Симметрия (в математике)
1) симметрия (в узком смысле), или отражение (зеркальное) относительно плоскости a в пространстве (относительно прямой а на плоскости), ‒ преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка М переходит в точку M’ такую, что отрезок MM’ перпендикулярен плоскости a (прямой а ) и делится ею пополам. Плоскость a (прямая а ) называется плоскостью (осью) С.
Отражение ‒ пример ортогонального преобразования , изменяющего ориентацию (в отличие от собственного движения). Любое ортогональное преобразование можно осуществить последовательным выполнением конечного числа отражений ‒ этот факт играет существенную роль в исследовании С. геометрических фигур.
2) Симметрия (в широком смысле) ‒ свойство геометрической фигуры Ф , характеризующее некоторую правильность формы Ф , неизменность её при действии движений и отражений. Точнее, фигура Ф обладает С. (симметрична), если существует нетождественное ортогональное преобразование, переводящее эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных преобразований, совмещающих фигуру Ф с самой собой, является группой , называемой группой симметрии этой фигуры (иногда сами эти преобразования называются симметриями).
Так, плоская фигура, преобразующаяся в себя при отражении, симметрична относительно прямой ‒ оси С. ( рис. 1 ); здесь группа симметрии состоит из двух элементов. Если фигура Ф на плоскости такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360°/ n , n ‒ целое число ³ 2, переводят её в себя, то Ф обладает С. n -го порядка относительно точки О ‒ центра С. Примером таких фигур являются правильные многоугольники ( рис. 2 ); группа С. здесь ‒ т. н. циклическая группа n -го порядка. Окружность обладает С. бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол).
Простейшими видами пространственной С., помимо С., порожденной отражениями, являются центральная С., осевая С. и С. переноса.
а) В случае центральной симметрии (инверсии) относительно точки О фигура Ф совмещается сама с собой после последовательных отражений от трёх взаимно перпендикулярных плоскостей, другими словами, точка О ‒ середина отрезка, соединяющего симметричные точки Ф ( рис. 3 ). б) В случае осевой симметрии, или С. относительно прямой n -го порядка, фигура накладывается на себя вращением вокруг некоторой прямой (оси С.) на угол 360°/ n . Например, куб имеет прямую AB осью С. третьего порядка, а прямую CD ‒ осью С. четвёртого порядка ( рис. 3 ); вообще, правильные и полуправильные многогранники симметричны относительно ряда прямых. Расположение, количество и порядок осей С. играют важную роль в кристаллографии (см. Симметрия кристаллов ), в) Фигура, накладывающаяся на себя последовательным вращением на угол 360°/2 k вокруг прямой AB и отражением в плоскости, перпендикулярной к ней, имеет зеркально-осевую С. Прямая AB , называется зеркально-поворотной осью С. порядка 2 k , является осью С. порядка k ( рис. 4 ). Зеркально-осевая С. порядка 2 равносильна центральной С. г) В случае симметрии переноса фигура накладывается на себя переносом вдоль некоторой прямой (оси переноса) на какой-либо отрезок. Например, фигура с единственной осью переноса обладает бесконечным множеством плоскостей С. (поскольку любой перенос можно осуществить двумя последовательными отражениями от плоскостей, перпендикулярных оси переноса) ( рис. 5 ). Фигуры, имеющие несколько осей переноса, играют важную роль при исследовании кристаллических решёток .
В искусстве С. получила распространение как один из видов гармоничной композиции . Она свойственна произведениям архитектуры (являясь непременным качеством если не всего сооружения в целом, то его частей и деталей ‒ плана, фасада, колонн, капителей и т. д.) и декоративно-прикладного искусства. С. используется также в качестве основного приёма построения бордюров и орнаментов (плоских фигур, обладающих соответственно одной или несколькими С. переноса в сочетании с отражениями) ( рис. 6 , 7 ).
Комбинации С., порожденные отражениями и вращениями (исчерпывающие все виды С. геометрических фигур), а также переносами, представляют интерес и являются предметом исследования в различных областях естествознания. Например, винтовая С., осуществляемая поворотом на некоторый угол вокруг оси, дополненным переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений ( рис. 8 ) (подробнее см. в ст. Симметрия в биологии). С. конфигурации молекул, сказывающаяся на их физических и химических характеристиках, имеет значение при теоретическом анализе строения соединений, их свойств и поведения в различных реакциях (см. Симметрия в химии). Наконец, в физических науках вообще, помимо уже указанной геометрической С. кристаллов и решёток, приобретают важное значение представления о С. в общем смысле (см. ниже). Так, симметричность физического пространства-времени, выражающаяся в его однородности и изотропности (см. Относительности теория ), позволяет установить т. н. сохранения законы ; обобщённая С. играет существенную роль в образовании атомных спектров и в классификации элементарных частиц (см. Симметрия в физике).
3) Симметрия (в общем смысле) означает инвариантность структуры математического (или физического) объекта относительно его преобразований. Например, С. законов теории относительности определяется инвариантностью их относительно Лоренца преобразований . Определение совокупности преобразований, оставляющих без изменения все структурные соотношения объекта, т. е. определение группы G его автоморфизмов, стало руководящим принципом современной математики и физики, позволяющим глубоко проникнуть во внутреннее строение объекта в целом и его частей.
Поскольку такой объект можно представить элементами некоторого пространства Р , наделённого соответствующей характерной для него структурой, постольку преобразования объекта являются преобразованиями Р . Т. о. получается представление группы G в группе преобразований Р (или просто в Р ), а исследование С. объекта сводится к исследованию действия G на Р и отысканию инвариантов этого действия. Точно так же С. физических законов, управляющих исследуемым объектом и обычно описывающихся уравнениями, которым удовлетворяют элементы пространства Р , определяется действием G на такие уравнения.
Так, например, если некоторое уравнение линейно на линейном же пространстве Р и остаётся инвариантным при преобразованиях некоторой группы G , то каждому элементу g из G соответствует линейное преобразование T g в линейном пространстве R решений этого уравнения. Соответствие g ® T g является линейным представлением G и знание всех таких её представлений позволяет устанавливать различные свойства решений, а также помогает находить во многих случаях (из «соображений симметрии») и сами решения. Этим, в частности, объясняется необходимость для математики и физики развитой теории линейных представлений групп. Конкретные примеры см. в ст. Симметрия в физике.
Лит.: Шубников А. В., Симметрия. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве), М. ‒ Л., 1940; Кокстер Г. С. М., Введение в геометрию, пер. с англ., М., 1966; Вейль Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; Вигнер Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971.
М. И. Войцеховский.
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .
Загадка простых чисел и теория симметрии
Добрый день всем! Это мой первый пост на Пикабу, прошу не судить строго. Это пост-вопрос по математике.
Я увлекаюсь несложными загадками математики, и особенно меня привлекла загадка простых чисел. А именно — существует ли формула для их нахождения.
И вот, перебирая всякие варианты, мне бросилась в глаза "простая" (каламбур) мысль — ведь по сути, все простые числа отличаются от составных тем, что у них доступно меньше симметричных преобразований. Если 60 делится без остатка на 5 чисел, то 57 только на себя и на единицу.
Тут я стал копать по симметрии, и выяснил, что, оказывается, огромная часть последних достижений в математике и физике, в частности, доказательство теоремы Ферма, или Стандартная теория — они практически целиком основаны на теории симметрий, которую очень завуалированно называют "теория групп" (видимо, чтобы никто не догадался).
Это ещё более убедило меня в правильности моих догадок.
Так вот, мой вопрос — поскольку мои знания теории групп стремятся к нулю, хотелось бы спросить у людей знающих — а нельзя ли из свойств группы симметрии, к которой принадлежат все простые числа, вывести некие закономерности, которые позволили бы без проведения факторизации определить, простое число или нет?
Буду очень признателен за ответ.
Эй, математик, притормози!
57 делится ещё на 19 и на 3
быстрогугл дал эту ссылку
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D1%81%D1%82_%D0%9.
Тест Агравала — Каяла — Саксены (тест AKS) — единственный известный на данный момент универсальный (то есть применимый ко всем числам) полиномиальный, детерминированный и безусловный (то есть не зависящий от недоказанных гипотез) тест простоты чисел
Бля! «Перельман», в понедельник у математички спросишь..
«Я увлекаюсь несложными загадками математики»
«и особенно меня привлекла загадка простых чисел»
с выбором простых задачек ты пролетел
Я чет вообще не понимаю, ради чего в этом сообществе премодерация. Сначала ферматистов пропускают, которые лирикой занимаются вместо доказательств и сами в своих мыслях путаются. https://pikabu.ru/story/teorema_ferma_pomogite_nayti_oshibku.
Теперь вот этого, который не удосужился проверить число 57 на простоту, а у 60 насчитал пять делителей. ТС, тебя вообще не смущает, что нечетное число делителей бывает только у полных квадратов?
Научная литература
Хотел бы поделиться своей библиотекой научной литературы. Большая часть книг была скачена через местную локальную сеть в середине 00-х у отца моего друга — отличного математика, программиста и просто хорошего человека. К сожалению ныне покойного. Остальное осталось со времен моей учебы в институте (2002-2007). Надеюсь, что все это кому-то будет полезным.
Поговорим о науке! Как связаны Халк и математика?
Выкладываю видео с разрешения одной из основательниц проекта «Поговорим о науке» Оксаны Герцен!
Мы вместе с молодыми учеными Екатеринбурга будем рассказывать вам о науке. Обещаем, что будет понятно, быстро и весело! Ведь наши видеоролики длятся всего 5-8 минут, а общение с учеными происходит в очень живой и веселой атмосфере.
Хотел поставить моё, но думаю это будет неуместно. Моя тут только часть)
Ответ на пост «Округлил»
Кстати реальная история про мост германия-швейцария
В момент завершения строительства нового моста выявилась досадная ошибка инженеров. Оказалось, что вновь возведенный между германской и швейцарской частью пограничного города Лауфенбург «Рейнский мост» построен с ошибкой по разнице высот в 54 см. Дело в том, что немецкие и швейцарские инженеры по-разному рассчитывали проект этого моста. Немцы брали за нулевую отметку уровень Северного моря, а их соседи — швейцарцы — уровень Средиземного моря. В результате, на немецкой стороне нового моста через Рейн шоссейное полотно оказалось подведенным к нему на полметра выше, чем надо. Расходы на дополнительные дорожно-строительные работы придется нести теперь страховой компании, застраховавшей исполнение данного проекта.
Округлил
Математика в Нобелевской премии по экономике – Алексей Савватеев | Научпоп
В этой лекции по математике: Нобелевская премия не вручается математикам, но математики могут получить её за достижения в области экономики, а в экономике много математики. Вы узнаете о трёх ярких судьбах, увенчанных высочайшей наградой в области экономики – Премией Нобелевского Комитета (её часто называют просто Нобелевской, стирая тонкую грань между ней и обычными Нобелевскими премиями).
В фокусе внимания Кеннет Эрроу (Премия 1972), Джон Форбс Нэш (Премия 1994), а также Леонид Витальевич Канторович (Премия 1975). Каково математическое содержание их премий?
Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, профессор МФТИ, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых рассказывает о весёлых и забавных фактах из жизни великих учёных и старается делать лекцию максимально увлекательной, в том числе для школьников и для людей без специальной математической подготовки.
О науке, популяризации науки и математике в музыке – математик Роман Олейников | Научпоп
Зачем нужна математика в музыке? Какой должна быть популяризация науки, каково её социальное и практическое значение и зачем ею необходимо заниматься?
Рассказывает Роман Олейников, математик, музыкальный теоретик, соавтор канала Music Theory — Science4Music, сотрудник лаборатории биомеханических систем Института машиноведения РАН.
Приключения секретной формулы
Многие считают, что математика – скучная вещь. Но иногда вокруг математической формулы могут развернуться события, достойные многосерийного приключенческого фильма!
Лука Пачоли
Вот задача из средневековой книги о торговле: «Некая шкатулка имеет высоту 1 ладонь, ширину 1 ладонь и глубину 1 ладонь, и входит в неё драгоценных пряностей на 20 золотых флоринов. На сколько нужно одинаково увеличить высоту, ширину и глубину, чтобы в ту же шкатулку вместилось товара на 40 флоринов?».
Точного решения такой задачи древние математики отыскать не могли. Им приходилось использовать специальные таблицы. В 1494 году знаменитый итальянский учёный Лука Пачоли писал в своей книге «Сумма арифметики», что «для кубических уравнений, к сожалению, общее решение пока не найдено».
Италия в огне
Хотя. На самом деле называть Пачоли итальянским учёным – это не очень правильно. В те времена Италии как государства не существовало вообще! Часть её принадлежала Испании, часть – Неаполитанскому королевству, а север страны и вовсе был разделён на крошечные герцогства, графства и республики – Венецию, Флоренцию, Геную.
Уживаться друг с другом у этих государств не получалось, между ними шла непрекращающаяся война. Поэтому многие учёные, художники и архитекторы попросту бежали из Италии, спасая свою жизнь, – некоторые из них в результате оказались в далёкой России, где помогали возводить Кремль и Кремлёвскую стену. Да-да-да, знаменитые зубцы в форме буквы «М» поверх Кремлёвской стены (они, кстати, называются «мерлоны») были построены по новейшей итальянской моде того времени!
Слева — Московский кремль, справа — крепость в Вероне (Италия)
Однако мы отвлеклись. Итак, Италия страдала от непрекращающихся войн. В 1512 году войска французского короля Людовика 12-го взяли штурмом город Брешию и устроили там страшную резню – погибло около 45 000 (!) человек. Женщины и дети пытались спастись в местном соборе, но французы ворвались и туда. Двенадцатилетний мальчик по имени Никколо Фонтана попытался защитить от разъярённых солдат мать и младших братьев – и получил страшный удар мечом в голову.
Мальчик выжил и сыграл выдающуюся роль и в нашей истории, и вообще в истории математики. Однако всё-таки попытайтесь представить себе то неспокойное время, когда ни один человек, даже ребёнок, не смел выйти на улицу без кинжала и меча.
Но поединки в те времена происходили не только на мечах и кинжалах. В Италии были широко распространены «математические поединки». Бросивший вызов предлагал своему оппоненту решить математическую задачу, а иногда и не одну. Соперник же должен был предложить встречную задачу (или несколько). Побеждал тот, кто решит больше задач – и, надо сказать, такие математические «турниры» имели просто бешеную популярность!
Люди делали крупные денежные ставки на победу «своего» математика, и призы на таких состязаниях были более чем существенные. Неудивительно, что многие математики принимали участие в таких поединках просто для того, чтобы подзаработать, как современные профессиональные боксёры.
Приблизительно в том же 1512 году, когда французы разорили Брешию, в другом итальянском городе, Болонье, преподаватель математики по имени Сципион дель Ферро сделал удивительное открытие. Он сумел найти общую формулу для решения одного из видов кубических уравнений. Современный учёный тут же оповестил бы всех коллег и корреспондентов о выдающемся научном успехе – однако тогда времена были другие. Обладая этой, одному ему известной формулой, дель Ферро мог не бояться, что кто-то осмелится вызвать его на математический поединок и отобрать у него весьма престижное и денежное место профессора в Болонском университете. Поэтому публиковать формулу учёный не стал – да что там публиковать, само существование этой формулы он держал в строжайшей тайне!
В 1526 году Сципион дель Ферро умирает. Должность преподавателя и все свои записи он передаёт мужу своей дочери, единственному законному наследнику Аннибале делла Наве. Он был ничуть не менее скрытным, чем Сципион дель Ферро, и о существовании формулы для решения кубических уравнений не сообщил никому.
Бой за тридцать обедов
Проходит восемь лет – и вдруг происходит событие, которое по-настоящему всколыхнуло всю тогдашнюю образованную Италию. Совершенно неожиданно в Венеции объявляется некий математик, по имени Антонио Мария дель Фиоре, который утверждает, что никто в стране не может сравниться с ним в искусстве решения кубических уравнений. Откуда взялся этот Фиоре – мы не знаем; некоторые утверждают, что он был учеником Сципиона дель Ферро, другие – что он, выполняя обязанности секретаря в доме делла Наве, попросту украл заветную формулу.
Математиком он был, мягко говоря, посредственным, однако сразу же сообразил, какое сокровище попало к нему в руки. «Никто не сможет победить меня на математическом поединке!» – заявил он и бросил вызов всем математикам Италии. Ставка была по тем временам крупной – побеждённый должен был оплатить 30 роскошных обедов.
Вы ещё не забыли про мальчика Никколо, которого французский солдат чуть не убил в Брешии? Мальчик этот чудом выжил, хотя на лице у него остался страшный шрам, и всю оставшуюся жизнь он носил скрывающую этот шрам густую бороду и плохо говорил, за что получил прозвище «Тарталья», то есть «заика».
Никколо Тарталья
Тарталья был человек невероятного таланта и ума. Совершенно не имея денег, он сам научился читать и писать, освоил математику и в итоге стал чрезвычайно искусным поединщиком. К 1534 году он успешно выиграл себе не только неплохое состояние, но и должность преподавателя математики в Венеции. По поводу умственных способностей Фиоре он никаких иллюзий не испытывал – и немедленно принял вызов на поединок. «Я проучу эту бездарность, этого выскочку Фиоре!» – говорил он. Будучи уверенным в своих математических талантах, Тарталья даже не стал готовиться к турниру. Однако, когда в означенное время гонец привёз от Фиоре 30 задач, Тарталья понял, что простым поединок не будет.
Все задачи Фиоре были на решение кубических уравнений, которые решать в общем виде никто в Италии не умел! (По крайней мере, все так думали – про метод, открытый Сципионом дель Ферро, никто даже не подозревал, он хранился в глубочайшей тайне.) Только тут Тарталья понял, в какую хитроумную ловушку его заманил Фиоре – посредственный математик, но прирождённый интриган.
Однако сдаваться без боя Тарталья тоже не захотел – два дня и две ночи он практически не ел и не спал, пытаясь справиться с присланными ему задачами. и произошло чудо. Хотя почему «чудо»? Просто Тарталья, в отличие от Фиоре, был действительно гениальным математиком. За две ночи он сумел заново открыть метод Сципиона дель Ферро, да не просто открыть, а ещё и улучшить! Новый способ позволял решать кубические уравнения разных видов, а не только одного.
Поединок между Тартальей и Фиоре
Тарталья торжествовал! Он решил все присланные Фиоре 30 задач, а потом составил 30 своих – причём такого вида, который Фиоре решать не умел, несмотря на секретную формулу!
22 февраля 1535 года состоялся поединок. Тарталья, как мы уже говорили, решил все предложенные ему задачи. Фиоре же не смог решить ни одной задачи, предложенной соперником! Жители Венеции неистово аплодировали своему гениальному соотечественнику, а опозоренному Фиоре ничего не оставалось, как признать поражение. Тарталья поступил с соперником более чем великодушно, отказавшись от выигранных 30 роскошных обедов. Однако Фиоре затаил обиду и поклялся отомстить.
Охота пуще неволи
Молва о выигранном Тартальей турнире прокатилась по всей Италии, в частности, об удивительном методе решения кубических уравнений услышал Джероламо Кардано, профессор математики из Милана. Тоже личность очень примечательная!
Интересы Кардано были невероятно широки – он был и врачом, и инженером, и математиком, и физиком, и химиком, и астрологом, и философом. Он, в частности, изобрёл карданов подвес, карданов вал и кодовый замок. Однако глубиной его познания не отличались; плюс ко всему, Кардано был невероятно тщеславен. В те годы он занимался составлением большой подробной книги по математике – назвал её он «скромно» «Ars Magna», то есть «Великое искусство», и собирался включить в эту книгу все новейшие (для того времени) математические достижения.
Джероламо Кардано
Надо ли говорить, как Кардано заинтересовался формулой Тартальи! Метод решения кубических уравнений! Формула, которую не смогли найти ни древние математики, ни индийцы, ни арабы! Она непременно должна была стать украшением его книги, это будет настоящий бриллиант! И Кардано начинает переписываться с Тартальей. Он восхищается талантом Тартальи, откровенно ему льстит, называет «величайшим математиком всех времён» – в общем, готов на всё, лишь бы тот раскрыл заветную формулу.
Но Тарталья был крайне невысокого мнения об умственных способностях Кардано. Он всячески издевается над Кардано, бахвалится тем, что открыл всего за два дня формулу, которую Кардано никогда не сможет найти самостоятельно, что за два года, что за двадцать. Но Кардано все эти насмешки переносит терпеливо и с улыбкой – для него главное узнать формулу, остальное неважно!
Загадочное стихотворение
Наконец, 25 марта 1539 года Кардано улыбается удача. Тарталья соглашается раскрыть тайну. Однако формулу он прячет в форме зашифрованного стихотворения из 25 строк – и это стихотворение передаёт Кардано. Вот оно:
Стихотворение Тартальи
Кардано, как мы уже упоминали, был человеком неглупым и с широким кругозором, но расшифровать стихотворение Тартальи не сумел. Попробуйте поставить себя на его место, когда вместо вожделенной математической формулы вы получаете листок с вот таким вот текстом:
Когда куб и вещь совместно
Равняются числу некоему целому,
Найди два других, с разностью в первое.
Затем возьми себе в привычку,
Что произведение их равняется
Чистой трети куба от вещи.
То, что осталось, как правило,
Из кубических корней их вычтенных,
Будет равняться твоей главной вещи.
Во втором же из этих действий,
Когда куб остаётся один,
Увидишь ты другие соглашения.
Сразу раздели число на две части,
Так, чтоб одна, на другую помноженная,
Ясно давала треть куба от вещи.
Тогда из двух этих вещей, как привычное правило,
Возьми кубические корни, сложенные вместе,
Сумма эта и будет твоей мыслью.
Третье же из наших вычислений
Решается, если постараться, как и второе,
Поскольку природа их почти одна и та же.
Узнал я эти вещи не запоздалыми шагами
В году одна тысяча пятьсот тридцать и четыре,
На основаниях прочных и крепких,
В городе, опоясанном морем.
Кардано в ярости. Единственное, что ему понятно из текста – это 1534 год и «город, опоясанный морем», то есть Венеция. Но всё остальное? Что означают все эти загадки? Для того чтобы решить их, был нужен математик не менее талантливый, чем сам Тарталья. И, по странному совпадению, такой математик у Кардано был!
Клятва на Библии
Вернёмся на три года назад. В доме у Кардано служил слуга по имени Люка Феррари, парень ленивый и нерадивый. Однажды он взял и сбежал домой. Кардано, оставшись без слуги, написал отцу Феррари – чтобы тот вернул парня на службу. Однако тот вместо сына прислал к Кардано тринадцатилетнего племянника Лодовико. Сперва Кардано очень рассердился – как же, вместо здорового молодого парня ему присылают сущего мальчишку! – но потом обратил внимание на то, что мальчишка не по годам сообразителен.
Вместо того чтобы заставлять Лодовико чистить лошадей и выносить помои, Кардано учит паренька математике – и тот делает поразительные успехи! В итоге Лодовико Феррари становится личным секретарём и помощником Кардано.
Ему-то хозяин и поручает разобраться с загадочным стихотворением Тартальи. Всего лишь за два дня Феррари разгадывает головоломку и с гордостью демонстрирует Кардано готовую формулу.
Наконец-то Кардано может торжествовать! Он приходит к Тарталье и в едких выражениях сообщает, что разгадал формулу. Сказать, что Тарталья взбешён – это ничего не сказать. Он выхватывает кинжал (не забываем, в те времена математики ходили с мечами и кинжалами) и под страхом смерти заставляет Кардано принести клятву на Библии – что тот никогда не опубликует формулу в своей книге. Кардано вынужден согласиться.
В 1540 году выходит книга Кардано «Великое искусство». Однако формулы для решения кубических уравнений там нет. Кардано вынужден скрепя сердце держать слово. Ему известна формула, но он не может её опубликовать! Все его помыслы только об одном – чтобы обойти клятву и отомстить Тарталье. И вот однажды в дверь дома Кардано стучит некий человек, который тоже затаил на Тарталью злую обиду. Это… тот самый Антонио Мария дель Фиоре, опозоренный на математическом турнире в 1535 году!
Фиоре клянётся, что формулу знал ещё покойный профессор Болонского университета Сципион дель Ферро. И если эта формула есть в записях профессора, то Кардано может опубликовать формулу по этим записям! Теперь клятва, данная Тарталье, не имеет значения!
В 1545 году выходит второе издание книги «Великое искусство», в котором решению кубических уравнений посвящена целая глава! В предисловии к главе Кардано упомянул и Тарталью, и Фиоре – однако написал, что метод был изначально придуман «почтенным Сципионом дель Ферро». Не подкопаешься!
Титульный лист книги Кардано «Великое искусство»
Последняя битва
Само собой, теперь была очередь Тартальи прийти в бешенство. Как?! Этот напыщенный болтун Кардано публикует формулу в своей книге в нарушение клятвы?! Он утверждает, что честь открытия формулы принадлежит не ему, Тарталье, а дель Ферро?!
Тарталья публикует гневные письма, в которых называет Кардано вруном, бездарем и клятвопреступником. Наконец, он отправляет Кардано вызов на математический поединок – Тарталья уверен, что победит и посрамит своего соперника. Но. Не таков был Кардано! Вместо себя он отправил на поединок того самого Лодовико Феррари, «своего юного ученика».
Лодовико Феррари к тому времени не только сумел усовершенствовать формулу Тартальи и дель Ферро, он самостоятельно открыл способ решения уравнений четвёртой степени, ещё более сложных! Тарталья был, безусловно, талантлив – однако Феррари был одарён ничуть не меньше.
И вот 10 августа 1548 года в Милане состоялся долгожданный турнир. Главным судьёй был лично дон Ферранте ди Гонзага, губернатор города. Весь город болел за Феррари – а поддержать одинокого Тарталью приехал только его младший брат. В первый же день стало ясно, что Феррари решает задачи намного лучше – и ночью опозоренный Тарталья бежал из Милана.
На юного Феррари посыпались предложения службы, одно привлекательнее другого – его приглашал в учителя математики для своего сына сам император! До самой своей смерти в 1557 году Тарталья пытался «восстановить справедливость» – но это ему так и не удалось.
В современных учебниках математики формула, ставшая причиной стольких драматических событий, называется «формула Кардано».
Новость №1361: Сниженную математическую тревожность связали с верой в учителя
Кому нужны эти простые числа
Не холивара ради, а просто цитата из книги Оре Ойстена «Приглашение в теорию чисел» 1967-го года.
Красивый способ найти все простые числа. Почему про него молчит Википедия?
Самым известным для способом получения простых чисел является "решето Эратосфена". Сегодня я подготовил для Вас значительно менее известный, но поистине великолепный способ, который принадлежит перу ныне здравствующего Юрия Владимировича Матиясевича — советского и российского академика, перечисление регалий которого займет несколько страниц.
Способ нахождения простых чисел — чисто геометрический. На первом чертеже я покажу и опишу конечный результат, а на втором и третьем покажу простое доказательство, которое поймет любой школьник:
Начертим обычную параболу y=x^2. Не обращайте внимания, что и сверху и снизу числа положительные, это неважно в данном случае. Соединим каждую точку на ветви сверху со всеми точками на нижней ветви. Оказывается, что точки, в которых эти линии никогда не пересекут горизонтальную ось соответствуют простым числам — 5,7,11,13,17,19 и т.д. Такой способ и называется решетом Матиясевича-Стечкина.
Формализуем нашу задачу. Обозначим координаты точек на разных ветвях параболы буквами а и с. Чтобы доказать, что расстояние на рисунке равно ас, необходимо построить уравнение прямой, проходящей через две точки (привет, 7 класс!) и в нём положить х=0
Это мы делаем легко и непринужденно. Получается, что любой отрезок, соединяющий две точки А и С, лежащие на противоположных ветвях параболы, пересекает ось у в точке с координатой (0, ас):
Тут и открывается загадка "просеивания" простых чисел, ведь они не являются произведением никаких двух чисел, кроме себя и единицы. Как Вам способ? По-моему, очень красивый, а между тем, про него даже отсутствует страница в Википедии! Спасибо за внимание!
Почему животные симметричны?
Приблизительно 75000 человек на Земле обладают зеркальным расположением внутренних органов – сердце у них располагается справа, а печень слева. Это называется транспозицией внутренних органов, объясняется разными факторами, не передается по наследству и никак не мешает жизни этих людей.
Как видите, природа может запросто отразить нас, словно в зеркале, и ничего особо не поменяется. Ну а внешне и отражать ничего не надо, ведь люди, как и почти все остальные животные, обладают практически идеальной внешней зеркальной симметрией. Ее еще называют билатеральной.
Но зачем нужна эта симметрия? Действительно, у высших животных все органы обладают узкой специализацией: руки, ноги, голова, хвост – все они выполняют разные функции. Отсюда понятно, что верхняя и нижняя, передняя и задняя части туловища должны отличаться. Однако, несмотря на все это, левая и правая стороны тела абсолютно идентичны, как будто природа забыла придумать, с чем будет лучше справляться левая сторона, а с чем – правая. Или дело в другом?
Ответ довольно прост. Билатеральная симметрия – это, можно сказать, рудимент, особенность, которая передалась нам от наших предков, но при этом не мешала дальнейшей эволюции и осталась, хотя особо сильно мы в ней не нуждаемся.
Давайте перенесемся на 4 миллиарда лет назад. На заре возникновения жизни на Земле, когда все живые организмы были еще одноклеточными, самой идеальной формой для них был шар. Это диктовалось тем, что взаимодействовать с окружающей средой им приходилось во всех направлениях, ни одно из которых особо не выделялось, отсюда и такая форма. То есть тела были сферически симметричны: как их ни поворачивай, они похожи сами на себя. К тому же шар, при заданном объеме, обладает минимальной площадью поверхности, что достаточно экономно и практично.
Но в процессе эволюции организмы усложнялись и увеличивали свою массу. И вот тут вступила в действие гравитация! Из-за нее у живых существ появилась асимметрия по направлению верх – низ. Сверху теперь располагались преимущественно органы чувств, рот. Внизу – средства передвижения. Но осталась симметрия по окружности – радиальная. Можно было вращать тело вокруг вертикальной оси, и ничего не менялось.
Следующий виток эволюции начался, когда организмы поняли, что неплохо было бы перемещаться. Например, чтобы есть друг друга. Тогда появились хищники и жертвы. Тем и другим понадобились скорость и внимание: одним – чтобы догонять, другим – чтобы убегать. Так и появилась асимметрия по направлению перед – зад. Спереди расположились органы восприятия, мозги, рот – в общем, самое важное. Сзади – все остальное.
А вот симметрию между левой и правой сторонами эволюция не затронула. Эта симметрия эволюции никак не мешала, наоборот, она дублировала некоторые органы, и это было даже полезно. Например, два уха нужно, чтобы по задержке сигнала определять, откуда пришел звук. Два глаза необходимо для бинокулярного, объемного зрения. Даже ноздрей нужно две! Хотя, казалось бы, мы можем обойтись и одной. Дело в том, что почти всегда воздух через одну ноздрю движется медленней, чем через другую. Благодаря этому мы можем почувствовать запахи, которым для восприятия нами требуется немного больше времени, чем обычно. Таким образом, две ноздри расширяют диапазон доступных нам ароматов.
Что касается асимметрии внутренних органов, то она появилась из-за их чрезмерного усложнения. Заметьте, это проявляется только в пищеварительной системе – вы только представьте, что вы едите! Для переваривания всего этого нужен целый парк органов! И это чудо, что они хоть как-то поместились в организме, пусть даже несимметрично. И в кровеносной системе то же: сердце смещено из-за возникновения второго круга кровообращения. Если посмотреть на животных попроще (червяков, насекомых, рыб), то мы увидим, что у них внутренние органы абсолютно симметричны.
Другие виды симметрии
Кстати, и другие виды симметрии в природе тоже продиктованы взаимодействием с окружающей средой.
Существует, например, радиальная симметрия, когда тело, повернутое вокруг определенной оси на некий угол, повторяет само себя. Такой симметрией обладают морские звезды, большинство цветов, деревья. Как правило, продиктована она тем же – специализацией по одному направлению (верх – низ), так как по остальным направлениям взаимодействие с окружающей средой абсолютно одинаково. Цветы, которые растут просто вверх, радиально симметричны, а растущие вбок (орхидея, львиный зев) теряют симметрию перед – зад и становятся только зеркально симметричны. Листья, как правило, растут вбок, им радиальная симметрия не нужна, поэтому они симметричны только зеркально.
Конечно, здесь бывают исключения. Но, как говорит великий Шерлок Холмс, это исключения, но только подтверждающие правило! Например, манящий краб, камбала.
Раз мы говорим о симметрии, надо обсудить пчелиные соты. Они кажутся парадоксальным явлением, каким-то чудом природы. Действительно, как пчелам интуитивно удается создать такие стройные ряды одинаковых шестиугольников? Человек не может нормально шестиугольник нарисовать, а тут пчелы! Да и почему соты шестиугольные, а не квадратные, например?
Соты необходимы для хранения меда, яиц, куколок. Их нужно много, они должны быть одинаковы и просты. Существует не так много фигур, которыми можно замостить некую площадь без зазоров, а именно три: треугольник, квадрат и шестиугольник. И вот тут кроется главный секрет. Если взять три этих фигуры одинаковой площади, то наименьший периметр будет у шестиугольника! Значит, при построении именно шестиугольных сот строительного материала на них будет уходить максимально мало. Так что шестиугольность сот – результат хладнокровной оптимизации, достигнутый в процессе эволюции.
А как обстоят дела с симметрией в неживой природе? Возьмем снежинки. Это тот же самый снег, маленький кусочек льда, но какой удивительной формы, и каждый раз неповторимой! Снежинка образуется так. На начальном этапе молекулы воды соединяются друг с другом по три штуки и образуют шестиугольник. Потом на края шестиугольника начинают нарастать еще слои льда, причем со всех сторон одинаково. Правда, этот процесс роста идет с разной скоростью, то быстрее, то медленее. Поэтому и снежинки всегда получаются разными и двух абсолютно одинаковых вы не найдете.
Да и вообще, в неживой природе практически всегда так: если есть симметрия, то, скорей всего, из-за симметричности кристаллической решетки.
алгебра — Симметричные числа
Два числа назовем «симметричными» если они состоят из различных цифр и одно получается из другого, если его написать в обратном порядке. Найти два четырехзначных «симметричных» числа, сумма которых принимает наименьшее значение.
задан 31 Окт ’15 14:57
1 ответ
Сумма чисел равна $%(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a)=1001(a+d)+110(b+c)$%. Наименьшее значение суммы $%a+d$% равно 3, если это сумма цифр 1 и 2 (оба они отличны от нуля). При этом для $%b+c$% наименьшее значение будет равно 3, если взять 0 и 3. Это даёт два примера: 1032+2301 или 1302+2031 с суммой 3333. Ясно, что при $%a+d > 3$% сумма будет больше, то есть такие случаи можно не рассматривать.