Что такое inf в математике

Точные грани числовых множеств

Множество X вещественных чисел (X ⊂ \(\mathbb\)) называется ограниченным сверху, если существует вещественное число C такое, что все элементы множества X не превосходят C, то есть
$$
\exists C \ \in \ \mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \leq \ C.\label
$$

Всякое вещественное число C, обладающее свойством \eqref, называется верхней гранью числового множества X.

Аналогично, множество X ⊂ \(\mathbb\) называется ограниченным снизу, если
$$
\exists C’\in\mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geq \ C’.\label
$$

Всякое вещественное число С ‘ , удовлетворяющее условию \eqref, называют нижней гранью числового множества X.

Если числовое множество множество ограничено как сверху, так и снизу, его называют ограниченным, то есть <X — ограниченное множество>\(\Leftrightarrow\left\ <\exists C’\in \ \mathbb\ \exists C\in\mathbb: \ \forall x\in X \ \rightarrow \ C’ \ \leq \ x \ \leq \ C\right\>\).

По условию \(B=\left\<\exists C \ \in \ \mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geqslant \ C\right\>\). Поэтому
$$
\rceil B=\left\<\forall C \ \in \ \mathbb: \ \exists x_C \ \in \ X \ \rightarrow \ x_C < C\right\>.\nonumber
$$

Определение точной верхней и нижней грани.

Пусть числовое множество X ограничено сверху, тогда выполняется условие \eqref, а число C является верхней гранью множества X. Очевидно, что любое число, большее C, также является верхней гранью множества X. Таким образом, ограниченное сверху множество имеет бесконечно много верхних граней, среди которых особую роль имеет наименьшая. Речь идет о числе M, которое обладает следующими свойствами:

1. M — верхняя грань множества X;
2. любое число M’ меньшее M, не является верхней гранью множества X.

Это число M будем в дальнейшем называть точной верхней гранью множества X. Исходя из вышесказанного, сформулируем определение точной верхней грани множества.

Число M называется точной верхней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:

1. $$\forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \leq \ M\label$$
2. $$\forall\alpha < M \ \exists x_\alpha\in X: \ x_\alpha > \alpha\label$$

Число M = sup X, вообще говоря, может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X. Например, если X — множество чисел x таких, что 1 ≤ x <2, то sup X = 2 ∉ X. Если X₁ — объединение множеств X и числа 3, то sup X₁=3 ∈ X₁.

Из определения точной верхней грани множества следует, что если у числового множества X есть точная верхняя грань M, то она единственна.

Число m называется точной нижней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:

1. $$\forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geqslant \ m\nonumber$$
2. $$\forall\beta > m \ \exists x_\beta\in X: \ x_\beta < m\nonumber$$

Существование точной верхней (нижней) грани.

Если непустое множество вещественных чисел X ограничено сверху, то существует sup X; если непустое множество X ограничено снизу, то существует inf X.

Докажем существование верхней точной грани. По условию множество X не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент. Возможны два случая:

1. множество X содержит хотя бы одно неотрицательное число;
2. все элементы множества X отрицательны.

Первый случай. Предположим, что все элементы множества X неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху, а значит выполняется условие \eqref. Пусть C=c₀,c₁c₂…c_n…; тогда c₀ — неотрицательное целое число, причем C < c₀+1, где c₀+1 = n₀ ∈ \(\mathbb\). Следовательно, $$\forall x\in X \ \rightarrow \ x < C < n_0.\label$$
Если x=a₀,a₁a₂…=a₀,n> — произвольный элемент множества X, то из \eqref следует, что 0 ≤ a₀ < n₀. Рассмотрим множество E целых частей элемента множества X. Так как E — конечное непустое множество целых неотрицательных чисел, то в этом множестве есть наибольший элемент \(<\overline a>_0\). Обозначим,$$X_0=\left\_0,\left\\right\>.\nonumber$$

Множество X₀ состоит из всех тех элементов множества X, у которых целая часть равна \(<\overline a>_0\); множество X₀ непустое и X ⊃ X₀.

Пусть E₁ — множество первых десятичных знаков элементов множества X₀. Так как множество E₁ конечно (его элементы могут быть числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и непусто, то существует \(<\overline a>_1=\underset \ a_1\) — наибольший из первых десятичных знаков элементов множества X₀.

Продолжая эти рассуждения, построим последовательность <X_k> непустых множеств и последовательность десятичных знаков \(<\overline a>_k\) таких, что X ⊃ X₀ ⊃ X₁ ⊃ … X ⊃ X₀ ⊃ …,$$<\overline a>_k=\underset> \ a_k,\nonumber$$

Рассмотрим десятичную дробь \(\overline x=<\overline a>_0,<\overline a>_1<\overline a>_2…=<\overline a>_0,\left\<<\overline a>_n\right\>\). Покажем, что x = sup X, то есть что

$$\forall x\in X \ \rightarrow \ x \ \leq \ \overline x,\label$$

$$\forall x’ < \overline x \ \exists\widetilde x\in X: \ \widetilde x > x’.\label$$

Возьмем произвольное число x ∈ X и пусть x = a₀,<a_n>. Чтобы проверить выполнение условия \eqref, рассмотрим три произвольных случая:

$$x\not\in X_k \ \ \ \ \ при \ k=0,1,2,…,\label$$

$$\exists m: \ x\in X_, \ x\not\in X_\label$$

Из \eqref следует, что \(a_0 < <\overline a>_0\) и поэтому \(x < \overline x\). Если выполнено условие \eqref, то \(a_k=<\overline a>_k\) при k = 0, 1, 2,…, откуда, по определению числа \(\overline x\), справедливо равенство \(x=\overline x\). Наконец из \eqref, согласно определению множества X_m и числа \(x=\overline x\), следует, что

и поэтому \(x < \overline x\). Таким образом, неравенство \eqref доказано.

Проверим условие \eqref. Если x’ < 0, то \eqref имеет место при любом \(\widetilde x\in X\), т.к. все элементы множества X неотрицательны.

Пусть \(0 \ \leq \ x’ \ \leq \ \overline x\) и \(x’=a’_0,\left\\). Тогда либо \(a’_0 < <\overline a>_0\), либо \(a’_k=a_k \ при \ k=\overline<0, \ m-1>,a’_m < <\overline a>_m\). В первом случае в качестве \(\widetilde x\) можно взять любой элемент множества X₀, так как из условий \(a’_0 < <\overline a>_0\) и \(\widetilde x\in X_0\) следует, что

$$x’ < \widetilde x=<\overline a>_0,a_1…a_n… \ \leq \ \overline x, \ \ \ \ \ то есть \ \ \ \ \ x’ < \widetilde x \ \leq \ \overline x \ \ \ \ \ и \ \ \ \ \ x\in X_0\subset X.\nonumber$$

Во втором случае условию \eqref удовлетворяет произвольный элемент \(\widetilde x\in X_m\), так как

Таким образом, \(x’ < \widetilde x \ \leq \ \overline x\), где \(\widetilde x\in X_m\subset X\). Условие \eqref проверено.

Итак, условия \eqref и \eqref выполняются, то есть x = sup X. То есть мы доказали предположение, что существует точная верхняя грань при предположении, что все элементы множества X неотрицательны.

Если множество X содержит хотя бы один неотрицательный элемент x₀ ≥ 0, то множество \(\left\<\widetilde X=x\in X: \ x \ \geq \ x_0\right\>\) состоит из неотрицательных чисел, причем \(sup \ X=sup \ \widetilde X\). Поэтому непустое ограниченное сверху числовое множество X имеет точную верхнюю грань.

Второй случай. Если все элементы множества X отрицательны, то произвольный элемент x ∈ X записываются в виде

Пусть \(a_0^\ast\) — наименьшее из чисел a₀ в записи \eqref для всех x ∈ X, \(a_1^\ast\) — наименьший из первых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых \(a_0=a_0^\ast\); \(a_2^\ast\) — наименьший из вторых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых \(a_0=a_0^\ast, \ a_1=a_1^\ast\) и т.д. Указанным способом определяется число \(x^\ast=-a_0^\ast,a_1^\ast…a_n^\ast…=-a_0^\ast,\left\\). По аналогии с первым случаем доказывается, что число x * является точной верхней гранью множества.

Если X и Y — непустые множества вещественных чисел такие, что для любого x ∈ X и любого y ∈ Y справедливо неравенство $$x \ \leq \ y,\label$$ то существуют sup X и inf Y, причем $$\forall x\in X \ и \ \forall y\in Y \ \rightarrow \ x \ \leq \ sup \ X \ \leq \ inf \ Y \ \leq \ y.\label$$

Доказательство

Так как X — непустое множество, ограниченное сверху любым элементом множества Y в силу \eqref, то по теореме 1 существует sup Y. Аналогично из ограниченности непустого множества Y снизу любым элементом множества X следует существование inf Y. По определению точных граней $$\forall x\in X \ \rightarrow \ x \ \leq \ sup \ X, \ \forall y\in Y \ \rightarrow \ inf \ Y \ \leq \ y.\label$$ Из \eqref следует, что для доказательства утверждения \eqref достаточно показать, что $$sup \ X \ \leq \ inf \ Y.\label$$Из неравенства \eqref следует, что каждое число y ∈ Y является верхней гранью множества X. Точная верхняя грань множества X, то есть число sup X, есть наименьшая из всех верхних граней множества X. Следовательно, для любого y ∈ Y выполняется неравенство $$sup \ X \ \leq \ y.\label$$

Из неравенства \eqref следует, что sup X есть нижняя грань множества Y. Точная нижняя грань множества Y, то есть число inf Y, есть наибольшая из всех нижних граней множества Y. Значит, sup X ≤ inf Y.

Пусть ξ — любое вещественное число такое, что $$sup \ X \ \leq \ \xi \ \leq \ inf \ Y\label$$ Тогда из \eqref и \eqref следует неравенство $$x \ \leq \ \xi \ \leq \ y,\label$$ которое справедливо для любого x ∈ X и любого y ∈ Y. Про число ξ говорят, что оно отделяет множество X от множества Y. Поэтому теорему 2 часто называют теоремой об отделимости числовых множеств.