Как найти тангенс угла наклона

Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной

Секущая графика функции. Уравнение секущей графика функции

Рассмотрим график некоторой функции y = f (x), точки A= (x₀; f (x₀)) и B = (x₁; f (x₁)) на графике, прямую, проходящую через точки A и B, и произвольную точку C = (x; y) на этой прямой (рис. 1).

Определение 1 . Прямую, проходящую через две произвольные точки графика функции, называют секущей графика функции .

В соответствии с определением 1 прямая, проходящая через точки A и B графика функции y = f (x), является секущей этого графика.

Выведем уравнение секущей графика функции .

Для этого рассмотрим векторы и , координаты которых имеют вид:

Поскольку векторы и лежат на одной прямой, то справедливо равенство

где k – некоторое число.

Переписывая равенство (1) в координатах, получим систему (2):

Исключая из системы (2) переменную k , получим систему (3):

второе уравнение которой можно записать в следующем виде

Касательная к графику функции

Проведем секущую графика функции y = f (x), проходящую через точки A и B этого графика, и рассмотрим случай, когда точка A неподвижна, а точка B неограниченно приближается к точке A по графику функции y = f (x) (рис. 2).

Неограниченное приближение точки B к точке A принято обозначать

и произносить « B стремится к A ».

Определение 2 . Если при x₁ → x₀ существует предельное положение секущей графика фукнкции y = f (x), то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции y = f (x) в точке A = (x₀; f (x₀)) (рис. 3) .

Производная функции

входящее в формулу (4), стремится к некоторому числу, то это число называют производной функции y = f (x) в точке x₀ , обозначают f ′(x₀) или и записывают так:

Уравнение касательной к графику функции

Из формул (4) и (6) вытекает следующее

Утверждение . Если у функции y = f (x) существует производная в точке x₀ , то к графику функции y = f (x) в точке с координатами (x₀; f (x₀)) можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:

y = f′(x0) (x – x0) + f (x0)

(7)

Геометрический смысл производной

Обозначим буквой φ угол, образованный секущей и положительным направлением оси Ox , отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда угол BAD в треугольнике ABD на рисунке 4 равен φ , и по определению тангенса угла получаем равенство

Случай, когда функция y = f (x) убывает, изображен на рисунке 5

В этом случае угол φ является тупым, причем

то есть формула (8) справедлива и для случая, когда функция y = f (x) убывает.

Отсюда в соответствии с определением производной функции вытекает соотношение:

где буквой α обозначен угол, образованный касательной к графику функции y = f (x) в точке A = (x₀; f (x₀)) с положительным направлением оси Ox (рис. 6).

где угол наклона α образован касательной и положительным направлением оси Ox и отсчитывается в положительном направлении (то есть против часовой стрелки).

Тангенс угла наклона касательной

Здравствуйте!
Помогите решить задание:
Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции f (x) = 3x^2 + 2x – 5 , которая проходит через точку графика, имеющую абсциссу x0 = 2.
Спасибо!

Задание.
Найти тангенс угла наклона касательной к графику ф-ции f (x) = 3x^2 + 2x — 5 , которая проходит через точку графика, имеющую абсциссу x0 = 2.

Решение.
Тангенс угла между касательной к графику ф-ции и осью Ох найти легко, если известно уравнение ф-ции, к которой проведена касательная, а также координата точки, через которую проходят касательная и график функции. Такие данные у нас есть в условии задания, а тангенс угла находится как производная заданной ф-ции в точке касания.
Итак, при решении подобных заданий сперва нужно вычислить производную ф-ции, график которой рассматривается.
По условию заданная функция описывается уравнением:

Находим производную, применив правило производной от суммы или разности:

Тангенс искомого угла между касательной к графику функции и осью Ох равен производной в точке касания, то есть в точке х0 = 2. Найдем ее:

Ответ. 14.

Кстати говоря, именно в рассмотренной формуле заложен геометрический смысл производной.
Часто попадаются задачи, в которых по рисунку на клетчатом листе нужно найти тангенс угла наклона. В таком случае достраивают прямоугольный треугольник так, чтобы по клеткам можно было определить длины его катетов, а затем вычисляют тангенс.

Как найти угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 27 человек(а).

Количество просмотров этой статьи: 92 600.

Если вы умеете вычислять угловые коэффициенты (тангенс угла наклона) прямых, то на основании этих коэффициентов можно узнать другие параметры. Например, выяснить, параллельны ли прямые или же перпендикулярны, найти их точку пересечения и многие другие величины. Вычисление углового коэффициента — довольно простая задача. Прочитайте эту статью, чтобы узнать, как это сделать.