Деление с остатком
Мама принесла 8 конфет и разделила их поровну между двумя детьми. Сколько конфет получил каждый?
Каждый ребёнок получил по 4 конфеты.
На следующий день мама опять принесла 8 конфет, но в гостях у её детей была ещё одна подружка. Мама опять разделила конфеты поровну, но уже между тремя детьми. Сколько конфет получил каждый ребёнок?
Каждый получил по 2 конфеты и 2 конфеты остались лишними.
Как это записать?
Как сделать проверку?
Правило 1
Деление с остатком — это деление одного числа на другое, при котором остаток не равен нулю.
Правило 2
При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя.
остаток 3 < делимого 5
остаток 2 < делимого 4
Правило 3
Если делимое меньше делителя, в частном получается ноль, а остаток равен делимому.
Порядок решения
1. Нахожу наибольшее число до 14, которое делится на 5 без остатка. Это число 10.
Деление натуральных чисел с остатком: правило, примеры решений
Многие числа нельзя разделить нацело, при делении часто присутствует остаток, отличный от нуля. В этой статье мы разберем способы деления натуральных чисел с остатком и подробно рассмотрим их применение на примерах.
Начнем с деления натуральных чисел с остатком в столбик, затем рассмотрим деление с помощью последовательного вычитания. Наконец, закончим разбором метода подбора неполного частного. Приведем алгоритм деления с остатком для наиболее общего случая и покажем, как проводить проверку результата деления натуральных чисел с остатком.
Деление натуральных чисел столбиком с остатком
Это один из самых удобных способов деления. Подробно он описан в отдельной статье, посвященной делению натуральных чисел столбиком. Здесь мы не будем приводить всю теорию заново, но сконцентрируемся именно на случае деления с остатком.
Приведем решение примера, так как понять суть метода проще всего на практике.
Пример 1. Как делить натуральные числа с остатком?
Разделим натуральное число 273844 на натуральное число 97 .
Проводим деление столбиком и записываем:
Результат: неполное частное от деления равно 2823 , а остаток равен 13 .
Деление чисел с остатком через последовательное вычитание
Чтобы найти неполное частное и остаток, можно прибегнуть к последовательному вычитанию делителя из делимого. Этот способ не всегда целесообразен, однако в некоторых случаях его очень удобно применять. Вновь обратимся к примеру.
Пример 2. Деление с остатком через последовательное вычитание.
Пусть у нас есть 7 яблок. Нам нужно эти 7 яблок разложить в пакеты по 3 яблока. Иными словами, 7 разделить на 3 .
Возьмем из начального количества яблок 3 штуки и положим в один пакет. У нас останется 7 — 3 = 4 яблока. Теперь, из оставшихся яблок снова отнимаем 3 штуки и кладем уже в другой пакет. Остается 4 — 3 = 1 яблоко.
1 яблоко — это остаток от деления, так как на этом этапе мы уже не можем сформировать еще один пакет с тремя яблоками и деление, по сути, завершено. Результат деления:
7 ÷ 3 = 2 (остаток 1)
Это значит, что число 3 как бы умещается в числе 7 два раза, а единица — остаток, меньший чем 3 .
Рассмотрим еще один пример. На этот раз, приведем только математические выкладки, не прибегая к аналогиям.
Пример 3. Деление с остатком через последовательное вычитание.
Вычислим: 145 ÷ 46 .
Число 99 больше, чем 46 , поэтому продолжаем последовательное вычитание делителя:
Повторяем эту операцию еще раз:
В результате, нам понадобилось последовательно вычесть делитель из делимого 3 раза до того, как мы получили остаток — результат вычитания, который меньше делителя. В нашем случае остатком является число 7 .
145 ÷ 46 = 3 (остаток 7) .
Метод последовательного вычитания непригоден, когда делимое меньше делителя. В таком случае можно сразу записать ответ: неполное частное равно нулю, а остаток равен самому делимому.
Если a < b , то a ÷ b = 0 (остаток a) .
12 ÷ 36 = 0 (остаток 12) 47 ÷ 88 = 0 (остаток 47)
Также касательно метода последовательного вычитания нужно отметить, что он удобен только в случаях, когда вся операция деления сводится к небольшому количеству вычитаний. Если делимое во много раз больше делителя, использование этого метода будет нецелесообразно и связано с множеством громоздких вычислений.
Метод подбора неполного частного
При делении натуральных чисел с остатком можно вычислить результат методом подбора неполного частного. Покажем, как можно вести процесс подбора, и на чем он основан.
Во-первых, определим, среди каких чисел нужно искать неполное частное. Из самого определения процесса деления понятно, что неполное частное равно нулю, либо является одним из натуральных чисел 1 , 2 , 3 и т.д.
Во-вторых, установим связь между делителем, делимым, неполным частным и остатком. Рассмотрим уравнение d = a — b · c . Здесь d — остаток от деления, a — делимое, b — делитель, с — неполное частное.
В-третьих, не будем забывать, что остаток всегда меньше делителя.
Теперь рассмотрим непосредственно процесс подбора. Делимое a и делитель b известны нам с самого начала. В качестве неполного частного с будем последовательно принимать числа из ряда 0 , 1 , 2 , 3 и т.д. Применяя формулу d = a — b · c и вычисляя полученное значение с делителем, закончим процесс, когда остаток d будет меньше, чем делитель b . Число, взятое за с на этом шаге и будет неполным частным.
Разберем применение этого метода на примере.
Пример 4. Деление с остатком методом подбора
Разделим 267 на 21 .
a = 267 ; b = 21 . Подберем неполное частное.
Используем формулу d = a — b · c и будем последовательно перебирать c , придавая ему значения 0 , 1 , 2 , 3 и т.д.
Если с = 0 , имеем: d = a — b · c = 267 — 21 · 0 = 267 . Число 267 больше, чем 21 , поэтому продолжаем подстановку.
При с = 1 имеем: d = a — b · c = 267 — 21 · 1 = 246 . Т.к. 246 > 21 , снова повторяем процесс.
При с = 2 имеем: d = a — b · c = 267 — 21 · 2 = 267 — 42 = 225 ; 225 > 21 .
При с = 3 имеем: d = a — b · c = 267 — 21 · 3 = 267 — 63 = 204 ; 204 > 21 .
При с = 12 имеем: d = a — b · c = 267 — 21 · 12 = 267 — 252 = 15 ; 15 < 21 .
На этом этапе процесс деления можно считать законченным. Неполное частное с = 12 , а остаток деления равен 15 .
Алгоритм деления натуральных чисел с остатком
Когда рассмотренные выше методы подбора неполного частного и последовательного вычитания требуют слишком громоздких вычислений, для деления с остатком применяется следующий метод. Рассмотрим алгоритм деления натурального числа a на число b с остатком.
Вспомним, что в случае, когда a < b, неполное частное равно нулю, а остаток равен делимомому a . Мы будем рассматривать случай, когда a > b .
Сформулируем три вопроса и ответим на них:
- Что там известно?
- Что нам нужно найти?
- Как мы будем это делать?
Изначально известными являются делимое и делитель: a и b .
Найти нужно неполное частное c и остаток d .
Приведем формулу, которая задает связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком. a = b · c + d . Именно это соотношение мы и возьмем за основу алгоритма деления натуральных чисел с остатком. Делимое a нужно представить в виде суммы a = b · c + d , тогда мы найдем искомые величины.
Алгоритм деления, благодаря которому мы представим a в виде суммы a = b · c + d очень схож с алгоритмом деления натуральных чисел без остатка. Приведем ниже шаги алгоритма на примере деления числа 899 на 47 .
1. Первым делом смотрим на делимое и делитель. Выясняем и запоминаем, на сколько знаков число в записи делимого больше числа в делителе. В нашем конкретном примере в делимом три знака, а в делителе — два.
Запомним это число.
2. Справа в записи делителя допишем число нулей, определенное разницей между количеством знаков в делимом и делителе. В нашем случае нужно дописать один нуль. Если записанное число больше делимого, то нужно из запомненного в первом пункте числа вычесть единицу.
В нашем примере справа от 47 дописываем нуль. Так как 470 < 899 , запомненное в предыдущем пункте число не нужно уменьшать на единицу. Таким образом, число 1 так и остается у нас в памяти.
3. Справа к цифре 1 приписываем количество нулей, равное числу, определенному в предыдущем пункте. В нашем примере, приписывая к единице один нуль, получаем число 10 . В результате данного действия мы получили рабочую единицу разряда, с которым будем работать дальше.
4. Будем последовательно умножать делитель на 1 , 2 , 3 . . и т.д. единицы рабочего разряда, пока не получим число, которое больше или равно делимому.
Рабочий разряд в нашем примере — десятки. После умножения делителя на одну единицу рабочего разряда, получаем 470 .
470 < 899 , поэтому умножаем на еще одну единицу рабочего разряда. Получаем: 47 · 20 = 940 ; 940 > 899 .
Число, которое мы получили на предпоследнем шаге ( 470 = 47 · 10 ) является первым из искомых слагаемых.
5. Найдем разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число больше делителя, то переходим к нахождению второго слагаемого.
Шаги 1 — 5 повторяем, однако в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если снова получаем число, большее, чем делитель, снова по-кругу повторяем пункты 1 — 5 , но уже с новым числом в качестве делимого. Продолжаем, пока полученное здесь число не будет меньше делителя. Переходим к завершающему этапу. Забегая вперед, скажем, что последнее полученное число и будет равно остатку.
Обратимся к примеру. 899 — 470 = 429 , 429 > 47 . Повторяем шаги 1 — 5 алгоритма с числом 429 , взятым в качестве делимого.
1. В записи числа 429 на один знак больше, чем в записи числа 47 . Запоминаем разницу — число 1 .
2. В записи делимого справа дописываем один нуль. Получаем число 470 . Так как 470 > 429 , из запомненного в предыдущем пункте числа 1 вычитаем 1 и получаем 1 — 1 = 0 . Запоминаем 0 .
3. Так как в предыдущем пункте мы получили число 0 и запомнили его, нам не нужно прибавлять ни одного нуля к единице справа. Таким образом, рабочим разрядом являются единицы
4. Последовательно умножим делитель 47 на 1 , 2 , 3 . . и т.д. Не будем приводить подробные выкладки, а обратим внимание на конечный результат: 47 · 9 = 423 < 429 , 47 · 10 = 470 > 429 . Таким образом, второе искомое слагаемое — 47 · 9 = 423 .
5. Разность между 429 и 423 равна числу 6 . Так как 6 < 47 , это третье, и последнее искомое слагаемое. Перейдем к завершающему этапу алгоритма деления столбиком.
6. Целью предыдущих действий было представление делимого в виде суммы нескольких слагаемых. Для нашего примера мы получили 899 = 470 + 423 + 6 . Вспоминаем, что 470 = 47 · 10 , 423 = 47 · 9 . Перепишем равенство:
899 = 47 · 10 + 47 · 9 + 6
Применим распределительное свойство умножения.
899 = 47 · 10 + 47 · 9 + 6 = 47 · ( 10 + 9 ) + 6
Таким образом, мы представили делимое в виде уже данной ранее формулы a = b · c + d .
Искомые неизвестные:неполное частное с = 19 , остаток d = 6 .
Безусловно, при решении практических примеров нет нужды расписывать все действия так подробно. Покажем это:
Пример 5. Деление натуральных чисел с остатком
Разделим числа 42252 и 68 .
Используем алгоритм. Первые пять шагов дают первое слагаемое — число 40800 = 68 · 600 .
Снова повторяем первые пять шагов алгоритма с числом 1452 = 42252 — 40800 и получаем второе слагаемое 1360 = 68 · 20
Третий раз проходим шаги аглоритма, но у же с новым числом 92 = 1452 — 1360 . Третье слагаемое равно 68 = 68 · 1 . Остаток равен 24 = 92 — 68 .
В результате получаем:
42252 = 40800 + 1360 + 68 + 24 = 68 · 600 + 68 · 20 + 68 · 1 + 24 = = 68 · ( 600 + 20 + 1 ) + 24 = 68 · 621 + 24
Неполное частное равно 621 , остаток равен 24 .
Деление натуральных чисел с остатком. Проверка результата
Деление натуральных чисел с остатком, особенно при больших числах, довольно трудоемкий и громоздкий процесс. Допустить ошибку в вычислениях может каждый. Именно поэтому, проверка результата деления поможет понять, все ли вы сделали правильно. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком выполняется в два этапа.
На первом этапе проверяем, не получился ли остаток больше делителя. Если нет, то все хорошо. Иначе, можно сделать вывод, что что-то пошло не так.
Остаток всегда меньше делителя!
На втором этапе проверяется справедливость равенства a = b · c + d . Если равенство после подстановки значений оказывается верным, то и деление было выполнено без ошибок.
Пример 6. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком.
Проверим, верно ли, что 506 ÷ 28 = 17 (остаток 30) .
Сравниваем остаток и делитель: 30 > 28 .
Значит, деление выполнено неверно.
Школьник разделил 121 на 13 и получил в результате неполное частное 9 с остатком 5 . Правильно ли он сделал?
Чтобы узнать это, сначала сравниваем остаток и делитель: 5 < 13 .
Первый пункт проверки пройден, переходим ко второму.
Запишем формулу a = b · c + d . a = 121 ; b = 13 ; c = 9 ; d = 5 .
Подставляем значения и сравниваем результаты
13 · 9 + 5 = 117 + 5 = 122 ; 121 ≠ 122
Значит, в вычисления школьника где-то закралась ошибка.
Студент выполнял лабораторную работу по физике. В ходе выполнения ему понадобилось разделить 5998 на 111 . В результате у него получилось число 54 с остатком 4 . Все ли правильно посчитано?
Проверим! Остаток 4 меньше, чем делитель 111 , поэтому переходим ко второму этапу проверки.
Используем формулу a = b · c + d , где a = 5998 ; b = 111 ; c = 54 ; d = 4 .
Деление с остатком
Здравствуйте, ребята. Я, Знайка, продолжаю учить вас математике.
Выражение «твердый орешек» означает трудную для решения задачу. Орешек знанья тверд, но мы не привыкли отступать, вместе его расколем. Пусть скорлупа ореха — символ знания, ядро — опыт человечества. Математика раскроет тайны деления двузначных чисел, если будем стараться. Французский ученый Декарт говорил: «Умейте использовать свой хороший ум, чтобы справиться с задачами».
Случаи деления 80 : 20, 87 : 29
Начнем с деления на двузначное число.
Приемы деления вида 80 : 20
Приемы деления вида 87 : 29
Найдите значения двух выражений:
Для решения посмотрите на цифры единиц. Делитель заканчивается на 9. Вспомните таблицу умножения девяти. Какое произведение имеет семерку на конце? 27.
Других вариантов в таблице умножения на девять нет. Ответ равен трем.
Внимательно посмотрите на цифры в единицах. Делимое заканчивается на четверку. Вспомните множитель, который при умножении шести в произведении дает последнюю цифру четверку.
Это два случая: четыре, девять. В значениях произведений четверка на конце. Какой множитель подходит? Давайте посмотрим. Девять — многовато.
Задания легко решать, если знаешь таблицу умножения.
Деление столбиком на двузначное число
Вы уже знаете, что для записи действия деления применяют математический символ в виде двоеточия (∶), обелюса (÷), дробной (–), косой (∕) черты. Сегодня мы используем знак, который похож на лежащую боком букву.
При делении столбиком очень важна аккуратность, поэтому возьмите листок в клеточку.
Как записать решение примера 32 : 16 столбиком? Запишите каждую цифру делимого 32 в отдельную клеточку. Отступите одну клеточку вправо, запишите делитель 16. Проведите вертикальную и горизонтальную черточку.
Подбираем частное. Посмотрите на цифры единиц 2 и 6. Вспомните табличные случаи.
Семерка нам не подойдет, потому что 16 ∙ 7 — это большая величина. Значит, выбираем двойку. Проверяем: 16 ∙ 2 = 32. Записываем двойку на место частного под чертой. Вычитаем 32 из делимого. Пишем нуль. 32 разделили нацело.
Хорошо. А знаете ли вы, что с древних времён замечено влияние грецкого ореха на работу мозга. Как будто природа создала его, по форме извилин напоминающим полушария головного мозга. Благодаря работе этого центрального органа мы справляемся с математическими задачами.
Деление с остатком
Ребята, я предлагаю вам отправиться в путешествие по реке на лодках. Прежде чем отплыть от берега, нам нужно разделить 9 спасательных кругов на 2 лодки. Как узнать, сколько кругов окажется в одной лодке?
Верно, надо разделить. Запишите решение. Сколько получилось в выражении?
У вас трудности. Что заметили?
9 на 2 нацело не делится.
Почему не можем найти значение данного выражения?
Потому что это не табличный случай. Мы не умеем решать такие выражения.
Ребята, оказывается, в примерах может получиться остаток. Это арифметическое действие, играющее большую роль в математике и криптографии — науке о защите информации. В компьютерной технике тоже часто решают данные выражения.
Напишите отрезок натурального ряда от 17 до 37.
Выпишите из этого отрезка числа, которые делятся на 9.
Проверьте, это — 18, 27, 36.
Остаток при делении натуральных чисел 19, 28, 37 на 9 равен единице, потому что они следующие при счете.
Запишите отрезок натурального ряда от 11 до 25. Обведите числа, которые делятся на шесть нацело.
Укажите остатки при делении на 6 тринадцати и четырнадцати. Запишите выражения.
Проверьте:
Объясните, как рассуждали.
15 — на третьем месте после 12, 16 — четвертое место, а 17 – пятое место после 12.
Какой самый большой остаток получается при делении на 6?
Это пять, так как между величинами, которые делятся на шесть нацело, находится пять чисел.
Интересно знать! В Древнем Египте кушать ядра грецких орехов могли только высшие, самые главные жрецы. Для всех остальных, особенно для простого народа — это было запрещено. Чтобы не становились умнее и не начали много думать. Но мы с вами знаем пользу орехов и хорошо соображаем, поэтому продолжаем урок.
Деление с остатком на однозначное число
Существует два способа решения примеров.
1 способ деления на 5, 6, 7, 8, 9
Первый способ подходит, когда делитель равен или больше пяти. Мы должны найти в делимом наибольшее число, чтобы разделить, например, на семерку.
Как его отыскать? Посчитайте семерками. Если бы делили на пять, то считали бы пятерками, на шесть – шестерками и так далее.
Разве 41 разделить на 7 — это пять? Нет, мы разделили только 35. Теперь найдем, сколько не разделили. Из 41 отнимите 35, получится шесть. Это искомый остаток.
Сделайте обязательный шаг — убедитесь, что остаток получился меньше чем делитель. Действительно 6 < 7. Правильное решение. Если получится больше, то нужно пересчитать заново.
Вычислите, чему равен частное и остаток при делении:
2 способ деления на 4, 3, 2 и 1
Второй способ подходит, когда делитель меньше пяти. Способ заключается в том, что делимое уменьшаем на 1 и проверяем, делится ли оно на делитель. Вы посмотрите:
Значит, вы можете применять оба способа в решении таких примеров.
Сорок пять меньше 52, а пятьдесят четыре больше. Значит, делим 45. Находим сколько осталось.
Лучше использовать второй способ. Вычитайте единицу.
Деление на двузначное число с остатком
Орешек знаний тверд, но мы его удачно раскалываем. Для решения таких примеров научимся работать не с самим числом, а с его десятками, но не с простыми, а округленными. Каким образом это работает?
Договоримся так: если количество единиц в числе меньше пяти, то есть — 1, 2, 3, 4, то количество десятков изменять не будем. Если же количество единиц в числе больше пяти, то есть — 5, 6,7, 9, то количество десятков увеличим на один.
Например, 96 разделим на 29. Каждое число округлим. У 96-и девять десятков, да шестерка даст еще один десяток. Округлим 96 до десяти десятков. 29 имеет два десятка и один десяток даст девятка, потому что она больше пяти.
Получается, что надо 10 десятков разделить на три десятка. Воспользуемся вторым способом. Уменьшим 10 на единицу, получаем 9.
Особенность в решении таких примеров в том, что не надо сразу писать ответ. Держите под рукой черновик и проверяйте решение. Чтобы проверить, не ошиблись ли, надо:
Решим следующий пример, где этот метод не работает. 77 – семь десятков да семерка в единицах дает еще один десяток. 13 округляем до десяти.
Получается, что пример сводится к делению восьми на один. Но восьмерка не подходит. 13 ∙ 7 явно больше 77. Поэтому пробуем шестерку. Видите, шестерка не подошла.
Уменьшаем еще на один. Получаем пять.
Полезно знать, что употреблять грецкие орехи нужно взрослым и детям. Важно это делать правильно и регулярно. Тогда вы получите максимальную пользу от этого ценного продукта.
Продолжим урок математики.
Деление с остатком столбиком
В 52 содержится 6 раз по 8, остаётся 4.
Пример с остатком запишите в виде деления в столбик:
- Делимое 52 напишите слева, правее — делитель 8. Между ними проведите вертикальную черту в две клетки — знак деления, горизонтальной линией подчеркните делитель.
- Сколько делителей 8 помещается в делимом 52? Вспомните табличный случай 8 ∙ 6 = 48. Запишите неполное частное 8 в форму.
- Найдите остаток. 48 вычтите из делимого. Проведите черту. Это знак равно. Запишите 4.
Напоминаю: сравните остаток и делитель. 4 < 6. Пример решили верно.
Выполните деления с остатком 51 : 7 =
Ближайшее к делимому будет табличное произведение 49.
2 < 7. Значит, пример решили правильно.
Проверка деления с остатком
Но случаются ошибки. Проверить решения можно обратными действиями.
Выполните деление с остатком и сделайте проверку:
Убедиться в правильности решения помогает проверка.
Решение задач на деление с остатком
Простые задачи легко решить, если составить модель-схему условия и решения задачи на числовом луче.
Рассмотрите пример задачи:
Повар испек 17 творожных и 19 брусничных ватрушек. На тарелки положит по три штуки одного сорта. Узнайте, сколько нужно тарелок и сколько ватрушек останется.
Решение:
Ответ: для творожных ватрушек нужно 5 тарелок, две останутся; для брусничных — 5 тарелок, одна ватрушка останется.
Составьте задачу на деление с остатком, выбрав подходящее выражение:
Проверьте рассуждение. Для задачи подойдет второе выражение, а первое и последнее – не подходят, потому что это табличные случаи.
Пример задачи: На пальто пришивается 4 пуговицы. На сколько таких пальто хватит 15 пуговиц? Сколько пуговиц останется?
Ответ: пуговиц хватит на три пальто. Останется 3 пуговицы.
Придумайте задачу к схеме:
Мама купила 21 конфету и поделила по 8 штук детям. Сколько детей в семье и сколько конфет мама оставила себе?
Решение:
Ответ: в семье двое детей. Мама оставила 5 конфет.
Умения решать задачи по математике помогают в жизни.
Незнайка отправился в магазин. У него есть 90 рублей, и он хочет купить мороженое по цене 28 рублей. Сколько стаканчиков с мороженым сможет купить Незнайка и сколько денег у него останется?
Подсказка: решить задачу можно округлив величины. 90 – это девять десятков, а 28 округлим до трех десятков.
Проверьте:
Ответ: Незнайка купит 3 стаканчика с мороженным. У него останется 6 рублей.
Случаи деления, когда делитель больше делимого
В конце урока Орешек принес интересный пример:
Делитель 9 больше делимого 7. Как решить?
Сколько раз по девять содержится в семи? Конечно — нуль раз. В частном запишите 0. Нуль умножить на девять получится нуль. Вычитаем 0. Остаток 7.