Как изменяется емкость конденсатора при наличии диэлектрика между его обкладками
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Как влияет тип диэлектрика на емкость конденсатора?
Плоские конденсаторы, будь то вакуумные или воздушные, т.е. имеющие вакуум или воздух между обкладками, обычно имеют небольшую емкость. Её можно увеличить, манипулируя размером конденсатора, например, увеличивая площадь поверхности обкладок или уменьшая расстояние между ними. Однако оба решения не очень эффективны, поскольку, например, слишком большой размер ограничивает применимость конденсатора на практике, а уменьшение расстояния между обкладками может привести к пробою.
Существует еще один способ увеличения емкости конденсатора: между его обкладками можно поместить материал с диэлектрическими свойствами. Таким образом, в зависимости от используемого диэлектрика, емкость конденсатора может быть увеличена от нескольких до десятков раз.
Диэлектрики – это материалы, которые не проводят электричество. Во внешнем электрическом поле напряженностью E0 молекулы диэлектрика поляризуются.
Эта поляризация создает внутреннее электрическое поле в диэлектрике Ep . Это поле направлено противоположно внешнему полю. В результате напряженность результирующего электрического поля внутри диэлектрика: E = E0 + Ep , имеет меньшее значение, чем внешнее поле (рис. 1): E = E0 – Ep .
Рис. 1. Линии электрического поля внутри плоского вакуумного конденсатора (слева) и конденсатора с диэлектриком между обкладками (справа)
Из-за поляризации внутри диэлектрика, заполняющего конденсатор, плотность линий электрического поля, а следовательно, и его напряженность, меньше, чем в вакуумном конденсаторе.
Отношение E0 к E зависит от свойств диэлектрика и называется относительной диэлектрической проницаемостью: E0 / E = εr .
Заметим, что константа εr безразмерна (не имеет определенных единиц) и ее значение удовлетворяет условию: εr ≥ 1 , где εr = 1 характеризует вакуум.
Заметим также, что если напряженность электрического поля внутри диэлектрика уменьшается в εr раз, то разность потенциалов (т.е. напряжение U) внутри диэлектрика также должна уменьшиться в εr раз: U0 / U = εr [5].
Что же произойдет, если мы заполним пространство между обкладками конденсатора диэлектриком? Это уменьшит значение разности потенциалов U, сохраняя заряд на обкладках неизменным. Итак, давайте рассмотрим, как это повлияет на емкость данного конденсатора.
Емкость вакуумного конденсатора, т.е. конденсатора, между обкладками которого имеется вакуум, определяется по формуле:
Таким образом, после введения диэлектрика емкость составит: C = Q / U = Q / ( U0 / εr ) = εr * Q / U0 = εr * C0 .
Это означает, что если между обкладками конденсатора поместить диэлектрик, то его емкость увеличится в εr раз: C = εr * C0 .
В таблице 1. приведены примеры значений относительной диэлектрической проницаемости выбранных диэлектриков при комнатной температуре.
| Материал | Относительная диэлектрическая проницаемость |
| Вакуум | 1,0000 |
| Воздух | 1,0005 |
| Тефлон | 2,1 |
| Полиэтилен | 2,3 |
| Бумага | 3,5 |
| Стекло | 4,5 |
| Фарфор | 6,5 |
| Вода | 78 |
Таблица 1: Значения относительной диэлектрической проницаемости для различных материалов.
Как измерить значение относительной диэлектрической проницаемости?
Мы не измеряем эту величину напрямую, а определяем ее. Один из способов определения этой величины, который можно использовать, например, на уроках физики, заключается в измерении разности потенциалов между обкладками плоского конденсатора.
Вам понадобятся: диэлектрическая пластина (например, кусок стекла или пластика), демонстрационный конденсатор (или две металлические пластины, которые можно расположить параллельно друг другу), электроскоп и электростатическая (индукционная) машина.
Мы раздвигаем обкладки конденсатора (или металлические пластины) так, чтобы диэлектрик заполнил пространство между ними (около 1-2 см). С помощью электростатической машины мы заряжаем одну из обкладок конденсатора. Вторую обкладку можно прикрепить к штативу или просто держать в руке – если ее заземлить, она выработает тот же заряд, что и первая. Считайте показания электроскопа (рис. 2.). Затем вставьте диэлектрик между крышками и снова считайте показания электроскопа.
Рис. 2. Исследование с помощью электроскопа напряжения между обкладками плоского конденсатора: а) с воздухом, б) с диэлектриком между обкладками
Когда диэлектрик вставляется между обкладками конденсатора, напряжение между обкладками уменьшается, что заставляет створки электроскопа опускаться вниз.
Электроскоп измеряет напряжение между обкладками конденсатора. Подставив полученные результаты в формулу (5), определим относительную диэлектрическую проницаемость материала. Обратите внимание, что не имеет значения, в каких единицах мы измеряем напряжение – параметр εr является безразмерным.
Конденсатор. Энергия электрического поля
Предыдущие две статьи были посвящены отдельному рассмотрению того, каким образом ведут себя в электрическом поле проводники и каким образом — диэлектрики. Сейчас нам понадобится объединить эти знания. Дело в том, что большое практическое значение имеет совместное использование проводников и диэлектриков в специальных устройствах — конденсаторах.
Но прежде введём понятие электрической ёмкости.
Ёмкость уединённого проводника
Предположим, что заряженный проводник расположен настолько далеко от всех остальных тел, что взаимодействие зарядов проводника с окружающими телами можно не принимать во внимание. В таком случае проводник называется уединённым.
Потенциал всех точек нашего проводника, как мы знаем, имеет одно и то же значение , которое называется потенциалом проводника. Оказывается, что потенциал уединённого проводника прямо пропорционален его заряду. Коэффициент пропорциональности принято обозначать , так что
Величина называется электрической ёмкостью проводника и равна отношению заряда проводника к его потенциалу:
Например, потенциал уединённого шара в вакууме равен:
где — заряд шара, — его радиус. Отсюда ёмкость шара:
Если шар окружён средой-диэлектриком с диэлектрической проницаемостью , то его потенциал уменьшается в раз:
Соответственно, ёмкость шара в раз увеличивается:
Увеличение ёмкости при наличии диэлектрика — важнейший факт. Мы ещё встретимся с ним при рассмотрении конденсаторов.
Из формул (2) и (3) мы видим, что ёмкость шара зависит только от его радиуса и диэлектрической проницаемости окружающей среды. То же самое будет и в общем случае: ёмкость уединённого проводника не зависит от его заряда; она определяется лишь размерами и формой проводника, а также диэлектрической проницаемостью среды, окружающей проводник. От вещества проводника ёмкость также не зависит.
В чём смысл понятия ёмкости? Ёмкость показывает, какой заряд нужно сообщить проводнику, чтобы увеличить его потенциал на В. Чем больше ёмкость — тем, соответственно, больший заряд требуется поместить для этого на проводник.
Единицей измерения ёмкости служит фарад (Ф). Из определения ёмкости (1) видно, что Ф = Кл/В.
Давайте ради интереса вычислим ёмкость земного шара (он является проводником!). Радиус считаем приближённо равным км.
Как видите, Ф — это очень большая ёмкость.
Единица измерения ёмкости полезна ещё и тем, что позволяет сильно сэкономить на обозначении размерности диэлектрической постоянной . В самом деле, выразим из формулы (2) :
Следовательно, диэлектрическая постоянная может измеряться в Ф/м:
Так легче запомнить, не правда ли?
Ёмкость плоского конденсатора
Ёмкость уединённого проводника на практике используется редко. В обычных ситуациях проводники не являются уединёнными. Заряженный проводник взаимодействует с окружающими телами и наводит на них заряды, а потенциал поля этих индуцированных зарядов (по принципу суперпозиции!) изменяет потенциал самого проводника. В таком случае уже нельзя утверждать, что потенциал проводника будет прямо пропорционален его заряду, и понятие ёмкости проводника самого по себе фактически утрачивает смысл.
Можно, однако, создать систему заряженных проводников, которая даже при накоплении на них значительного заряда почти не взаимодействует с окружающими телами. Тогда мы сможем снова говорить о ёмкости — но на сей раз о ёмкости этой системы проводников.
Наиболее простым и важным примером такой системы является плоский конденсатор. Он состоит из двух параллельных металлических пластин (называемых обкладками), разделённых слоем диэлектрика. При этом расстояние между пластинами много меньше их собственных размеров.
Для начала рассмотрим воздушный конденсатор, у которого между обкладками находится воздух
Пусть заряды обкладок равны и . Именно так и бывает в реальных электрических схемах: заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку. Величина — заряд положительной обкладки — называется зарядом конденсатора.
Пусть — площадь каждой обкладки. Найдём поле, создаваемое обкладками в окружающем пространстве.
Поскольку размеры обкладок велики по сравнению с расстоянием между ними, поле каждой обкладки вдали от её краёв можно считать однородным полем бесконечной заряженной плоскости:
Здесь — напряжённость поля положительной обкладки, — напряженность поля отрицательной обкладки, — поверхностная плотность зарядов на обкладке:
На рис. 1 (слева) изображены векторы напряжённости поля каждой обкладки в трёх областях: слева от конденсатора, внутри конденсатора и справа от конденсатора.
Рис. 1. Электрическое поле плоского конденсатора
Согласно принципу суперпозиции, для результирующего поля имеем:
Нетрудно видеть, что слева и справа от конденсатора поле обращается в нуль (поля обкладок погашают друг друга):
Внутри конденсатора поле удваивается:
Результирующее поле обкладок плоского конденсатора изображено на рис. 1 справа. Итак:
Внутри плоского конденсатора создаётся однородное электрическое поле, напряжённость которого находится по формуле (4) . Снаружи конденсатора поле равно нулю, так что конденсатор не взаимодействует с окружающими телами.
Не будем забывать, однако, что данное утверждение выведено из предположения, будто обкладки являются бесконечными плоскостями. На самом деле их размеры конечны, и вблизи краёв обкладок возникают так называемые краевые эффекты: поле отличается от однородного и проникает в наружное пространство конденсатора. Но в большинстве ситуаций (и уж тем более в задачах ЕГЭ по физике) краевыми эффектами можно пренебречь и действовать так, словно утверждение, выделенное курсивом, является верным без всяких оговорок.
Пусть расстояние между обкладками конденсатора равно . Поскольку поле внутри конденсатора является однородным, разность потенциалов между обкладками равна произведению на (вспомните связь напряжения и напряжённости в однородном поле!):
Разность потенциалов между обкладками конденсатора, как видим, прямо пропорциональна заряду конденсатора. Данное утверждение аналогично утверждению «потенциал уединённого проводника прямо пропорционален заряду проводника», с которого и начался весь разговор о ёмкости. Продолжая эту аналогию, определяем ёмкость конденсатора как отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:
Ёмкость конденсатора показывает, какой заряд ему нужно сообщить, чтобы разность потенциалов между его обкладками увеличилась на В. Формула (6) , таким образом, является модификацией формулы (1) для случая системы двух проводников — конденсатора.
Из формул (6) и (5) легко находим ёмкость плоского воздушного конденсатора:
Она зависит только от геометрических характеристик конденсатора: площади обкладок и расстояния между ними.
Предположим теперь, что пространство между обкладками заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Как изменится ёмкость конденсатора?
Напряжённость поля внутри конденсатора уменьшится в раз, так что вместо формулы (4) теперь имеем:
Соответственно, напряжение на конденсаторе:
Отсюда ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком:
Она зависит от геометрических характеристик конденсатора (площади обкладок и расстояния между ними) и от диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего конденсатор.
Важное следствие формулы (10) : заполнение конденсатора диэлектриком увеличивает его ёмкость.
Энергия заряженного конденсатора
Заряженный конденсатор обладает энергией. В этом можно убедиться на опыте. Если зарядить конденсатор и замкнуть его на лампочку, то (при условии, что ёмкость конденсатора достаточно велика) лампочка ненадолго загорится.
Следовательно, в заряженном конденсаторе запасена энергия, которая и выделяется при его разрядке. Нетрудно понять, что этой энергией является потенциальная энергия взаимодействия обкладок конденсатора — ведь обкладки, будучи заряжены разноимённо, притягиваются друг к другу.
Мы сейчас вычислим эту энергию, а затем увидим, что существует и более глубокое понимание происхождения энергии заряженного конденсатора.
Начнём с плоского воздушного конденсатора. Ответим на такой вопрос: какова сила притяжения его обкладок друг к другу? Величины используем те же: заряд конденсатора , площадь обкладок .
Возьмём на второй обкладке настолько маленькую площадку, что заряд этой площадки можно считать точечным. Данный заряд притягивается к первой обкладке с силой
где — напряжённость поля первой обкладки:
Направлена эта сила параллельно линиям поля (т. е. перпендикулярно пластинам).
Результирующая сила притяжения второй обкладки к первой складывается из всех этих сил , с которыми притягиваются к первой обкладке всевозможные маленькие заряды второй обкладки. При этом суммировании постоянный множитель вынесется за скобку, а в скобке просуммируются все и дадут . В результате получим:
Предположим теперь, что расстояние между обкладками изменилось от начальной величины до конечной величины . Сила притяжения пластин совершает при этом работу:
Знак правильный: если пластины сближаются , то сила совершает положительную работу, так как пластины притягиваются друг к другу. Наоборот, если удалять пластины d_1)’ alt='(d_2 > d_1)’ /> , то работа силы притяжения получается отрицательной, как и должно быть.
С учётом формул (11) и (7) имеем:
Это можно переписать следующим образом:
Работа потенциальной силы притяжения обкладок оказалась равна изменению со знаком минус величины . Это как раз и означает, что — потенциальная энергия взаимодействия обкладок, или энергия заряженного конденсатора.
Используя соотношение , из формулы (12) можно получить ещё две формулы для энергии конденсатора (убедитесь в этом самостоятельно!):
Особенно полезными являются формулы (12) и (14) .
Допустим теперь, что конденсатор заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Сила притяжения обкладок уменьшится в раз, и вместо (11) получим:
При вычислении работы силы , как нетрудно видеть, величина войдёт в ёмкость , и формулы (12) — (14) останутся неизменными. Ёмкость конденсатора в них теперь будет выражаться по формуле (10) .
Итак, формулы (12) — (14) универсальны: они справедливы как для воздушного конденсатора, так и для конденсатора с диэлектриком.
Энергия электрического поля
Мы обещали, что после вычисления энергии конденсатора дадим более глубокое истолкование происхождения этой энергии. Что ж, приступим.
Рассмотрим воздушный конденсатор и преобразуем формулу (14) для его энергии:
Но — объём конденсатора. Получаем:
Посмотрите внимательно на эту формулу. Она уже не содержит ничего, что являлось бы специфическим для конденсатора! Мы видим энергию электрического поля , сосредоточенного в некотором объёме .
Энергия конденсатора есть не что иное, как энергия заключённого внутри него электрического поля.
Итак, электрическое поле само по себе обладает энергией. Ничего удивительного для нас тут нет. Радиоволны, солнечный свет — это примеры распространения энергии, переносимой в пространстве электромагнитными волнами.
Величина — энергия единицы объёма поля — называется объёмной плотностью энергии. Из формулы (15) получим:
В этой формуле не осталось вообще никаких геометрических величин. Она даёт максимально чистую связь энергии электрического поля и его напряжённости.
Если конденсатор заполнен диэлектриком, то его ёмкость увеличивается в раз, и вместо формул (15) и (16) будем иметь:
Как видим, энергия электрического поля зависит ещё и от диэлектрической проницаемости среды, в которой поле находится.
Замечательно, что полученные формулы для энергии и плотности энергии выходят далеко за пределы электростатики: они справедливы не только для электростатического поля, но и для электрических полей, меняющихся во времени.