Что такое тривиальное решение

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Первая часть.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Нулевое (тривиальное) решение.

Для начала стоит вспомнить, что такое однородные системы линейных алгебраических уравнений. В теме «Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи» вопрос классификации систем осуществлялся подробно, здесь же лишь вкратце напомню основные термины. Итак, система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется однородной, если все свободные члены этой системы равны нулю. Например, система $\left \ < \begin& 2x_1-3x_2-x_3-x_4=0;\\ & -4x_1+5x_2+3x_4=0. \end \right.$ является однородной, так как все свободные члены этой системы (т.е. числа, стоящие в правых частях равенств) – нули.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение – нулевое (его ещё называют тривиальное), в котором все переменные равны нулю. Подставим, например, $x_1=0$, $x_2=0$, $x_3=0$ и $x_4=0$ в записанную выше систему. Получим два верных равенства:

$$ \left \ < \begin& 2\cdot 0-3\cdot 0-0-0=0;\\ & -4\cdot 0+5\cdot 0+3\cdot 0=0. \end \right. $$

Однако следствие из теоремы Кронекера-Капелли однозначно указывает на то, что если СЛАУ имеет решение, то есть только два варианта. Либо это решение единственно (и тогда СЛАУ называют определённой), либо этих решений бесконечно много (такую СЛАУ именуют неопределённой). Возникает первый вопрос: как выяснить, сколько решений имеет заданная нам однородная СЛАУ? Одно (нулевое) или бесконечность?

Та однородная СЛАУ, которая рассмотрена выше, имеет не только нулевое решение. Подставим, например, $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$ и $x_4=3$:

Мы получили два верных равенства, поэтому $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=3$ – тоже является решением данной СЛАУ. Отсюда, кстати, следует вывод: так как наша СЛАУ имеет более чем одно решение, то эта СЛАУ является неопределенной, т.е. она имеет бесконечное количество решений.

Кстати сказать, чтобы не писать каждый раз выражения вроде «$x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=3$», пишут все значения переменных в матрицу-столбец: $\left(\begin 1 \\ -1 \\ 2 \\ 3 \end \right)$. Эту матрицу тоже называют решением СЛАУ.

Теперь можно вернуться к вопросу о количестве решений однородной СЛАУ. Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, если $r=n$ ($n$ – количество переменных), то СЛАУ имеет единственное решение. Если же $r < n$, то СЛАУ имеет бесконечное количество решений.

Случай $r=n$ не интересен. Для однородных СЛАУ он означает, что система имеет только нулевое решение. А вот случай $r < n$ представляет особый интерес.

Этот случай уже был рассмотрен в теме «Базисные и свободные переменные. Общее и базисное решения СЛАУ». По сути, однородные СЛАУ – это всего лишь частный случай системы линейных уравнений, поэтому вся терминология (базисные, свободные переменные и т.д.) остаётся в силе.

Что такое базисные и свободные переменные? показать\скрыть

Прежде чем дать определение этим терминам, стоит вспомнить, что означает фраза «ранг матрицы равен $r$». Она означает, что есть хотя бы один минор $r$-го порядка, который не равен нулю. Напомню, что такой минор называется базисным. Базисных миноров может быть несколько. При этом все миноры, порядок которых выше $r$, равны нулю или не существуют. Теперь можно дать следующее определение:

Выбрать $r$ базисных переменных в общем случае можно различными способами. В примерах я покажу наиболее часто используемый способ выбора.

Фундаментальная система решений однородной СЛАУ.

С однородными СЛАУ связано дополнительное понятие – фундаментальная система решений. Дело в том, что если ранг матрицы системы однородной СЛАУ равен $r$, то такая СЛАУ имеет $n-r$ линейно независимых решений: $\varphi_1$, $\varphi_2$. $\varphi_$.

Часто вместо словосочетания «фундаментальная система решений» используют аббревиатуру «ФСР». Если решения $\varphi_1$, $\varphi_2$. $\varphi_$ образуют ФСР, и $X$ – матрица переменных данной СЛАУ, то общее решение СЛАУ можно представить в таком виде:

$$ X=C_1\cdot \varphi_1+C_2\cdot \varphi_2+\ldots+C_\cdot \varphi_, $$

где $C_1$, $C_2$. $C_$ – произвольные постоянные.

Что значит «линейно независимые решения»? показать\скрыть

В данной ситуации под решением понимается матрица-столбец, в которой перечислены значения неизвестных.

Решения $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\ldots$, $\varphi_n$ называются линейно зависимыми, если существуют такие константы $\alpha_1,\;\alpha_2,\;\alpha_3,\ldots,\alpha_n$, что выполняется следующее равенство:

$$ \alpha_1\cdot \varphi_1+\alpha_2\cdot \varphi_2+\ldots+\alpha_n\cdot \varphi_n=O $$

при условии, что среди коэффициентов $\alpha_i$ есть хотя бы один, не равный нулю.

Если же указанное выше равенство возможно лишь при условии $\alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_n=0$, то система решений называется линейно независимой.

Буква «$O$» в данном определении обозначает нулевую матрицу. Проще всего пояснить это определение на конкретном примере. Давайте рассмотрим ту СЛАУ, о которой шла речь в начале темы. Мы уже проверили, что $\varphi_1=\left(\begin 1 \\-1 \\2 \\3 \end\right)$ – решение данной СЛАУ. Точно так же можно показать, что $\varphi_2=\left(\begin 16 \\ 11 \\ -4 \\ 3 \end\right)$, $\varphi_3=\left(\begin -5 \\ -4 \\ 2 \\ 0 \end\right)$, $\varphi_4=\left(\begin 7 \\ 5 \\ -2 \\ 1\end\right)$ – решения данной системы.

Примем $\alpha_1=-1$, $\alpha_2=0$, $\alpha_3=4$, $\alpha_4=3$. Выясним, чему же равно выражение $\alpha_1\cdot \varphi_1+\alpha_2\cdot \varphi_2+\alpha_3\cdot \varphi_3+\alpha_4\cdot \varphi_4$:

$$ \alpha_1\cdot \varphi_1+\alpha_2\cdot \varphi_2+\alpha_3\cdot \varphi_3+\alpha_4\cdot \varphi_4= -1\cdot \left(\begin 1 \\-1 \\2 \\3 \end\right)+ 0\cdot \left(\begin 16 \\ 11 \\ -4 \\ 3 \end\right)+ 4\cdot \left(\begin -5 \\ -4 \\ 2 \\ 0 \end\right)+ 3\cdot \left(\begin 7 \\ 5 \\ -2 \\ 1\end\right)=\\ =\left(\begin -1+0-20+21\\ 1+0-16+15 \\ -2+0+8-6 \\ -3+0+0+3\end\right)= \left(\begin 0\\ 0\\ 0\\0\end\right). $$

Итак, существуют такие значения констант $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$, не все одновременно равные нулю, что выполняется равенство $\alpha_1\cdot \varphi_1+\alpha_2\cdot \varphi_2+\alpha_3\cdot \varphi_3+\alpha_4\cdot \varphi_4=O$. Вывод: совокупность решений $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\varphi_3$, $\varphi_4$ – линейно зависима.

Для сравнения: равенство $\alpha_1\cdot \varphi_1+\alpha_2\cdot \varphi_2=O$ возможно лишь при условии $\alpha_1=\alpha_2=0$ (я не буду это доказывать, поверьте на слово 🙂 ). Следовательно, система $\varphi_1$, $\varphi_2$ является линейно независимой.

$$\left \ < \begin& 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=0\\ & -x_1+2x_2+x_3+x_4=0;\\ & x_1-2x_2+2x_3+3x_4=0. \end \right.$$

Если система является неопределённой, указать фундаментальную систему решений.

Итак, мы имеем однородную СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая однородная система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:

Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.

И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: $\rang A=\rang\widetilde = 2$.

Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как $n$, т.е. $n=4$). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу $r=2$. Так как $r < n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться $r$, т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на «ступеньках». Что это за «ступеньки» показано на рисунке:

На «ступеньках» стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной $x_1$, а третий столбец соответствует переменной $x_3$. Именно переменные $x_1$ и $x_3$ примем в качестве базисных.

В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.

Почему можно принять переменные $x_1$ и $x_3$ в качестве базисных? Для ответа на этот вопрос давайте вспомним, что ранг матрицы системы равен числу $r=2$. Это говорит о том, что все миноры данной матрицы, порядок которых выше 2, либо равны нулю, либо не существуют. Ненулевые миноры есть только среди миноров второго порядка. Выберем какой-либо ненулевой минор второго порядка. Мы можем выбирать его как в исходной матрице системы $A$, т.е. в матрице $\left( \begin 3 & -6 & 9 & 13 \\ -1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & 3 \end \right)$, так и в преобразованной матрице системы, т.е. в $\left( \begin 1 & -2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end\right)$. Так как в преобразованной матрице системы побольше нулей, то будем работать именно с нею.

Итак, давайте выберем минор второго порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1 и №2, и столбцов №1 и №2:

Вывод: выбранный нами минор второго порядка не является базисным, ибо он равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №2 (он соответствует переменной $x_2$), то пара переменных $x_1$ и $x_2$ не могут быть базисными переменными.

Осуществим вторую попытку, взяв минор второго порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2 и столбцов №2 и №4:

Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №2 (он соответствует переменной $x_2$) и столбца №4 (он соответствует переменной $x_4$), то пару переменных $x_2$ и $x_4$ можно принять в качестве базисных.

Сделаем и третью попытку, найдя значение минора, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №3:

Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №3 (он соответствует переменной $x_3$), то пару переменных $x_1$ и $x_3$ можно принять в качестве базисных.

Как видите, выбор базисных переменных не является однозначным. На самом деле количество вариантов выбора не превышает количество размещений из $n$ элементов по $r$, т.е. не больше чем $C_^$.

В рассматриваемом примере в качестве баисных были приняты переменные $x_1$ и $x_3$ – сугубо из соображений удобства дальнейшего решения. В чём это удобство состоит, будет видно чуток позже.

Базисные переменные выбраны: это $x_1$ и $x_3$. Количество свободных переменных, как и количество решений в ФСР, равно $n-r=2$. Свободными переменными будут $x_2$ и $x_4$. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.

Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу $\left( \begin 1 & -2 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end\right)$ от нулевой строки:

Свободным переменным, т.е. $x_2$ и $x_4$, соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показать\скрыть

Давайте обратимся к расширенной матрице системы, которая после преобразований имеет вид $\left( \begin 1 & -2 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \end\right)$. Перейдём от матрицы к уравнениям. Первая строка соответствует уравнению $x_1-2x_2+2x_3+3x_4=0$, а вторая строка соответствует уравнению $3x_3+4x_4=0$. Теперь перенесём свободные переменные $x_2$ и $x_4$ в правые части уравнений. Естественно, что когда мы переносим выражение $4x_4$ в правую часть уравнения, то знак его изменится на противоположный, и в правой части появится $-4x_4$.

\begin & x_1+2x_3=2x_2-3x_4;\\ & 3x_3=-4x_4. \end

Если опять записать полученную систему в виде матрицы, то мы и получим матрицу с перенесёнными за черту столбцами.

А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:

$$ \left( \begin 1 & 2 & 2 & -3\\ 0 & 3 & 0 & -4 \end\right) \begin \phantom <0>\\ 1/3\cdot \end \rightarrow \left( \begin 1 & 2 & 2 & -3\\ 0 & 1 & 0 & -4/3 \end\right) \begin r_1-2r_2 \\ \phantom <0>\end \rightarrow \\ \rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 2 & -1/3\\ 0 & 1 & 0 & -4/3 \end\right). $$

Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Вспоминая, что четвёртый столбец соответствует переменной $x_2$, а пятый столбец – переменной $x_4$, получим:

Нами найдено общее решение заданной однородной СЛАУ. Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя $x_1=2x_2-\frac<1><3>x_4$ и $x_3=-\frac<4><3>x_4$ в левую часть первого уравнения, получим:

$$ 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=3\cdot \left(2x_2-\frac<1><3>x_4\right)-6x_2+9\cdot \left(-\frac<4><3>x_4\right)+13x_4=0. $$

Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.

Теперь найдем фундаментальную систему решений. ФСР будет содержать $n-r=2$ решения. Для нахождения ФСР составим таблицу. В первой строке таблицы будут перечислены переменные: сначала базисные $x_1$, $x_3$, а затем свободные $x_2$ и $x_4$. Всего в таблице будут три строки. Так как у нас 2 свободные переменные, то под свободными переменными запишем единичную матрицу второго порядка, т.е. $\left(\begin 1 & 0 \\0 & 1\end\right)$. Таблица будет выглядеть так:

Теперь будем заполнять свободные ячейки. Начнём со второй строки. Мы знаем, что $x_1=2x_2-\frac<1><3>x_4$ и $x_3=-\frac<4><3>x_4$. Если $x_2=1$, $x_4=0$, то:

Найденные значения $x_1=2$ и $x_3=0$ запишем в соответствующие пустые ячейки второй строки:

$$ \begin x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \hline 2 & 0 & 1 & 0 \\ \hline & & 0 & 1 \end $$

Заполним и третью строку. Если $x_2=0$, $x_4=1$, то:

Найденные значения $x_1=-\frac<1><3>$ и $x_3=-\frac<4><3>$ запишем в соответствующие пустые ячейки третьей строки. Таким образом таблица будет заполнена полностью:

$$ \begin x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \hline 2 & 0 & 1 & 0 \\ \hline -\frac<1> <3>& -\frac<4> <3>& 0 & 1 \end $$

Из второй и третьей строки таблицы мы и запишем ФСР. Матрица неизвестных для нашей системы такова: $X=\left(\begin x_1 \\x_2 \\x_3 \\x_4 \end\right)$. В том же порядке, в котором в матрице $X$ перечислены переменные, записываем значения переменных из таблицы в две матрицы:

$$ \varphi_1=\left(\begin 2 \\1 \\0 \\0 \end\right);\; \varphi_2=\left(\begin -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end\right). $$

Совокупность $\varphi_1=\left(\begin 2 \\1 \\0 \\0 \end\right)$, $\varphi_2=\left(\begin -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end\right)$ и есть ФСР данной системы. Общее решение можно записать теперь так: $X=C_1\cdot \varphi_1+C_2\cdot \varphi_2$. Или в развёрнутом виде:

$$ X=C_1\cdot\left(\begin 2 \\1 \\0 \\0 \end\right)+C_2\cdot\left(\begin -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end\right), $$

где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: Общее решение: $\left\ <\begin& x_1=2x_2-\frac<1><3>x_4;\\ & x_2\in R;\\ & x_3=-\frac<4><3>x_4;\\ & x_4 \in R. \end\right.$. Или так: $X=C_1\cdot\left(\begin 2 \\1 \\0 \\0 \end\right)+C_2\cdot\left(\begin -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end\right)$, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные константы. Фундаментальная система решений: $\varphi_1=\left(\begin 2 \\1 \\0 \\0 \end\right)$, $\varphi_2=\left(\begin -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end\right)$.

Записать ФСР однородной СЛАУ

$$ \left\ <\begin& x_1-5x_2-x_3-2x_4+3x_5=0;\\ & 2x_1-6x_2+x_3-4x_4-2x_5=0; \\ & -x_1+4x_2+5x_3-3x_4=0. \end \right., $$

зная общее решение. Записать общее решение с помощью ФСР.

Общее решение уже было получено в теме «метод Крамера» (пример №4). Это решение таково:

Опираясь на предыдущий пример №1, попробуйте составить ФСР самостоятельно, а потом сверить с ответом.

Ранг матрицы системы $r=3$ (поэтому у нас три базисных переменных), количество переменных $n=5$. Количество свободных переменных и количество решений ФСР равно $n-r=2$.

Так же, как и в предыдущем примере, составим ФСР. При составлении учтём, что $x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные переменные, а $x_4$, $x_5$ – свободные переменные.

$$ \begin x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5\\ \hline -\frac<17> <19>& -\frac<15> <19>& \frac<20> <19>& 1 & 0 \\ \hline \frac<144> <19>& \frac<41> <19>& -\frac<4> <19>& 0 & 1 \end $$

Совокупность $\varphi_1=\left(\begin -17/19 \\-15/19 \\20/19 \\1\\0 \end\right)$, $\varphi_2=\left(\begin 144/19 \\ 41/19 \\ -4/19\\0\\1 \end\right)$ и есть ФСР данной системы. Общее решение можно записать теперь так: $X=C_1\cdot \varphi_1+C_2\cdot \varphi_2$. Или в развёрнутом виде:

$$ X=C_1\cdot\left(\begin -17/19 \\-15/19 \\20/19 \\1\\0 \end\right)+C_2\cdot\left(\begin 144/19 \\ 41/19 \\ -4/19\\0\\1 \end\right), $$

где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: Фундаментальная система решений: $\varphi_1=\left(\begin -17/19 \\-15/19 \\20/19 \\1\\0 \end\right)$, $\varphi_2=\left(\begin 144/19 \\ 41/19 \\ -4/19\\0\\1 \end\right)$. Общее решение: $X=C_1\cdot\left(\begin -17/19 \\-15/19 \\20/19 \\1\\0 \end\right)+C_2\cdot\left(\begin 144/19 \\ 41/19 \\ -4/19\\0\\1 \end\right)$, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные константы.

Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё один пример с нахождением общего решения и ФСР.

Что значит тривиальный

Тривиальный — это банальный, неоригинальный, лишенный свежести. Например: «Изложенные в книге мысли слишком тривиальны, поэтому читать ее скучно» .

В другом значении тривиальный — это очень простой, а тривиальность — крайняя степень упрощения. Пример: «Этот вопрос не так тривиален, как может показаться» .

В математике тривиальными называют объекты, простейшие в своем классе. Например, пустое множество — тривиальный объект теории множеств. В химии используются тривиальные названия веществ. О них читайте ниже.

Этимология. Откуда взялось слово «тривиальный»

Слово «тривиальный» происходит от латинского trivialis — обыкновенный. На латыни trivium — пересечение трех дорог (tri — три, via — дорога, путь). Этим словом — тривий — назывались три начальные дисциплины в средневековых университетах. Поэтому слово trivialis в образованной среде стало синонимом всего простого и очевидного. В русский язык слово попало через немецкий или французский.

Синонимы слова «тривиальный»

Синонимы слова «тривиальный» — банальный, лишенный свежести и новизны, обычный, непримечательный, неоригинальный, избитый, простецкий, скучный, примитивный, убогий.

В начале XX века слово носило более негативный оттенок. Поэтому в словарях 1900-х годов приводятся другие синонимы: пошлый, площадный, простонародный, грубый, дурного вкуса.

Примеры употребления слова «тривиальный»

Послышались произносимые в таких случаях шепотом фразы «девушку пристроить; женится переменится» и тому подобные тривиальные аксиомы нелепого бабьего лексикона.
Н. И. Греч. «Записки о моей жизни» (1849-1856)

Впоследствии, кроме гражданской скорби, он стал впадать и в шампанское; но чуткая Варвара Петровна всю жизнь охраняла его от всех тривиальных наклонностей.
Ф. М. Достоевский. «Бесы» (1871-1872)

Есть что-то тривиальное, пошлое в ухаживанье за своею гувернанткой.
Л.Н. Толстой. «Анна Каренина» (1878)

В первое время Костя не нравился Юлии Сергеевне; его бас, его словечки вроде выставил, заехал в харю, мразь, изобрази самоварчик, его привычка чокаться и причитывать за рюмкой казались ей тривиальными.
А. П. Чехов. «Три года» (1895)

Может быть, это слишком тривиально — смотреть Ниагарский водопад, но, сэры, это надо видеть.
И. Ильф, Е. Петров. «Одноэтажная Америка» (1936)

— Это просто, как блин, — сказал он. — Это тривиально. Это плоско и банально.
А.Н. и Б.Н. Стругацкие. «Понедельник начинается в субботу» (1964)

Сочинения его были тривиальны, идейно полноценны, убоги.
С.Д. Довлатов. «Заповедник» (1983)

Тривиальные названия веществ

В химии тривиальные названия — это общеизвестные, но ненаучные имена распространенных соединений. Названия эти проще и удобнее, в отличие от громоздких номенклатурных названий, позволяющих сразу понять формулу вещества.

Например, нашатырь — это хлорид аммония NH ₄ Cl, а питьевая сода — гидрокарбонат натрия NaHCO ₃ . Углекислый газ — это оксид углерода(IV) СО ₂ . Веселящий газ — оксид азорта N ₂ O, а синильная кислота — циановодород HCN.

На практике даже химики пользуются тривиальными названиями. Ведь куда легче сказать «сахароза» вместо «альфа-D-глюкопиранозил-бета-D-фруктофуранозидом».

Множество тривиальных названий химических соединений используют художники, технологи и строители (охра, сурик, киноварь и т.д.). Еще больше тривиальных названий среди лекарственных средств: часто они происходят от названия торговых марок и различаются в разных странах. Например, отечественный пирацетам и импортный ноотропил, поясняется в статье на сайте « Энциклопедии Кругосвет ».

Таблица тривиальных названий химических веществ

Выпускникам, сдающим Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по химии, важно знать тривиальные названия веществ, которые попадаются в тестах. Поэтому в интернете немало таблиц тривиальных названий и формул органических и неорганических веществ .

Вот один из подобных списков :

NaOH — Едкий натр, каустик, каустическая сода
KOH — Едкий калий
NaCl — Каменная (поваренная соль)
Na₂SO₄ * 10 H₂O — Глауберова соль (мирабилит)
NaNO₃ — чилийская селитра, натриевая селитра
NaHCO₃ — питьевая (пищевая) сода
Na₂CO₃ * 10H₂O — кристаллическая сода
Na₂CO₃ — кальцинированная сода
K₂CO₃ — поташ
K₃AlF₆ — криолит
Na₃AlF₆ — криолит
KNO₃ — калийная селитра
KClO₃ — бертолетова соль
K₂Cr₂O₇ — хромпик
СaO — негашеная известь
Ca(OH)₂ — гашеная известь, белильная известь
СaCO₃ — мел, мрамор, известняк, кальцит
CaSO₄*2 H₂O — Гипс
Сa₃(PO₄)₂ — фосфорит
Ca(H₂PO₄)₂ — двойной суперфосфат
Ca(H₂PO₄)₂ + 2 CaSO₄ — суперфосфат
CaCO₃* MgCO₃ — доломит
Сa(NO₃)₂ — кальциевая селитра
Ca(ClO)₂ + CaCl₂ — хлорная известь
BaSO₄ — Барит
Al₂O₃ — корунд, кремнезем, боксит
Амальгама – жидкие сплавы ртути с металлами
Fe₂O₃*3H₂O — бурый железняк
Fe₂O₃ — красный железняк
Fe₃O₄ — железная окалина
FeS₂ — пирит, железный колчедан
K₃[Fe(CN)₆+ -красная кровяная соль
K₄*Fe(CN)₆+ — желтая кровяная соль
Fe₃*Fe(CN)₆+₂ — турнбулева синь
Fe₄[Fe(CN)₆+₃ — берлинская лазурь
MnO₂ — пиролюзит
K₂Cr₂O₇ + H₂SO₄ — хромовая смесь
CuSO₄*5H₂O — медный купорос
(CuOH)₂*CO₃ — малахит
CuS — медный блеск
ZnS — цинковая обманка
ZnCO₃ — цинковый шпат
ZnSO₄ * 7H₂O — цинковый купорос
Cl₂ + H₂O→HClO + HCl — хлорная вода (раствор хлора в воде)
HgCl₂ — сулема
NH₄Cl (р) — нашатырь
Сa(ClO)₂ + CaCl₂ — белильная известь
СO + H₂ — водяной газ, синтез-газ
Н₂ + О₂ — гремучий газ
HF — плавиковая кислота
K[ I (I)₂] — йодная вода
N₂O — веселящий газ
NO₂ — лисий хвост, бурый газ
NH₄NO₃ — аммиачная селитра
(NH₄)₂CO — мочевина, карбамид
NH₄OH — аммиачная вода
1 HNO₃ + 3 HCl — царская водка
SO₂ — сернистый ангидрид
SO₃ — серный ангидрид
H₂S₂O₇ — олеум
COCl₂ — фосген
CO — угарный газ
CO₂ — углекислый газ
CO₂ (тв) – сухой лед
SiC — карборунд
SiH₄ — силан
SiO₂ — кремнезем, песок, ангидрид кремниевой кислоты
Na₂SiO₃ — жидкое стекло
К₂SiO₃ — жидкое стекло
Na₂O*CaO* 6SiO₂ — стекло (оконное)

Тривиальность (математика)

В математике прилагательное trivial часто используется для обозначения утверждения или случая, которые могут быть легко получены из контекста, или объекта, который обладает простой структурой (например, группы , топологические пространства ). [1] [2] [3] Существительное « тривиальность» обычно относится к простому техническому аспекту какого-либо доказательства или определения. Термин на математическом языке происходит от средневековой учебной программы тривиума , которая отличается от более сложной учебной программы квадривиума . [2] [4] Противоположность тривиальности нетривиальна. , который обычно используется, чтобы указать, что пример или решение непросто, или что утверждение или теорему нелегко доказать. [1] [3]

СОДЕРЖАНИЕ

Тривиальные и нетривиальные решения [ править ]

В математике термин «тривиальный» часто используется для обозначения объектов (например, групп, топологических пространств) с очень простой структурой. К ним относятся, среди прочего,

: набор, содержащий нулевые или нулевые члены : математическая группа, содержащая только элемент идентичности. : кольцо, определенное на одноэлементном множестве

Термин « тривиальный » также может использоваться для описания решений уравнения, которые имеют очень простую структуру, но для полноты его нельзя опускать. Эти решения называются тривиальными решениями . Например, рассмотрим дифференциальное уравнение

y ′ знак равно y

где — функция , производная которой равна . Тривиальное решение y знак равно y ( Икс ) <\ Displaystyle у = у (х)>y ′

в то время как нетривиальное решение

Дифференциальное уравнение с граничными условиями важно в математике и физике, поскольку его можно использовать для описания частицы в ящике в квантовой механике или стоячей волны на струне. Он всегда включает решение , которое считается очевидным и поэтому называется «тривиальным» решением. В некоторых случаях могут быть другие решения ( синусоиды ), которые называются «нетривиальными» решениями. [5] ж ″ ( Икс ) знак равно — λ ж ( Икс ) <\ displaystyle f '' (x) = - \ lambda f (x)>ж ( 0 ) знак равно ж ( L ) знак равно 0 <\ Displaystyle f (0) = f (L) = 0>ж ( Икс ) знак равно 0

Точно так же математики часто описывают Великую теорему Ферма как утверждение, что нет нетривиальных целочисленных решений уравнения , где n больше 2. Ясно, что есть некоторые решения уравнения. Например, является решением для любого n , но такие решения очевидны и доступны без особых усилий и, следовательно, «тривиальны». а п + б п знак равно c п <\ Displaystyle а ^ <п>+ Ь ^ <п>= с ^ <п>> а знак равно б знак равно c знак равно 0

В математических рассуждениях [ править ]

Тривиальный может также относиться к любому простому случаю доказательства, которое для полноты нельзя игнорировать. Например, доказательства с помощью математической индукции состоят из двух частей: «базового случая», который показывает, что теорема верна для определенного начального значения (такого как n = 0 или n = 1), и индуктивного шага, который показывает, что если теорема верно для определенного значения n , то это также верно для значения n + 1. Базовый случай часто тривиален и идентифицируется как таковой, хотя бывают ситуации, когда базовый случай сложен, но шаг индукции тривиален. Точно так же можно было бы доказать, что некоторым свойством обладают все члены определенного набора. В основной части доказательства рассмотрим случай непустого множества и подробно исследуем его члены; в случае, когда множество пусто, свойство тривиально принадлежит всем членам, поскольку их нет (подробнее см. пустую истину ).

В математическом сообществе часто шутят, что «тривиальная» синонимична слову «доказано», то есть любую теорему можно считать «тривиальной», если известно, что она истинна. [2]

Другая шутка касается двух математиков, обсуждающих теорему: первый математик говорит, что теорема «тривиальна». В ответ на просьбу другого дать объяснения, он затем переходит к двадцатиминутному изложению. В конце объяснения второй математик соглашается, что теорема тривиальна. Эти анекдоты указывают на субъективность суждений о тривиальности. Шутка также применима, когда первый математик говорит, что теорема тривиальна, но не может доказать ее сам. Часто в шутку теорему называют «интуитивно очевидной». Кто-то, имеющий опыт в области математического анализа , например, счел бы следующее утверждение тривиальным:

Однако для человека, не знакомого с интегральным исчислением, это совсем не очевидно.

Тривиальность также зависит от контекста. Доказательство в функциональном анализе , вероятно, при наличии числа тривиально предполагает существование большего числа. Однако при доказательстве основных результатов о натуральных числах в элементарной теории чисел доказательство вполне может опираться на замечание о том, что у любого натурального числа есть преемник — утверждение, которое само должно быть доказано или приниматься как аксиома (подробнее см. Аксиомы Пеано ).

Тривиальные доказательства [ править ]

В некоторых текстах, тривиальное доказательство ссылается на заявление с участием материала импликации P → Q, где следствие , Q , всегда верно. [6] Здесь, доказательство непосредственно вытекает в силе определения материальной импликации, так как подразумевается, правда , независимо от значения истинности в предшествующем P . [6]

Родственное понятие — пустая истина , где антецедент P в материальной импликации P → Q всегда ложен. [6] Здесь импликация всегда истинна, независимо от истинности последующего Q — опять же в силу определения материальной импликации. [6]