Составьте квадратное уравнение по его корням 5 и 3
По теореме Виета сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при x с обратным знаком, то есть:
Также, по теореме Виета произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену, то есть:
По условию x₁ = 5 и x₂ = 3.
Следовательно, квадратное уравнение с корнями x₁ = 5 и x₂ = 3 имеет вид:
Нам нужно составить квадратное уравнение по его корням. Корни равны 5 и 3.
Решать задание будем по алгоритму
- вспомним определение полного квадратного уравнения и приведенного квадратного уравнения;
- вспомним теорему Виета;
- найдем коэффициента уравнения, используя теорему Виета;
- запишем уравнение;
- сделаем проверку — решим полученное уравнение.
Определение квадратного уравнения и теорема Виета
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax ^2 + bx + c = 0;
где a, b — коэффициенты, а с — свободный член. Так же обязательно должно выполняться условие, что коэффициента a не равен нулю (a ≠ 0).
Если в уравнении ax^2 + bx + c = 0, коэффициент a = 1, то уравнение называется полным приведенное квадратное уравнение.
Мы в ответе получим уравнение с коэффициентом а = 1, то есть приведенное квадратное уравнение.
Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.
Сумма корней уравнения равна коэффициенту b с противоположным знаком.
А произведение корней уравнения равно свободному члену уравнения с.
Находим коэффициенты для нашего уравнения
Корни уравнения имеют значения x1 = 5; x2 = 3.
При условии, что уравнение приведенное, то есть а = 1, находим коэффициенты b и c.
Как составить квадратное уравнение по его корням
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III
§ 55. Составление квадратного уравнения по заданным корням
Предположим, что нам нужно составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа x1 и x2. Очевидно, что в качестве искомого уравнения можно выбрать уравнение
a(х — x1)(х — x2) = 0, (1)
где а — любое отличное от нуля действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое квадратное уравнение с корнями x1 и x2 можно записать в виде (1).
Таким образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных уравнений корни x1 и x2 имеют уравнения вида (1) и только, они.
Пример. Составить квадратное уравнение, корни которого равны 1 и — 2.
Ответ. Корни 1 и —2 имеют все квадратные уравнения вида
а(х — 1)(х + 2) = 0,
ах 2 + ах — 2а = 0,
где а — любое отличное от нуля действительное число. Например, при а = 1 получается уравнение
х 2 + х — 2 = 0.
Упражнения
411. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа:
а) 2 и — 3; б) — 1 и — 5; в) 1 /4 и 1 /6; г) — 1 /2 и — 1 /3 .
412. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его корни были равны:
413. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны 5 /7 и — 1 /2, а сумма всех коэффициентов равна 36.
414. Могут ли корнями квадратного уравнения с натуральными коэффициентами быть числа 6 /5 и — 1 /7?
415. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если известно, что один из его корней равен:
Теорема Виета
Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида:
Для корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения (при $D \ge 0$) справедливо следующее:
$$ x_1+x_2 = -b, \quad x_1 x_2 = c $$
$$ x_1 = -6, x_2 = 1, \quad x_1+x_2 = -5, \quad x_1 x_2 = -6 $$
Теорема Виета
Для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2+bx+c = 0$ (при $D \ge 0$) справедливо следующее:
$$ ax^2+bx+c = a(x-x_1 )(x-x_2 ) $$
$$ 2x^2+5x-3 = 2 \left(x-\frac<1> <2>\right)(x+3) $$
$$ x_1 = \frac<1><2>, x_2=-3, \quad x_1+x_2=-\frac<5><2>, \quad x_1 x_2 = — \frac<3> <2>$$
Примеры
Пример 1. Составьте квадратное уравнение по его корням:
Искомое уравнение: $x^2-3x-10 = 0$
Искомое уравнение: $x^2-3,5x-2 = 0$
$$ \left(x-\frac<1> <3>\right) \left(x-\frac<1> <2>\right) = x^2- \left(\frac<1><3>+\frac<1> <2>\right)x+\frac<1> <3>\cdot \frac<1> <2>= x^2-\frac<5> <6>x+\frac<1> <6>$$
Искомое уравнение: $x^2-\frac<5> <6>x+\frac<1> <6>= 0 или 6x^2-5x+1 = 0$
$г) \frac<3><5>$ — один корень
$$ \left(x-\frac<3> <5>\right)^2 = x^2-2 \cdot \frac<3> <5>x+ \left(\frac<3> <5>\right)^2 = x^2-\frac<6> <5>x+\frac<9><25>$$
Искомое уравнение: $x^2-\frac<6> <5>x+ \frac<9> <25>= 0$ или $25x^2-30x+9 = 0$
Пример 2. Один из корней уравнения $x^2+bx-21 = 0$ равен 3. Найдите другой корень и коэффициент b.
По теореме Виета можем записать:
Получаем: второй корень равен -7, уравнение имеет вид $x^2+4x-21 = 0$.
Ответ: $x_2$ = -7, b = 4
Пример 3. Один из корней уравнения $x^2+3x+c = 0$ равен 12. Найдите другой корень и коэффициент c.
По теореме Виета можем записать:
$$ <\left\< \begin