Как определить вид треугольника по координатам
Опубликовано 13.06.2017 по предмету Геометрия от Гость >>
Ответ оставил Гость
1) Для начала, чтобы определить вид треугольника, надо найти длины его сторон. Как это делается?
Допустим, для стороны AB:
Тогда |AB|=√8 ед.
В данном случае не важно берём ли мы A(x1;y1) или (x2;y2), поскольку в квадрате всё равно минус уйдёт, но, запомните, если вы находите не длину вектора, а его координаты, то очень важно, что буква, которая стоит второй, от её координат будут отниматься координаты первой.
То есть: AB(x2-x1;y2-y1), где A(x1;y1), B(x2;y2)
BA(x2-x1;y2-y1), где A(x2;y2), B(x1;y1)
Это крайне важно, так как тут уже значения будут разные, если не запомнить этого.
Но это просто между слов — сейчас нам это не надо.
Как мы нашли |AB|, так мы находим BC и AC:
ед
ед
Первое, что мы видим, что AB≠BC≠AC, то есть треугольник не равнобедренный и не равносторонний.
Теперь стоит проверить на последнюю теорему — теорему Пифагора, если это равнобедренный треугольник, то его диагональ длиннее двух его сторон, то есть ею должна быть сторона BC.
Теорема Пифагора:
c²=a² + b², где у нас в данном случае c=|BC|, a=|AB|, b=|AC|
Проверяем:
|BC|²=|AB|²+|AC|²
√10²=√8² + √2²
10=8+2
10=10
Итак, теорема работает, значит перед нами прямоугольный треугольник.
2) Площадь прямоугольного треугольника это половина произведения его катетов:
это будет равно 2 ед² (√8*2=√16=4 и делим на 2)
3) Формула нахождения центра вписанной окружности следующая:
Не стоит говорить, как такую формулу выводить, просто нужно её запомнить.
Тогда:
Что примерно равно 0,54 ед (коль мой калькулятор мне не лжёт).
4)R=c/2
Такова формула радиуса описанной окружности, то есть R=0,5√10 ед
Если где-то чего-то недостаточно из объяснения, то пишите в лс — распишу ещё подробней.
2.9. Типовая задача с треугольником
Многие помнят из школы признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников и мучительное заучивание доказательств теорем. Как в сердцАх сказал один мой одноклассник, «не понимаю, на### доказывать равенство треугольников, если и так видно, что они одинаковые». Мы тоже не будем ничего доказывать, поскольку аналитическая геометрия рассматривает треугольник совсем с другой стороны.
Типовая задача, как правило, формулируется так: Даны три вершины треугольника. Требуется найти… много чего требуется найти…. Повезёт, если будет пункта 3-4, но чаще всего их 5-6 и даже больше. И вам повезло – разберём всё! Или почти всё:
Задача 95
Даны вершины треугольника . Требуется:
1) составить уравнения сторон и найти их угловые коэффициенты;
2) найти длину стороны ;
3) найти ;
4) составить прямой , проходящей через точку параллельно прямой ;
5) составить уравнение высоты и найти её длину;
6) вычислить площадь треугольника ;
7) составить уравнение медианы ;
8) найти точку пересечения .
и для особо опасных энтузиастов:
9) найти уравнение биссектрисы ;
10) найти центр тяжести треугольника;
11) составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник.
С чего начать решение? Начать целесообразно с выполнения чертежа. По условию этого можно не делать, но для самоконтроля и самопроверки всегда строим чертёж на черновике, не устану это рекомендовать: 
Ещё раз напоминаю, что самый выгодный масштаб 1 единица = 1 см (2 тетрадные клетки). Всё хорошо видно, и расстояния удобно измерять линейкой.
Вперёд без страха и сомнений:
1) Составим уравнения сторон и найдём их угловые коэффициенты.
Поскольку известны вершины треугольника, то уравнения каждой стороны составим по двум точкам.
Составим уравнение стороны по точкам :
Для проверки мысленно либо на черновике подставляем координаты каждой точки в полученное уравнение.
Теперь найдём угловой коэффициент. Для этого перепишем общее уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом:
Таким образом, угловой коэффициент:
Самостоятельно разбираемся со сторонами и сверяемся, что получилось:
2) Найдём длину стороны . Используем соответствующую формулу для точек :
Сторону легко измерить обычной линейкой, хотя это не сильно строгая проверка 🙂
3) Найдём . Это Задача 31, повторим: 
Таким образом:
, и сам угол:
, ну что же, похоже на правду, желающие могут приложить транспортир, у кого он есть.
Внимание! При выполнении этого пункта лучше не использовать формулы ориентированного угла между прямыми, так как они всегда дают острый угол.
4) Составим уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой . Это стандартная задача, и мы ленимся отработать её вновь! 
Из общего уравнения прямой вытащим направляющий вектор . Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :
5) Составим уравнение высоты и найдём её длину.
Первую часть задания мы тоже решали: 
Из уравнения стороны снимаем вектор нормали . Уравнение высоты составим по точке и направляющему вектору :
Обратите внимание, что координаты точки нам не известны.
Иногда уравнение высоты находят из соотношения угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: . В данном случае , тогда: . Уравнение высоты составим по точке и угловому коэффициенту :
Длину высоты можно найти двумя способами.
Существует окольный путь:
6) Вычислим площадь треугольника. Используем «школьную» формулу:
7) Уравнение медианы составим в два шага:
а) Найдём точку – середину стороны . Используем формулы координат середины отрезка. Известны концы , и тогда середина:
б) Уравнение медианы составим по точкам :
– для проверки подставим координаты точек .
8) Найдём точку пересечения высоты и медианы:
в
Первое уравнение умножили на 5, складываем их почленно:
– подставим в первое уравнение:
9) Биссектриса делит угол пополам: 
Из свойств биссектрисы внутреннего угла следует соотношение длин следующих отрезков:
Длины сторон уже найдены в предыдущих пунктах: .
Таким образом, . Координаты точки найдём по формулам деления отрезка в данном отношении. Да, параметр «лямбда» получился просто сказочным, ну а кому сейчас легко? Точки известны и понеслась нелёгкая:
Примечание: на последнем шаге я умножил числитель и знаменатель на сопряжённое выражение – чтобы использовать формулу и избавиться от иррациональности в знаменателе.
Разбираемся со второй координатой:
И предчувствие вас не обмануло, уравнение биссектрисы составим по точкам по формуле :
обратите внимание на технику упрощений:
Проверил, всё сходится. На практике, конечно, вычисления почти всегда будут проще. Никого не хотел запугать, так уж получилось =)
10) Найдём центр тяжести треугольника.
Но сначала поймём, что такое центр тяжести плоской фигуры. Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то теоретически фигура не должна свалиться.
Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке. Из пункта 7 нам уже известна одна из медиан: . Как решить задачу?
Напрашивается очевидный алгоритм: можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь короче! Нужно только знать полезное свойство: 
Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении , считая от вершины треугольника. Поэтому справедливо отношение
Нам известны концы отрезка – точки и .
По формулам деления отрезка в данном отношении:
Таким образом, центр тяжести треугольника:
И заключительный пункт задачи, для освоения которого нужно уметь решать недавно разобранные линейные неравенства:
11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник.
Для удобства я перепишу найденные уравнения сторон:
Рассмотрим прямую . Треугольник лежит в полуплоскости, где находится вершина . Составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в точке : . Поскольку сторона принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим: 
Внимание! Если вам не понятен этот алгоритм, то обратитесь к Задаче 90.
Рассмотрим прямую . Треугольник расположен ниже данной прямой, поэтому очевидно неравенство .
И, наконец, для составим многочлен , в который подставим координаты точки : .
Таким образом, получаем третье неравенство: .
Итак, треугольник определяется следующей системой линейных неравенств:
Какой можно сделать вывод?
Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты,
главное, не допустить вычислительных ошибок.
Следует отметить, что по настоящему трудные задачи в аналитической геометрии встречаются редко, и вы справитесь практически с любой из них! Главное, придерживаться методики решения и проявить маломальское упорство.
Ну что, может ещё задачку? Да ладно, не надо стесняться, я же по глазам вижу, что хотите =)
Но сейчас на очереди другая увлекательная тема, продолжаем изучать геометрию плоскости:
Определите вид треугольника ABC, если A(3 ; 9) B(0 ; 6) C(4 ; 2) решите пожалуйста (на базе 9 класса)геометрия?
Определите вид треугольника ABC, если A(3 ; 9) B(0 ; 6) C(4 ; 2) решите пожалуйста (на базе 9 класса)геометрия.
Найдем длины сторон треугольника АВС$|\overline
Для определения вида треугольника достаточно найти наибольший угол.
Против большей стороны — наибольший угол.
Вид треугольника — прямоугольный.
Определить вид треугольника ABC, если A(1, 4), B(6, 0), C(8, 4)?
Определить вид треугольника ABC, если A(1, 4), B(6, 0), C(8, 4).
Помогите решить задачу по геометрии 7 класс?
Помогите решить задачу по геометрии 7 класс!
Дан треугольник ABC, AN и CM — биссектрисы, AN = CM, AM = CN.
Определите вид треугольника ABC.
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА, ОЧЕНЬ ПРОШУ?
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА, ОЧЕНЬ ПРОШУ.
В треугольнике ABC внешний и внутренний углы при вершине C равны.
Определите, какая из сторон треугольника ABC является наибольшей.
Определите вид треугольника ABC, если A(3 ; 7 ; — 4), B(5 ; — 3 ; 2), C(1 ; 3 ; — 10)?
Определите вид треугольника ABC, если A(3 ; 7 ; — 4), B(5 ; — 3 ; 2), C(1 ; 3 ; — 10).
Определите вид треугольника ABC , если A(3 ; 9 ), B(0 ; 6) , С(4 ; 2)?
Определите вид треугольника ABC , если A(3 ; 9 ), B(0 ; 6) , С(4 ; 2).
Ну пожалуйста решите надо найти неизвестные углы треугольника ABC?
Ну пожалуйста решите надо найти неизвестные углы треугольника ABC.
Дан треугольник ABC и координаты вершин этого треугольника?
Дан треугольник ABC и координаты вершин этого треугольника.
Определи длины сторон треугольника и укажи вид этого треугольника.
A(−8 ; −1), B(−5 ; −5) и C(−2 ; −1).
Темой проведённой через вершину в треугольника ABC параллельно стороне AC образует со сторонами BA и BC равные углы Определите вид треугольника ABC?
Темой проведённой через вершину в треугольника ABC параллельно стороне AC образует со сторонами BA и BC равные углы Определите вид треугольника ABC.
Помагите пожалуйста плиз.
Точки M, N и K — середины средних линий треугольника ABC ?
Точки M, N и K — середины средних линий треугольника ABC .
Найти периметр треугольника MNK, если периметр треугольника ABC равен 48см
В треугольнике ABC проведена средняя линия MN?
В треугольнике ABC проведена средняя линия MN.
Периметр треугольника AMN = 25 см.
Определи периметр треугольника ABC.
На этой странице сайта размещен вопрос Определите вид треугольника ABC, если A(3 ; 9) B(0 ; 6) C(4 ; 2) решите пожалуйста (на базе 9 класса)геометрия? из категории Геометрия с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 10 — 11 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.
Б — да, ответствующие углы раны, В — да, сумма соседних углов = 180 градусов а — нет . Накрест лежащие углы не равны г — нет, сумма соседних углов не равна 180 градусов.
Помойму 30 но это не точно.
Нет, не всегда теоремы равенства треугольников знаешь .
Получ. Они образуют перпендикуляр.
Давайте я попробую помочь. : ).
1. нехай АВС — рівнобедрений трикутник ; АС = 4 см, АВ = 11см ; ВС = АВ = 11 см(АВС рівнобедрений), тоді Р = АВ + ВС + АС = 11 + 11 + 4 = 26(см) 2. Нехай АВС — рівнобедрений трикутник ; АС = 8см, Р = 26см ; у рівнобедреному трикутнику бічні сторони ..
Короче, вот тебе решение с чертежом. Я сама пыталась решить, но ничо не поняла) ответ скорее всего удалят.
Рисунка не будет, ибо там рисовать нечего. Обычный треугольник АВС только с продолженной стороной АС, там и будет угол в 150° Дано : ΔАВС — равносторонний. ∠С(внешний) = 150° Найти : ∠В Решение : 1)∠С = 180° — 150° = 30° (смежные углы) 2)∠А = ∠С = ..