω) величина Lm(ω) измеряется также в децибелах. Происхождение множителя 20 таково: A(ω) – амплитуда, линейная величина, а мощность — квадратичная величина (например, напряжение в сети измеряется в Вольтах, а мощность () пропорциональна квадрату напряжения, поэтому в формуле для Lm(ω) стоит множитель 20 (чтобы привести ЛАХ (Lm(ω)) к традиционной мощностной характеристике).

Если больше на 20 дБ, то это означает, амплитуда больше амплитуды в 10 раз,

Окончательно: Lm(ω)=20lg│W(iω)│= 20lgA(ω)

Из этого следует, что +1 децибел (+1 дБ) соответствует увеличению амплитуды в раз (очень малая величина); -1 дБ – уменьшение амплитуды в раз.

Графики A(ω) и φ(ω) имеют вид:

Учитывая, что “ω” обычно изменяется на порядки и значение A(ω) – также на порядки, график Lm(ω) строится, фактически, в логарифмических координатах, т.е. Lm(ω) =Lm(lg(ω)), например:

Наклон (– 40 дБ/дек) соответствует уменьшению амплитуды в 100 раз при увеличении частоты в 10 раз.

Рассмотренные характеристики Lm(ω), то есть ЛАХ и ФЧХ имеют широкое распространение при анализе динамических свойств звена (системы), например, при анализе устойчивости САР (см. раздел “Устойчивость систем автоматического управления”).

Рисунок 3.1.10 – пример ЛАХ и ФЧХ для сложной системы

Пример 1

В качестве примера построим АФЧХ для демпфера, модель которого разобрана в этой статье. . Добавим на схему блок «Построение частотных характеристик», в качестве входа возьмем возмущающее воздействие, в качестве выхода — положение положение груза. Для наглядности иллюстрации примем в качестве выхода положение в миллиметрах (х1000), поскольку модель у нас размерная и результат получается в метрах уже достаточно маленьким примерно 0.004 метра. см. рис. 3.11

Параметры блока «Построение частотных характеристик» приведены на рисунке 3.1.12, для иллюстрации зависимости АЧХ и ЛАХ. Результат работы блока — график с выбранными параметрами — изображен на рисунке 3.1.13:

Анализ графика в линейном масштабе по ω чаще всего не очень удобен, поскольку весь график собирается в узкой области, а дальше график абсолютной амплитуды практически сливается с 0. Если мы хотим исследовать частоты хотя бы до 1000 Гц, мы увидим практически вертикальные и горизонтальные прямые. Изменения масштаба шкалы АЧХ и ω на логарифмический дает возможность лучше исследовать частотные характеристики (см. рис. 3.1.14).

На рисунке 3.1.14 представлены частотные характеристики демпфера в логарифмическом масштабе и иллюстрация соотношения между абсолютной величиной амплитуды АФЧХ и ЛАХ в децибелах.

Пример 2

Постоим частотные характеристики для чуть более сложной модели, а именно — для гидравлического демпфера, рассмотренного в предыдущей лекции.

Для начала посмотрим на модель в виде блоков.

Модель, подготовленная для анализа, представлена на рисунке 3.1.15. В отличие от исходной модели, описанной ранее, входное воздействие задается блоком «ступенька» с скачком с 0 до 1 на 10 секунде расчёта. В блоке «линейная функция» происходит пересчет сигнала «ступенька»:
0 — соответствует 200 бар в камере (конечное состояние в предыдущем примере)
1 — соответствует 400 бар в камере.
Это сделано для того, чтобы можно было подавать синусоидальный сигнал и не получать отрицательное давление в камере плунжера. Также для наглядности графика мы усиливаем выходное перемещение, переводя его из метров в миллиметры.

Частотные характеристики, получаемые в конце расчёта, приведены на рисунке 3.1.16. Видно что характеристики отличаются от простого пружинного демпфера (сравните с 3.1.14)

Блок «Построение частотных характеристик» осуществляет расчет характеристик для линеаризованной модели в окрестности заданной точки. Это означает, что частотные характеристики системы в разные моменты времени могут отличаться для нелинейных моделей. Например, в нашем случае характеристики в начале расчёта будут отличаться от характеристик, полученных в конце расчёта.

Для подробных и нелинейных моделей, блок «Построение частотных характеристик» может не работать из за наличия разрывов и нелинейностей в модели. Как например, для «точной» модели демпфера, которую мы проверяли в предыдущей статье. В этом случае возможно построить частотные характеристики непосредственно моделированием, путем подачи синусоидального сигнала с разной частотой и измерения отклика. В SimInTech для этого используется блок «Гармонический анализатор», который подключается ко входу модели и генерирует синусоидальное воздействие. В этот же блок направляется отклик системы, и производится вычисление необходимых параметров для построения различных характеристик системы, которые можно вывести на графики с помощью блока «фазовый портрет».

Модель гидравлического демпфера, собранного из библиотечных блоков SimInTech, представлена на рисунке 3.1.7

Расчеты с моделью показывают, что при сохранении общего вида графиков значения, полученные для «подробной модели», отличаются от линеаризованной модели (см. рис. 3.18 — 3.19)

Использование прямого моделирования для получения характеристик является более надежным способом и работает не только с линейными моделями, но также может быть применимо для построения характеристик некоторых реальных объектов, если их можно подключить к среде моделирования и воздействовать в реальном режиме времени. Однако затраты на вычисления значительно будут больше. Например, для получения характеристик демпфера пришлось выполнить процесс в 40 000 секунд модельного времени, на обычном компьютере это заняло порядка 35 минут. График процесса перемещения плунжера в процессе вычисления характеристик приведен на рисунке 3.1.20.

Блок «Гармонический анализатор» имеет выходы:
Re(w*t) – текущее значение действительной части амплитудно-фазовой частотной характеристики исследуемой системы;
Im(w*t) – текущее значение мнимой части амплитудно-фазовой частотной характеристики.
Это позволяет построить годограф исследуемой системы с помощью фазового портрета. (см. рис. 3.1.21)

Критерий устойчивости Найквиста. Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам , страница 2

Левый годограф – годограф заведомо устойчивой системы, не охватывает точки />, что и требуется согласно критерию Найквиста для устойчивости замкнутой системы. Правый годограф – годограф трёхполюсной, заведомо неустойчивой системы обходит точку />три раза против часовой стрелки, что и требуется согласно критерию Найквиста для устойчивости замкнутой системы.

Амплитудно-фазовые характеристики систем с действительными параметрами – а только такие и встречаются на практике, симметричны относительно действительной оси. Поэтому обычно рассматривается только половина амплитудно-фазовой характеристики, соответствующая положительным частотам. При этом считаются полуобходы точки . Пересечение отрезка () при увеличении частоты сверху вниз (фаза растёт) считается за пересечение, а снизу вверх – за пересечение. Если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы начинается на отрезке (), то этому будет соответствовать или пересечение в зависимости от того, вниз или вверх идёт характеристика при возрастании частоты.

Подсчёт числа пересечений отрезка () можно произвести по логарифмическим частотным характеристикам. Уточним, это те пересечения, которым соответствует фаза при модуле амплитудной характеристики больше единицы.

Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам.

Чтобы воспользоваться критерием Михайлова, надо построить годограф . Здесь – характеристический полином замкнутой системы.

В случае критерия Найквиста достаточно знать передаточную функцию разомкнутой системы. При этом нет необходимости строить годограф. Для определения устойчивости по Найквисту, достаточно построить логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики разомкнутой системы.

Наиболее простое построение получается тогда, когда передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде

, тогда ЛАХ ,

ЛФХ .

Рисунок ниже соответствует передаточной функции

Здесь и построены как функции .

Изображённые ниже логарифмические частотные характеристики соответствуют уже упоминавшейся выше системе с передаточной функцией (разомкнутой системы)

Слева изображены амплитудная и фазовая частотные характеристики для передаточной функции , справа – для передаточной функции , в центре – для исходной передаточной функции (как это насчитала нам программа Les, метод “Integration”).

Три полюса функции сдвинуты влево (устойчивая система). Фазовая характеристика, соответственно, имеет 0 пересечений уровня . Три полюса функции сдвинуты вправо (неустойчивая система). Фазовая характеристика, соответственно, имеет три полупересечения уровня в областях, где модуль функции передачи больше единицы.

В любом случае замкнутая система устойчива.

Центральная картинка – расчёт в отсутствие подвижек корней, является предельной для правой картинки, ход фазы на левой картинке радикально отличен. Где истина?

Примеры из [2].

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Разомкнутая система устойчива при любых положительных k и Т. Устойчива и замкнутая система, как это видно из годографа слева на рисунке.

При отрицательном Т разомкнутая система неустойчива – имеет плюс в правой полуплоскости. Замкнутая система устойчива при , как это видно по годографу в центре, и неустойчива при (годограф справа).

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид ():

Она имеет один полюс на мнимой оси. Следовательно, для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы число пересечений амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы отрезка () действительной оси было равно (если рассматривать годограф только для положительных частот).

Как уже упоминалось, автор [2] полагает такую систему неустойчивой.

Согласно годографу (см. рисунок ниже), при амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не пересекает отрезок (). Зато его пересекает идущая против часовой стрелки слева полуокружность большого радиуса. Часть этой полуокружности, соответствующая положительным частотам, начинается на отрезке () и идёт вниз от него. Таким образом, имеем одно полупересечение отрезка (), и замкнутая система будет устойчивой.

Опять-таки, полагая описанную систему устойчивой, построим полуокружность большого радиуса справа. Согласно тому же критерию Найквиста, построенный таким образом годограф соответствует устойчивой замкнутой системе.