Найдите все значения а при каждом из которых неравенство не имеет решений

Найдите все значения а при каждом из которых неравенство не имеет решений

Тип 17 № 515653

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

не имеет решений на интервале (1; 2).

Преобразуем исходное неравенство:

В системе координат xOa решением системы являются координаты точек выделенных оранжевым цветом

С помощью графика найдём решения неравенства на интервале (1; 2):

При неравенство не имеет решений;

— при решением являются все точки, лежащие правее прямой , но левее правой ветви параболы , т. е.

— при решением являются все точки между прямыми и т. е.

— при решением являются все точки, лежащие правее правой ветви параболы и левее прямой , т. е.

Задача 10079 Найдите все значения параметра а, при.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство |(x^2+x-2a)/(x+a)-1| меньше или равно 2 не имеет решений на интервале (1;2).

Решение

<(x^2-2х-5а)/(x+a) меньше или равно 0;
<(x^2+2х-а)/(x+a) больше или равно 0.
Рассматриваем два случая:
1)
Если a+x > 0 (неравенство строгое, знаменатель отличен от 0),
то
(x^2+2х-а) больше или равно 0
(х:2-2х-5а) меньше или равно 0
Запишем в виде системы, относительно а
.
Изобразим множество решений системы на плоскости хОа.
Множество точек, удовлетворяющих неравенству а > — x, расположено выше прямой а = -х.
Множество точек, удовлетворяющих неравенству a меньше или равно х^2+2x, расположено вне параболы а=х^2+2x;
Множество точек, удовлетворяющих неравенству a больше или равно (х^2-2x)/5, расположено внутри параболы а=(х^2-2x)/5.
Проводим прямые х=1 и х=2. Множество точек внутри полосы удовлетворяет неравенству 1 < x < 2 ( cм. рисунок 1). Этому множеству на оси Оа соответствует множество точек удовлетворяющих неравенству
-1/5 < a < 8.
При а=-1/5 получим х=1 — решение неравенства
При а =8 получим х=2 — решение неравенства
Если а∈(-∞;-1/5 )U(8;+ ∞) решения неравенства не принадлежат (1;2)

2)
Если a+x < 0 (неравенство строгое, знаменатель отличен от 0),
то
(x^2+2х-а) меньше или равно 0
(х^2-2х-5а) больше или равно 0
Запишем в виде системы, относительно а
.
Изобразим множество решений системы на плоскости хОа.
Множество точек, удовлетворяющих неравенству а > — x, расположено ниже прямой а = -х.
Множество точек, удовлетворяющих неравенству a меньше или равно х^2+2x, расположено внутри параболы а=х^2+2x;
Множество точек, удовлетворяющих неравенству a больше или равно (х^2-2x)/5, расположено вне
параболы а=(х^2-2x)/5.
Пересечение указанных множеств не содержит интервала (1;2).
См. рисунок 2.
О т в е т. а∈(-∞;-1.5 )U(8;+ ∞)