Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора рационально применять в случае необходимости определения тока (напряжения, мощностн и др.) только одной ветви сложной электрической цепи.
Для этой цели разбивают сложную электрическую цепь на две части — на сопротивление R, ток которого 
Активным этот двухполюсник называют потому, что в нем имеется источник ЭДС. Этот активный двухполюсник обладает определенной ЭДС 
Ток в резисторе с сопротивлением R определяют по закону Ома
Таким образом, определение тока 
сводится к вычислению ЭДС эквивалентного генератора и его внутреннего сопротивления 
.
Величина ЭДС определяется любым методом расчета цепей постоянного тока относительно точек А а В при разомкну-клеммах, т. е. в режиме холостого хода. Практически эту ЭДС о измерить вольтметром, подключенным к клеммам А и В холостом ходе.
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора 
выявляется относительно точек А и В после предварительной смены всех источников сложной схемы эквивалентного генера-а их внутренними сопротивлениями.
Практически для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора измеряют амперметром ток между точки А и В работающего двухполюсника при коротком замыкании так как сопротивление амперметра настолько мало, что им можно пренебречь. Тогда
где 
— напряжение холостого хода, 
— ток короткого замыкания.
Такой метод практического определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора 
называется методом хо-ого хода и короткого замыкания. Расчет параметров эквивалентного генератора, его ЭДС и внутреннего сопротивления 
, рассматриваются в примерах 4.12 4.13.
Пример 4.12
Определить ток в сопротивлении 
, подключенном к точкам А В электрической цепи (рис. 4.8а) примера 4.6 методом эквивалентного генератора.
Решение
Для определения тока 
в сопротивлении 
определим ЭДС эквивалентного генератора 
(рис. 4.16а) и его внутреннее сопротивление 
(рис. 4.166) при холостом ходе, т. е. разомкнутой цепи (между точками А и В).
Знак «минус» обусловлен тем, что источники в схеме включены встречно и потенциал в точке А больше потенциала в точке В, так как 
(см. пример 4.6).
Следовательно, 
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора
Искомый ток 
Такой же ток получен в примере 4.6 на сопротивлении 
Пример 4.13
В схеме рис. 4.17а сопротивления плеч моста равны 
Сопротивление гальванометра Rr = 98,33 Ом, ЭДС источника 
. Методом эквивалентного генератора определить в ветви гальванометра (между точками А и В).
Решение
Для определения тока в цепи гальванометра 
методом эквивалентного генератора необходимо вычислить ЭДС эквивалентного генератора 
между точками А и В (рис. 4.176) и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора 
относительно точек А и В при присутствии гальванометра, заменив в схеме (рис. 4.17в) источник ЭДС 
его внутренним сопротивлением ( 
= 0) равным нулю.
Для определения ЭДС эквивалентного генератора 
принимают потенциал точки С схемы (рис. 4.176) равным нулю, т. е. фс=о.
При замене источника ЭДС 
его внутренним сопротивлением, равным нулю, замыкаются накоротко точки С и D схемы (рис. 4.17в). При этом (рис. 4.17г) сопротивления 
соединены между собой параллельно. Также параллельно соединены между собой сопротивления 
. Между точками А и В сопротивления 
соединены последовательно. Следовательно, сопротивление эквивалентного генератора относительно точек А и В будет равно
Тогда ток в ветви с гальванометром, который направлен из точки В в точку А, т. е. из точки с большим потенциалом в точку с наименьшим потенциалом (рис. 4.17а), будет равен
Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)
Все методы, рассмотренные ранее, предполагали расчет токов одновременно во всех ветвях цепи. Однако в ряде случаев бывает необходимым контролировать ток в одной отдельно взятой ветви. В этом случае применяют для расчета метод эквивалентного генератора.
Пусть дана некоторая электрическая цепь, которую заменим активным двухполюсником (рис. 3.10), оставив только ветвь 
в которой необходимо рассчитать ток.
Сначала, введем в ветвь 
два источника ЭДС 
и 
одинаковые по величине и противоположно направленные:
Затем, используя принцип наложения, данную цепь представим суммой двух цепей. В первой оставим все источники активного двухполюсника и источник ЭДС 
Вторая цепь представляет собой пассивный двухполюсник, имеющий входное сопротивление 
и источник ЭДС 
Рис. 3.10. Преобразование исходного двухполюсника в сумму двух цепей
На основании принципа наложения ток ветви 
Поскольку 
и они могут быть любые по величине, то подберем их значения такими, чтобы ток 
был равен нулю. Для этого выберем 
Напряжение на зажимах источника в режиме холостого хода численно равно его ЭДС. Тогда активный двухполюсник с источником 
может быть представлен в виде, представленном на рис. 3.11:
Рис. 3.11. Схема замещения активного двухполюсника
В этой схеме ЭДС 
численно равна 
активного двухполюсника, и, следовательно, ток:
Таким образом, ток в ветви 
Пусть дана цепь (рис. 3.12), в которой необходимо рассчитать ток 
методом эквивалентного генератора.
Рис. 3.12. Исходная цепь
1. Разомкнем ветвь с сопротивлением 
или примем 
2. Зададим положительное направление 
и для произвольно выбранных положительных направлений токов. Например, для первого контура запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:
3. Токи 
и 
в преобразованной схеме по рис. 3.13 рассчитываем любым известным методом, например, методом контурных токов
Тогда 
4. Определим эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника. Для этого мысленно закоротим все источники ЭДС исходной цепи, оставляя в схеме для реальных источников их внутренние сопротивления.
В образовавшейся схеме пассивного двухполюсника невозможно определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов 
так как нет последовательно-параллельного соединения приемников, поэтому необходимо выполнить преобразование какого-либо участка цепи из «треугольника» в «звезду» или выполнить обратное преобразование.
Преобразуем, например, «треугольник» сопротивлений 
в «звезду» 
При этом получится схема с последовательно-параллельным соединением приемников (рис. 3.14).
Рис. 3.14. Схема пассивного двухполюсника
Сопротивления этой схемы будут:
Входное сопротивление цепи 
относительно зажимов 
и 
запишем в виде:
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Как экспериментально определить параметры эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора, основанный на теореме об активном двухполюснике (называемой также теоремой Гельмгольца-Тевенена), позволяет достаточно просто определить ток в одной (представляющей интерес при анализе) ветви сложной линейной схемы, не находя токи в остальных ветвях. Применение данного метода особенно эффективно, когда требуется определить значения тока в некоторой ветви для различных значений сопротивления в этой ветви в то время, как в остальной схеме сопротивления, а также ЭДС и токи источников постоянны.
Теорема об активном двухполюснике формулируется следующим образом: если активную цепь, к которой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с ЭДС, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и сопротивлением, равным входному сопротивлению активной цепи, то ток в этой ветви не изменится.
Ход доказательства теоремы иллюстрируют схемы на рис. 1.
Пусть в схеме выделена некоторая ветвь с сопротивлением Z, а вся оставшаяся цепь обозначена как активный двухполюсник А (рис. 1,а). Разомкнем эту ветвь между точками 1 и 2 (рис. 1,б). На зажимах этой ветви имеет место напряжение . Если теперь между зажимами 1 и 2 включить источник ЭДС с направлением, указанным на рис. 1,в , то, как и в цепи на рис.1,б ток в ней будет равен нулю. Чтобы схему на рис. 1,в сделать эквивалентной цепи на рис. 1,а, в рассматриваемую ветвь нужно включить еще один источник ЭДС , компенсирующий действие первого (рис. 1,г). Будем теперь искать ток по принципу наложения, т.е. как сумму двух составляющих, одна из которых вызывается источниками, входящими в структуру активного двухполюсника, и источником ЭДС , расположенным между зажимами 1 и 2 слева, а другая – источником ЭДС , расположенным между зажимами 1 и 2 справа. Но первая из этих составляющих в соответствии с рис. 1,в равна нулю, а значит, ток определяется второй составляющей, т.е. по схеме на рис. 1,д, в которой активный двухполюсник А заменен пассивным двухполюсником П. Таким образом, теорема доказана.
Указанные в теореме ЭДС и сопротивление можно интерпретировать как соответствующие параметры некоторого эквивалентного исходному активному двухполюснику генератора, откуда и произошло название этого метода.
Таким образом, в соответствии с данной теоремой схему на рис. 2,а, где относительно ветви, ток в которой требуется определить, выделен активный двухполюсник А со структурой любой степени сложности, можно трансформировать в схему на рис. 2,б.
Отсюда ток находится, как:
где — напряжение на разомкнутых зажимах a-b.
Уравнение (1) представляет собой аналитическое выражение метода эквивалентного генератора.
Параметры эквивалентного генератора (активного двухполюсника) могут быть определены экспериментальным или теоретическим путями.
В первом случае, в частности на постоянном токе, в режиме холостого хода активного двухполюсника замеряют напряжение на его зажимах с помощью вольтметра, которое и равно . Затем закорачивают зажимы a и b активного двухполюсника с помощью амперметра, который показывает ток (см. рис. 2,б). Тогда на основании результатов измерений .
В принципе аналогично находятся параметры активного двухполюсника и при синусоидальном токе; только в этом случае необходимо определить комплексные значения и .
При теоретическом определении параметров эквивалентного генератора их расчет осуществляется в два этапа:
1. Любым из известных методов расчета линейных электрических цепей определяют напряжение на зажимах a-b активного двухполюсника при разомкнутой исследуемой ветви.
2. При разомкнутой исследуемой ветви определяется входное сопротивление активного двухполюсника, заменяемого при этом пассивным. Данная замена осуществляется путем устранения из структуры активного двухполюсника всех источников энергии, но при сохранении на их месте их собственных (внутренних) сопротивлений. В случае идеальных источников это соответствует закорачиванию всех источников ЭДС и размыканию всех ветвей с источниками тока.
Сказанное иллюстрируют схемы на рис. 3, где для расчета входного (эквивалентного) сопротивления активного двухполюсника на рис. 3,а последний преобразован в пассивный двухполюсник со структурой на рис. 3,б. Тогда согласно схеме на рис. 3,б
В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа определим зависимость показаний амперметра в схеме на рис. 4 при изменении сопротивления R переменного резистора в диагонали моста в пределах . Параметры цепи Е=100 В; R1=R4=40 Ом; R2=R3=60 Ом.
В соответствии с изложенной выше методикой определения параметров активного двухполюсника для нахождения значения перейдем к схеме на рис. 5, где напряжение на разомкнутых зажимах 1 и 2 определяет искомую ЭДС . В данной цепи
Для определения входного сопротивления активного двухполюсника трансформируем его в схему на рис. 6.
Со стороны зажимов 1-2 данного пассивного двухполюсника его сопротивление равно:
Таким образом, для показания амперметра в схеме на рис. 4 в соответствии с (1) можно записать
Задаваясь значениями R в пределах его изменения, на основании (2) получаем кривую на рис.7.
В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа цепи при синусоидальном питании определим, при каком значении нагрузочного сопротивления в цепи на рис. 8 в нем будет выделяться максимальная мощность, и чему она будет равна.
В соответствии с теоремой об активном двухполюснике обведенная пунктиром на рис. 8 часть схемы заменяется эквивалентным генератором с параметрами
В соответствии с (1) для тока через можно записать
откуда для модуля этого тока имеем
Анализ полученного выражения (3) показывает, что ток I, а следовательно, и мощность будут максимальны, если ; откуда , причем знак “-” показывает, что нагрузка имеет емкостный характер.
Данные соотношения аналогичны соответствующим выражениям в цепи постоянного тока, для которой, как известно, максимальная мощность на нагрузке выделяется в режиме согласованной нагрузки, условие которого .
Таким образом, искомые значения и максимальной мощности: .
Теорема вариаций
Теорема вариаций применяется в тех случаях, когда требуется рассчитать, насколько изменятся токи или напряжения в ветвях схемы, если в одной из ветвей этой схемы изменилось сопротивление.
Выделим на рис. 9,а некоторые ветви с токами и , а остальную часть схемы обозначим активным четырехполюсником А. При этом, полагаем что проводимости и известны.
Пусть сопротивление n-й ветви изменилось на . В результате этого токи в ветвях схемы будут соответственно равны и (рис. 9,б). На основании принципа компенсации заменим источником с ЭДС . Тогда в соответствии с принципом наложения можно считать, что приращения токов и вызваны в схеме на рис. 9,в, в которой активный четырехполюсник А заменен на пассивный П.
Для этой цепи можно записать
Полученные соотношения позволяют определить изменения токов в m-й и n-й ветвях, вызванные изменением сопротивления в n-й ветви.
- Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
Контрольные вопросы и задачи
- В каких случаях эффективно применение метода эквивалентного генератора?
- Как можно экспериментально определить параметры эквивалентного генератора?
- Как можно определить параметры активного двухполюсника расчетным путем?
- Как необходимо преобразовать исходную схему активного двухполюсника для расчета его входного сопротивления?
- В каких задачах используется теорема вариаций?
- В цепи на рис. 4 источник ЭДС Е замене на источник тока J=10 А. Определить показание амперметра, если R=0.
Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора применяется для определения тока одной из ветвей электрической цепи в том случае, когда расчет всей схемы не требуется. В основу метода положена теорема об активном двухполюснике (теорема Гельмгольца-Тевенена). Основная идея метода заключается в том, что часть цепи, параметры которой определять нет необходимости, заменяется эквивалентным генератором с известной эдс и сопротивлением. Метод часто применяется для расчета режима электрической цепи.
Алгоритм состоит из следующих шагов:
- Выбранная для расчета ветвь удаляется из схемы, а места образовавшегося разрыва обозначаются буквами. Оставшаяся часть схемы будет представлять собой эквивалентный генератор.
- Рассчитывается эквивалентная эдс генератора.
- Определяется эквивалентное сопротивление генератора.
- По найденным в пунктах 2 и 3 параметрам генератора определяется ток через исключенную в пункте 1 ветвь.
Метод эквивалентного генератора: примеры решения
Рассмотрим пример расчета электрической схемы методом эквивалентного генератора (рисунок 1).
Рис. 1. Метод эквивалентного генератора
Допустим, что необходимо рассчитать ток Iab через резистор R4. Тогда преобразования схема будет иметь вид, представленный на рисунке 2.
Рис. 2. Эквивалентная электрическая схема
После преобразования ток через резистор Rab (R4) определяется по формуле
Для того, чтобы рассчитать значения Еэкв и Rэкв необходимо рассмотреть режим холостого хода генератора. Для этого необходимо обеспечить его работу без нагрузки, то есть условно отсоединить от цепи исследуемую ветвь ab (рисунок 3).
Рис. 3. Режим холостого хода генератора
Для представленной схемы напряжение Еэкв будет равно
Далее требуется определить эквивалентное сопротивление. Для этого воспользуемся методом пассивного двухполюсника. В этом случае необходимо исключить из схемы источник эдс и найти общее сопротивление цепи (рисунок 4).
Рис. 4. Схема без источника эдс
Эквивалентное сопротивление полученной схемы определяется по формуле
Теперь можно определить ток, проходящий через резистор ab согласно выражению (1).