Как составить квадратное уравнение по его корням
Перейти к содержимому

Как составить квадратное уравнение по его корням

Составьте квадратное уравнение по его корням 5 и 3

По теореме Виета сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при x с обратным знаком, то есть:

Также, по теореме Виета произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену, то есть:

По условию x₁ = 5 и x₂ = 3.

Следовательно, квадратное уравнение с корнями x₁ = 5 и x₂ = 3 имеет вид:

Нам нужно составить квадратное уравнение по его корням. Корни равны 5 и 3.

Решать задание будем по алгоритму

  • вспомним определение полного квадратного уравнения и приведенного квадратного уравнения;
  • вспомним теорему Виета;
  • найдем коэффициента уравнения, используя теорему Виета;
  • запишем уравнение;
  • сделаем проверку — решим полученное уравнение.

Определение квадратного уравнения и теорема Виета

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax ^2 + bx + c = 0;

где a, b — коэффициенты, а с — свободный член. Так же обязательно должно выполняться условие, что коэффициента a не равен нулю (a ≠ 0).

Если в уравнении ax^2 + bx + c = 0, коэффициент a = 1, то уравнение называется полным приведенное квадратное уравнение.

Мы в ответе получим уравнение с коэффициентом а = 1, то есть приведенное квадратное уравнение.

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней уравнения равна коэффициенту b с противоположным знаком.

А произведение корней уравнения равно свободному члену уравнения с.

Находим коэффициенты для нашего уравнения

Корни уравнения имеют значения x1 = 5; x2 = 3.

При условии, что уравнение приведенное, то есть а = 1, находим коэффициенты b и c.

Как составить квадратное уравнение по его корням

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 55. Составление квадратного уравнения по заданным корням

Предположим, что нам нужно составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа x1 и x2. Очевидно, что в качестве искомого уравнения можно выбрать уравнение

a(хx1)(хx2) = 0, (1)

где а — любое отличное от нуля действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое квадратное уравнение с корнями x1 и x2 можно записать в виде (1).

Таким образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных уравнений корни x1 и x2 имеют уравнения вида (1) и только, они.

Пример. Составить квадратное уравнение, корни которого равны 1 и — 2.

Ответ. Корни 1 и —2 имеют все квадратные уравнения вида

а(х — 1)(х + 2) = 0,

ах 2 + ах — 2а = 0,

где а — любое отличное от нуля действительное число. Например, при а = 1 получается уравнение

х 2 + х — 2 = 0.

Упражнения

411. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа:

а) 2 и — 3; б) — 1 и — 5; в) 1 /4 и 1 /6; г) — 1 /2 и — 1 /3 .

412. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его корни были равны:

413. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны 5 /7 и — 1 /2, а сумма всех коэффициентов равна 36.

414. Могут ли корнями квадратного уравнения с натуральными коэффициентами быть числа 6 /5 и — 1 /7?

415. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если известно, что один из его корней равен:

Теорема Виета

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида:

Для корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения (при $D \ge 0$) справедливо следующее:

$$ x_1+x_2 = -b, \quad x_1 x_2 = c $$

$$ x_1 = -6, x_2 = 1, \quad x_1+x_2 = -5, \quad x_1 x_2 = -6 $$

Теорема Виета

Для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2+bx+c = 0$ (при $D \ge 0$) справедливо следующее:

$$ ax^2+bx+c = a(x-x_1 )(x-x_2 ) $$

$$ 2x^2+5x-3 = 2 \left(x-\frac \right)(x+3) $$

$$ x_1 = \frac, x_2=-3, \quad x_1+x_2=-\frac, \quad x_1 x_2 = — \frac $$

Примеры

Пример 1. Составьте квадратное уравнение по его корням:

Искомое уравнение: $x^2-3x-10 = 0$

Искомое уравнение: $x^2-3,5x-2 = 0$

$$ \left(x-\frac \right) \left(x-\frac \right) = x^2- \left(\frac+\frac \right)x+\frac \cdot \frac = x^2-\frac x+\frac $$

Искомое уравнение: $x^2-\frac x+\frac = 0 или 6x^2-5x+1 = 0$

$г) \frac$ — один корень

$$ \left(x-\frac \right)^2 = x^2-2 \cdot \frac x+ \left(\frac \right)^2 = x^2-\frac x+\frac$$

Искомое уравнение: $x^2-\frac x+ \frac = 0$ или $25x^2-30x+9 = 0$

Пример 2. Один из корней уравнения $x^2+bx-21 = 0$ равен 3. Найдите другой корень и коэффициент b.

По теореме Виета можем записать:

Получаем: второй корень равен -7, уравнение имеет вид $x^2+4x-21 = 0$.

Ответ: $x_2$ = -7, b = 4

Пример 3. Один из корней уравнения $x^2+3x+c = 0$ равен 12. Найдите другой корень и коэффициент c.

По теореме Виета можем записать:

$$ x_2+12 = -3 \\ 12x_2 = c \end \right.> \Rightarrow x_2 = -15 \\ c = 12 \cdot (-15) = -180 \end \right.> $$

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.