Уравнение окружности
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.
Если точка С — центр окружности, R — ее радиус, а М — произвольная точка окружности, то по определению окружности
Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С.
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b) — центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у) — произвольная точка этой окружности.
Так как |СМ| = \( \sqrt <(x — a)^2 + (у — b)^2>\), то уравнение (1) можно записать так:
(x — a) 2 + (у — b) 2 = R 2 (2)
Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b). Например, уравнение
(x — l) 2 + (y + 3) 2 = 25
есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; —3).
Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид
x 2 + у 2 = R 2 . (3)
Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности.
Задача 1. Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат.
Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим
x 2 + у 2 = 49.
Задача 2. Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3; —6).
Подставив значение координат точки С и значение радиуса в формулу (2), получим
(х — 3) 2 + (у — (—6)) 2 = 81 или (х — 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.
Задача 3. Найти центр и радиус окружности
(х + 3) 2 + (у —5) 2 =100.
Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (2), видим, что а = —3, b = 5, R = 10. Следовательно, С(—3; 5), R = 10.
Задача 4. Доказать, что уравнение
x 2 + у 2 + 4х — 2y — 4 = 0
является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.
Преобразуем левую часть данного уравнения:
x 2 + 4х + 4— 4 + у 2 — 2у +1—1—4 = 0
(х + 2) 2 + (у — 1) 2 = 9.
Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (—2; 1); радиус окружности равен 3.
Задача 5. Написать уравнение окружности с центром в точке С(—1; —1), касающейся прямой АВ, если A (2; —1), B(— 1; 3).
Напишем уравнение прямой АВ:
или 4х + 3y —5 = 0.
Так как окружность касается данной прямой, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Для отыскания радиуса необходимо найти расстояние от точки С(—1; —1) — центра окружности до прямой 4х + 3y —5 = 0:
Напишем уравнение искомой окружности
(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 /25
Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность x 2 + у 2 = R 2 . Рассмотрим ее произвольную точку М(х; у) (рис. 105).
Пусть радиус-вектор OM > точки М образует угол величины t с положительным направлением оси Ох, тогда абсцисса и ордината точки М изменяются в зависимости от t
(0 2 = 3 cos 2 t, у 2 = 3 sin 2 t. Складывая эти равенства почленно, получаем
Как параметризовать окружность
Параметрическое представление окружности радиуса с центром в начале координат:
где — параметр. Ранее мы отмечали, что равномерное приращение дает отличное изображение, но алгоритм неэффективен из-за частого вызова тригонометрических функций. В работе [4-2] приводится более быстрый алгоритм.
Полной окружности соответствует диапазон изменения параметра от 0 до . Если рассматривать некоторое фиксированное число равномерно распределенных точек по окружности, то приращение параметра между точками можно считать константой. Координаты любой точки на окружности с центром в начале координат
где — значение параметра для точки , .
По формуле суммы углов
Вспомним уравнение (4-4) для
и получим рекурсивные уравнения
что соответствует повороту точки , на .
Так как постоянно и равно , где — количество равномерно распределенных по окружности точек, значения и нужно вычислить только один раз. Во внутреннем цикле используются только четыре умножения, вычитание и сложение, поэтому алгоритм работает очень быстро. Результат на рис. 4-5 соответствует расчетам по формуле (4-4).
Окружность с центром в произвольной точке получается переносом окружности соответствующего радиуса с центром в начале координат. В некоторых случаях можно упростить задачу: сначала строить единичную окружность с центром в начале координат, а затем, комбинируя перенос и масштабирование, получить окружности с любым радиусом и центром.
Пример 4-3 Генерация параметрической окружности
Построить окружность радиуса 2 с центром в точке . Рассмотрим два метода. Первый: построить окружность радиуса 2 с центром в начале координат и перенести на 2 единицы по и . Второй: построить единичную окружность с центром в начале координат, увеличить в два раза и, наконец, перенести. Воспользуемся вторым методом. Пусть для простоты на окружности лежат восемь точек, хотя обычно требуется гораздо большее количество. На самом деле количество точек зависит от радиуса.
Окружность — это замкнутая кривая, поэтому первая и последняя точки совпадают. Следовательно, чтобы получить различных точек на окружности, нужно вычислить точку. Для незамкнутых кривых это необязательно.
Уравнение окружности в параметрическом виде
Лемниската Бернулли – линия, представляющая геометрическое место точек, расстояние которых от двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина, равная квадрату половины межфокусного расстояния.
В полярных координатах
Укажем, что точка М лежит на кривой, если выполнено условие
Вершины кривой находятся в точках
Площадь каждой петли S=a 2 .
В полярных координатах
Вершина кардиоиды находится в точке А(2а,0).
Укажем, что площадь кардиоиды , а длина L=8a.
6. Параметрическое задание линий
Параметрические уравнения линий задаются в виде зависимости текущих координат x и y от некоторого параметра t. Каждому значению t соответствуют два значения: x и y. При изменении параметра t текущая точка M(x,y) описывает некоторую кривую на плоскости.
Пусть M(x,y) – текущая точка окружности с центром в начале координат и радиусом R. В качестве параметра t выберем угол, который составляет радиус-вектор точки М с осью ox . Из треугольника ОМА:
– параметрические уравнения окружности.
Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в квадрат и сложим их:
| | | следующая лекция ==> | |
| Четырехлепестковые розы | | | Астроида |
Дата добавления: 2013-12-13 ; Просмотров: 2896 ; Нарушение авторских прав? ;
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Параметрическое представление — используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.
Содержание
Параметрическое представление функции [ править | править код ]
Предположим, что функциональная зависимость y от x не задана непосредственно y = f(x), а через промежуточную величину — t. Тогда формулы
;> y = ψ ( t ) <displaystyle y=psi (t)>
задают параметрическое представление функции одной переменной.
Если предположить, что обе эти функции φ и ψ имеют производные и для φ существует обратная функция θ, явное представление функции выражается через параметрическое как [1] :
y = ψ ( θ ( x ) ) = f ( x ) <displaystyle y=psi ( heta (x))=f(x)>
и производная функции может быть вычислена как
y ′ ( x ) = d y d x = y t ′ x t ′ = ψ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) <displaystyle y'(x)=<frac >=<frac >>=<frac <psi ‘(t)><phi ‘(t)>>>
Параметрическое представление даёт такое важное преимущество, что позволяет изучать неявные функции в тех случаях, когда их приведение к явному виду иначе как через параметры затруднительно.
Параметрическое представление уравнения [ править | править код ]
Параметрическое представление для более общего случая: когда переменные связаны уравнением (или системы уравнений, если переменных больше двух).
Параметрическое уравнение [ править | править код ]
Близкое понятие — параметрическое уравнение [2] множества точек, когда координаты точек задаются как функции от некоторого набора свободных параметров. Если параметр один, мы получим параметрическое уравнение кривой.
x = x ( t ) ; y = y ( t ) <displaystyle x=x(t);y=y(t)> (кривая на плоскости), x = x ( t ) ; y = y ( t ) ; z = z ( t ) <displaystyle x=x(t);y=y(t);z=z(t)> (кривая в 3-мерном пространстве),
Выражая координаты точек поверхности через два свободных параметра, мы получим параметрическое задание поверхности.
Примеры [ править | править код ]
Уравнение окружности имеет вид:
Параметрическое уравнение окружности:
;> y = r sin t ; 0 ≤ t 2 π <displaystyle y=r
Гипербола описывается следующим уравнением:
x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1. <displaystyle <frac > >>-<frac > >>=1.>
Параметрическое уравнение правой ветви гиперболы :
t> ; y = b sh t ; − ∞ t + ∞ <displaystyle ;
Параметрический способ задания функций
Пусть даны два уравнения
$x=phi (t)$ и $y=psi (t)$
В которых $t$ принимает значения с отрезка [n1; n2]. Каждому значению t соответствуют значения x и y — координаты точки на плоскости Оxy.
Когда $t$ изменяет свое значение на промежутке от $n1$ до $n2$, точка описывает некоторую кривую. Уравнения $x=phi (t)$ и $y=psi (t)$ получили название параметрических для кривой, а $t$ — параметра.
Предположим, что функция $x=phi (t)$ имеет обратную функцию $t= (x)$. Тогда справедливо равенство:
Параметрический способ задания функций широко применяется в механике. Так, если в плоскости некоторая материальная точка находится в движении (время $t$), и законы движения проекций этой точки на оси координат известны:
Уравнения являются параметрическими уравнениями траекторий движущейся точки. Исключая временной параметр, получим уравнение траектории в форме $y = f(x)$.
Определить траекторию и место падения груза, сброшенного с самолета, движущегося горизонтально со скорость $v_0$ на высоте $y_0$.
Допустим, что груз сбрасывается с момент пересечения самолетом оси Oy. Тогда очевидно, что горизонтальное перемещение груза равномерно и имеет постоянную скорость:
А вертикальное перемещение:
Следовательно, расстояние от груза до земли в произвольный момент падения:
Уравнения горизонтального и вертикального перемещения тела являются параметрическими. Для того, чтобы исключить временной параметр $t$, найдем его значение из первого уравнения.
Полученное выражение подставим во второе параметрическое уравнение чтобы найти уравнение траектории: