С какой скоростью можно кинуть камень

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Выберем систему координат, как показано на рис.1, и запишем законы изменения основных кинематических величин для обоих направлений.

Рис.1. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

По горизонтали (вдоль оси ):

начальное положение , начальная скорость $v_{0x}=v_0\cos\alpha$ , скорость $v_x=v_{0x}=v_0\cos\alpha ,$ ускорение закон движения:

$x=v_0\cos\alpha t$

По вертикали (вдоль оси ):

начальное положение , начальная скорость $v_{0y}=v_0\sin\alpha$ , скорость $v_y=v_{0y}-gt=v_0\sin\alpha -gt,$ ускорение закон движения:

$y=v_0\sin\alpha t-\frac{gt^2}{2}$

Приведенные выше кинематические характеристики движения позволяют определить максимальную высоту подъема тела, время и дальность полета.

При достижении максимальной высоты подъема — составляющая скорости тела обращается в нуль:

$v_0\sin\alpha -gt=0$

откуда время подъема тела

$t_0=\frac{v_0\sin\alpha }{g}$

Время полета тела:

${t_p=2t}_0=\frac{{2v}_0\sin\alpha }{g}$

В верхней точке траектории — координата тела равна максимальной высоте подъема:

$h_{max}=v_0\sin\alpha t_0-\frac{g{t_0}^2}{2}=\frac{{v_0}^2{\sin}^2\alpha }{g}-\frac{{v_0}^2{\sin}^2\alpha }{2g}=\frac{{v_0}^2{\sin}^2\alpha }{2g}$

В момент падения — координата тела равна дальности полета, поэтому:

$L=v_0\cos\alpha t_p=v_0\cos\alpha \cdot \frac{{2v}_0\sin\alpha }{g}=\frac{{v_0}^2\sin2\alpha }{g}$

Траекторией движения тела, брошенного под углом к горизонту, является парабола.

Примеры решения задач

Задание	Бросив камень под углом $\alpha ={45}^\circ$ к горизонту, необходимо попасть в цель, находящуюся на расстоянии м от места бросания и на высоте м. С какой скоростью необходимо бросить камень?
Решение	Направим координатные оси, как показано на рисунке.

Представим сложное криволинейное движение в виде суммы независимых движений в горизонтальном и вертикальном направлениях и запишем законы изменения координат камня со временем:

$\left\{ \begin{array}{c} x=v_0\cos\alpha t \\ y=v_0\sin\alpha t-\frac{gt^2}{2} \end{array} \right.\$

В момент попадания в цель камень будет иметь координаты $\left(L,\ h\right)$ , поэтому система уравнений запишется в виде:

$\left\{ \begin{array}{c} v_0\cos\alpha t=L \\ v_0\sin\alpha t-\frac{gt^2}{2}=h \end{array} \ \ \right.\ \$

откуда, решая систему методом подстановки, будем искать начальную скорость камня

Выразим время из первого уравнения:

$t=\frac{L}{v_0\cos\alpha }$

и подставим это соотношение во втрое уравнение:

$v_0\sin\alpha \cdot \frac{L}{v_0\cos\alpha }-\frac{g}{2}\cdot \frac{L^2}{{\left(v_0\cos\alpha \right)}^2}=h$

$\frac{2{v_0}^2\sin\alpha \cos\alpha L-gL^2}{2{\left(v_0\cos\alpha \right)}^2}=h$

$\frac{{v_0}^2L\sin2\alpha -gL^2}{2{v_0}^2{\cos}^2\alpha }=h$

${v_0}^2L\sin2\alpha -2{v_0}^2{h\cos}^2\alpha =gL^2$

${v_0}^2\left(L\sin2\alpha -2h{\cos}^2\alpha \right)=gL^2$

$v_0=\sqrt{\frac{gL^2}{L\sin2\alpha -2h{\cos}^2\alpha }\ }$

Ускорение свободного падения м/с $^{2}$ .

Подставив в формулу численные значения физических величин, вычислим:

$v_0=\sqrt{\frac{9,8\cdot {12}^2}{12\cdot \sin{90}^\circ-2\cdot 2\cdot {\cos}^2{45}^\circ}}=12\ m/c$

Задание	Под углом $\alpha ={60}^\circ$ к горизонту брошено тело с начальной скоростью 20 м/с. Через сколько времени оно будет двигаться под углом ${45}^\circ$ к горизонту?
Решение	Выберем систему координат, как показано на рисунке.

Из рисунка видно, что

$tg\varphi =\frac{v_y}{v_x}$

Запишем зависимости от времени — и — составляющих скорости тела:

${v_x=v}_0\cos\alpha$

${v_y=v}_0\sin\alpha -gt$

Подставив эти соотношения в формулу для тангенса угла, который составляет траектория полета тела с горизонтом, а также учитывая, что в данном случае $\text{tg }\varphi =\text{tg }{45}^\circ=1$ , получим:

$\frac{v_0\sin\alpha -gt}{v_0\cos\alpha }=1$

$v_0\sin\alpha -gt=v_0\cos\alpha$

$gt=v_0\left(\sin\alpha -\cos\alpha \right)$

$t=\frac{v_0\left(\sin\alpha -\cos\alpha \right)}{g}$

Ускорение свободного падения м/с $^{2}$ .

Подросток научился бросать камни выше девятиэтажного дома

Подростка с феноменальными способностями нашли в сибирской глубинке. Дмитрий Хромин из Юрги с легкостью бросает спортивное копье на расстояние более 45 метров, сообщает телеканал Рен ТВ. Способности молодого спортсмена подтвердили тренеры российской олимпийской сборной. Специально для этого его возили на тренировочную базу в Адлер.

В спорт Хромина привел спор с одноклассниками: кто выше всех бросит камень. Как не старались его друзья, выше 7-го этажа не смог метнуть никто. Дмитрий с легкостью раз за разом бросал камни выше девятиэтажного дома. За этим занятием его застал тренер местной спортивной школы. Шутки ради он предложил бросить кусок щебенки через футбольное поле — мальчик справился.

Подросток говорит, что его мечта – побить мировой рекорд дальности 98 метров 49 сантиметров. Но для того, чтобы талант развивался, молодому спортсмену необходимы поездки на сборы и на соревнования. Такой роскоши Хромины позволить себе не могут – семья живет на 4 тысячи рублей в месяц. На родине подростку состязаться попросту не с кем. Во всей Сибири едва ли наберется десяток спортсменов подобного профиля.

Физика «блинчиков»

Пускание «блинчиков» — бросание плоских камней так, чтобы они отскакивали от воды, — очень простой процесс, который, тем не менее, интересен с физической точки зрения. Интуитивно понятно, что чем более плоский камень подобрать и чем с большей скоростью его бросить, — тем больше получится отскоков до того, как камень полностью уйдет в воду. Более опытные «бросатели» знают, что улучшить результат можно, придав камню при броске небольшое вращение. При этом каждому, кто хотя бы раз пытался запускать «блинчики», ясно, что несколько отскоков может сделать практически любой человек и что 100 отскоков — это слишком много (кстати, сейчас рекорд — 88 отскоков).

В этой задаче интуитивные представления о «блинчиках» будут поставлены на физический фундамент, и мы с вами разберемся в механике этого процесса: оценим минимальную скорость броска, необходимую для хотя бы одного подпрыгивания, скорость вращения, которое нужно придать камню для стабильности, а также максимальное количество отскоков, которое посильно получить человеку.

Начнем с простой модели. Пусть некоторый предмет (скажем, кубик, как на рис. 1) находится в покое на поверхности воды. Как он будет двигаться, если его вывести из этого равновесия, сдвинув слегка вверх или вниз? Очевидно, что кубик постарается восстановить равновесие. За какое время после отклонения он вернется к начальному положению?

Физика отражения плоского камня от поверхности воды очень похожа на модель с кубиком. Но вместо силы Архимеда на камень действует сила реакция воды. Пусть круглый камень радиусом $s$ и массой $m$ врезается в воду под малым углом с горизонтальной скоростью $v_x$ и вертикальной скоростью $v_z$, так что $v_x\gg v_z$ (это как раз означает, что угол «падения» небольшой). Оцените время столкновения. С какой минимальной скоростью $v_x$ должен лететь камень, чтобы успешно отразиться? Оцените максимальное количество отскоков для камня, брошенного со скоростью 10 м/с.

В качестве дополнительного вопроса подумайте, как меняется интервал времени между двумя отражениями, а также какое характерное вращение нужно придать камню для стабильности.

Подсказка 1

Движение кубика после смещения из состояния равновесия подробно описано в задаче Гравитационный поезд.

Подсказка 2

Камень из воды при столкновении выталкивает турбулентная сила сопротивления воды, которая вычисляется по формуле $C \rho_0 v^2 A/2$ (где $A$ — характерная площадь соприкосновения, $\rho_0$ — плотность воды, а $C$ — некий безразмерный коэффициент порядка 1). Для простоты можно предположить, что горизонтальная скорость камня во время столкновения почти не меняется.

Решение

Сперва разберемся с модельной ситуацией, в которой кубик качался на поверхности воды. Действующие на кубик силы показаны на рис. 3.

Пусть в равновесии куб погружен в воду на глубину $a_\downarrow^0$ от поверхности. Из равенства сил притяжения и Архимеда можно установить, что $\rho_0 a_\downarrow^0 = \rho a$, где $\rho_0$ и $\rho$ — плотность воды и кубика, соответственно, а $a$ — длина стороны куба. В произвольном положении (до тех пор, пока куб хотя бы частично погружен в воду) глубина погружения равна $a_\downarrow = a_\downarrow^0 + \delta$ (см. рис. 3). Тогда достаточно легко показать, что полная сила, действующая на куб равна $F=\rho_0 \delta a^2 g$. Важно, что она линейно зависит от величины смещения от положения равновесия.

В задаче Гравитационный поезд мы обсуждали, что сила, пропорциональная смещению (то есть все ситуации, похожие на натянутую пружинку, описываемую законом Гука), называется квазиупругой, и под действием такой силы объект совершает гармонические колебания с частотой $\omega = \sqrt$, где $k$ — коэффициент пропорциональности, входящий в формулу для силы (в нашем случае $k=\rho_0 a^2 g$, а $m$ — масса объекта. Таким образом, если пренебречь трением воды, то куб будет совершать гармонические колебания с периодом $T=2\pi \sqrt\cdot\sqrt< \rho /\rho_0>$, поскольку $m=\rho a^3$.

Что неудивительно, эта формула совпадает с периодом колебаний математического маятника длиной $a$ (с точностью до безразмерного коэффициента $\sqrt<\rho / \rho_0>$). Неудивительно это, потому что в нашей задаче всего четыре размерных величины: длина ребра куба $a$, ускорение свободного падения $g$ и плотность куба и воды, а приведенное выражение — единственная возможная комбинация этих величин с размерностью времени (период колебаний $T$). «Угадать» методом размерностей безразмерный коэффициент, конечно же, нельзя. Можно только догадаться, что $T\approx \sqrt \cdot (\rho / \rho_0)^\alpha$, где $\alpha$ — некоторая положительная степень.

Теперь рассмотрим основную задачу об отражении плоского камня от поверхности воды. В этой задаче есть только две силы: сила сопротивления воды, равная $C\rho_0 v^2 A / 2$, и $mg$. Очевидно, что так как плотность камня много больше плотности воды, сила Архимеда пренебрежимо мала (если вы вдруг сомневаетесь, можете положить плоский камень размером несколько сантиметров на поверхность воды и посмотреть, что случится). Рассмотрим лишь вертикальную компоненту этих сил. Пусть в некоторый момент камушек погружен на глубину $\delta$ и находится под углом $\theta$ к поверхности воды (рис. 4). Тогда площадь соприкосновения камня с водой примерно равна $a \delta / \sin<\theta>$ (вообще говоря, она зависит от формы камня, но для простоты мы опустим подробности здесь).

Так как угол $\theta$ мал и $v_x\gg v_z$, сила сопротивления воды практически полностью обусловлена горизонтальной скоростью камня $v_x$ и направлена почти строго вертикально: $F\approx C\rho_0 v^2 a\delta / 2\sin<\theta>$. Эти приближения могут показаться очень грубыми, но для качественного описания общей картины они вполне годятся и позволят найти зависимость характерных величин от физических параметров (с точностью до численных коэффициентов).

Из формулы для полной силы мы видим, что сила пропорциональна смещению $\delta$ (как и в модели с кубиком). Поэтому вполне можно считать, что при частичном погружении камня в воду он совершает гармоническое движение (естественно, это продлится только во время контакта с водой). Зная коэффициент пропорциональности, можно найти «период колебаний», и, соответственно, время столкновения (равное половине «периода»):

В предельном случае, когда камень летит горизонтально ($\theta=0$) столкновение в нашем приближении происходит моментально. В общем случае время зависит от угла $\theta$. Заметим, что ответ не зависит от $g$.

Для камня массой $m\approx 100$ г и размером $a\sim 10$ см, летящего со скоростью $v\approx 10$ м/с, найдем, что время столкновения примерно равно 5–10 миллисекундам (для углов $\theta\sim 5^\circ$–$25^\circ$).

За такое время вертикальная скорость камня успевает поменять знак, и камень отлетает от поверхности воды с несколько меньшей скоростью из-за трения. Если трение слишком большое, а скорость оказывается маленькой, камень остановится и утонет. На самом деле наши приближения в таком режиме не работают, но для оценки по порядку величины вполне годятся.

Работа силы трения воды равна $\mu m g l_<\mathrm ст>$, где $\mu\sim 1$ — эффективный коэффициент трения, а $l_<\mathrm ст>$ — расстояние которое камень «проскальзывает» по воде в течение столкновения: $l_<\mathrm ст>\sim v t_<\mathrm ст>$. Что удивительно, расстояние $l_<\mathrm ст>$ не зависит от скорости $v$:

В нашем случае $l_<\mathrm ст>\approx 5\mathrm<->10$ см (для углов $\theta\sim 5^\circ$–$25^\circ$).

Если работа сил трения больше кинетической энергии камня $mv^2/2$, то отражение не произойдет. Отсюда найдем минимальную скорость камня, при которой возможно хотя бы одно отражение:

Эта скорость близка к $v_<\mathrm мин>\sim 1$ м/с и очень слабо зависит от неизвестных нам величин: угла $\theta$ и коэффициента $C$ (поскольку они входят в формулу в степени 1/4), а также коэффициента трения (он входит в степени 1/2).

В результате каждого такого отражения теряется энергия $\mu m g l_<\mathrm ст>$ (не зависящая от скорости), поэтому после $N$ столкновений суммарная потеря энергии равна $N\mu mgl_<\mathrm ст>$. Значит, число отражений при некоторой заданной начальной скорости до полной остановки можно оценить так:

Для $v\approx 10$ м/с получим 50–100 отражений (конечно, камень остановится значительно раньше, так как наши предположения перестанут работать через несколько отражений).

Послесловие

Движение камня между столкновения (если пренебречь трением воздуха) происходит по параболической траектории. Легко показать, что расстояние между двумя отражениями можно оценить как $2 v_x v_z / g$, где $v_x$ и $v_z$ — горизонтальная и вертикальная компоненты скорости камня сразу после первого отражения.

Так как отражения мы считаем абсолютно упругими, то величина $v_z$ от числа столкновений $n$ не зависит, а зависимость $v_x$ от $n$ можно найти как из закона сохранения энергии:

Воспользовавшись этим уравнением и выражением для максимального числа отражений $N$, а также выражением для расстоянием между двумя самыми первыми отражениями $\Delta x_0=2v_v_z/g$, найдем:

Если предположить, что камень был брошен под углом $10^\circ$ со скоростью $v_= 10$ м/с, то получим $\Delta x_0\sim 3<,>5$ м. При таких параметрах максимальное число столкновений близко к 50. График зависимости расстояния между отражениями от их числа показан на рис. 5. Как видно, когда $n\approx N$, расстояние между отражениями очень быстро уменьшается — до тех пор, пока камень наконец не остановится и не утонет. Каждый, кто когда-либо пытался бросать блинчики, наблюдал это воочию.

Прелесть рассмотренной модели в том, что она позволяет давать вразумительные ответы и на другие вопросы. Например, ящерицы из рода Basiliscus умеют бегать по поверхности воды.

Василиск убегает от змеи по воде. А в этом видео можно посмотреть в замедленной съемке, что происходит, когда ящерица бежит по воде

А с какой скоростью должен бежать по воде человек, чтобы не утонуть? Если принять, что он весит 100 кг, то минимальную скорость по нашим формулам можно оценить примерно в 10 м/с. Это не нечто запредельное — средняя скорость Усейна Болта во время рекордного забега на 100 метров составила 10,44 м/с (в финале Чемпионата мира по легкой атлетике 2009 года Болт преодолел стометровку за 9,58 с — этот рекорд держится до сих пор). Но поскольку наша модель с плоским камнем сильно упрощена, реальная минимальная скорость должна быть больше (в интернете можно найти видеосвидетельства успешного хождения по воде, но воспринимать их всерьез не стоит).

Но есть и другая проблема. Разогнаться до скорости 10 м/с (да еще и сделать это быстро) гораздо сложнее с энергетической точки зрения, чем поддерживать такую скорость. Если считать, что при каждом шаге теряется лишь малая часть энергии (скажем, из-за трения), то при каждом отталкивании бегуну нужно лишь совершать работу, равную этой малой диссипации. В случае же бега по воде большая часть кинетической энергии диссипирует каждый раз при соприкосновении с поверхностью, и, по сути, при каждом шаге нужно снова «разгоняться» до 10 м/с за очень короткий промежуток времени. При этом, разгоняясь каждый раз до скорости 10 м/с человек должен совершать работу (чтобы постоянно поддерживать свой вес при такой скорости), мощностью почти в 10 кВт (или 13 лошадиных сил), что абсолютно невозможно. Мышцы человека способны генерировать на коротких промежутках времени до 20 Вт/кг, и даже если предположить, что наш стокилограммовый бегун полностью состоит из мышц, максимальная мощность его движений приблизится лишь к одной лошадиной силе.

А вот для ящерицы весом 100 г с размером конечностей несколько сантиметров минимальная скорость для хождения по воде оказывается совсем невысокой — 1–2 м/с. Чтобы ее развить, требуется мощность примерно в 1Вт. Это вполне посильно для ящериц, у мышц которых характерная мощность близка к нескольким сотням Вт/кг (N. A. Curtin et al., 2005. Muscle directly meets the vast power demands in agile lizards). Более детально динамика бегущих по поверхности воды ящериц рассмотрена в статьях J. W. Glasheen, T. A. McMahon, 1996. A hydrodynamic model of locomotion in the Basilisk Lizard и J. W. Glasheen, T. A. McMahon, 1996. Size-dependence of water-running ability in basilisk lizards (Basiliscus basiliscus).

Эта задача основана на статье L. Bocquet, 2003. The physics of stone skipping.