Какой цифрой оканчивается число 2 2011

Последняя цифра числа

а) Заметим, что последняя цифра произведения двух натуральных чисел такая же, как последняя цифра произведения последних цифр этих двух чисел.

То есть предположим, что нам нужно найти последнюю цифру произведения чисел \(457\) и \(369\) . Для этого нам нужно перемножить последние цифры этих чисел, то есть \(7\cdot 9 = 63\) , и так последняя цифра у \(63\) – это \(3\) , то последняя цифра произведения чисел \(457\) и \(369\) тоже \(3\) .

Пользуясь этим правилом, составим последовательность последних цифр степеней тройки: \[3,\, 9,\, 7,\, 1,\, 3,\, 9,\, 7,\, 1,\cdots\] Заметим, что в этой последовательности блоки по четыре цифры \(3,\ 9, \ 7, \ 1\) повторяются, значит, последняя цифра числа \(3^<33>\) зависит от того, какой остаток будет давать число \(33\) при делении на \(4\) (так как блоки по \(4\) цифры).

Так как остаток \(33\) при делении на \(4\) равен \(1\) , то \(3^<33>\) заканчивается на такую же цифру, как и \(3^1\) . Таким образом, последняя цифра числа \(3^<33>\) – это \(3\) .

б) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа \(57^<57>\) – это \(7\) .

в) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа \(2016^<2016>\) – это \(6\) .

Академик Котовский нашел самое большое простое число: \(1999876891^<999>-1\) . Не перепутал ли чего академик?

Посмотрим на последнюю цифру числа \(1999876891^<999>\) .

Так как число \(1999876891\) оканчивается на \(1\) , то и число \(1999876891^<999>\) тоже оканчивается на \(1\) , тогда число \(1999876891^<999>-1\) оканчивается на \(0\) , значит, оно делится на \(10\) , следовательно, оно не простое. Академик ошибся.

Делится ли число \(27^<23>+33^<11>\) на \(10\) ?

Найдем последнюю цифру числа \(27^<23>+33^<11>\) .

Так как последняя цифра числа \(27^<23>\) – это \(3\) , а последняя цифра числа \(33^<11>\) – это \(7\) , то последняя цифра числа \(27^<23>+33^<11>\) – это \(0\) , а значит это число делится на \(10\) .

Докажите, что все числа вида \(n!\) при всевозможных натуральных \(n\) , больших четырёх, оканчиваются на одну и ту же цифру.

При \(n \geq 5\) : \[n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot . \cdot n = 120\cdot . \cdot n\] – делится на \(10\) , следовательно, последняя цифра такого числа равна \(0\) .

Найдите последнюю цифру числа, равного \(0! + 1! + 2! + 3! + \dots + 2017!\) , если \(0! = 1\) – по определению.

Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы последних цифр исходных слагаемых.

Так как при \(n\geq 5\) последняя цифра числа \(n!\) равна \(0\) , то все числа вида \(n!\) при \(n\geq 5\) не дадут вклада в последнюю цифру исходной суммы.

Таким образом, последняя цифра исходной суммы совпадает с последней цифрой суммы \[0! + 1! + 2! + 3! + 4!,\] которая равна последней цифре суммы последних цифр её слагаемых, то есть последней цифре числа \[1 + 1 + 2 + 6 + 4 = 14,\] которой является цифра \(4\) .

Последняя цифра числа \(n^2\) равна \(4\) ( \(n\in\mathbb\) ). Может ли предпоследняя цифра числа \(n^2\) быть нечётной?

Так как последняя цифра числа \(n^2\) равна \(4\) , то \(n^2\) – чётное, следовательно, \(n\) – чётное, тогда \(n^2\) делится на \(4\) , что равносильно тому, что число, образованное двумя последними цифрами числа \(n^2\) , делится на \(4\) .

Не более чем двузначные числа, у которых последняя цифра равна \(4\) , которые и сами делятся на \(4\) : \[04,\qquad 24,\qquad 44,\qquad 64,\qquad 84\,.\]

Таким образом, предпоследняя цифра числа \(n^2\) обязательно чётна.

Можно ли составить из цифр \(1\) , \(2\) , \(8\) , \(9\) (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) два числа, одно из которых в \(17\) раз больше другого?

Докажем методом от противного: пусть такие числа \(m\) , \(n\) существуют. Пусть при этом \(m = 17\cdot n\) , тогда какой может быть последняя цифра числа \(m\) ?

Ответ на последний вопрос зависит от последней цифры числа \(n\) . Рассмотрим все возможные варианты:
1) последняя цифра числа \(n\) – это цифра \(1\) , тогда последняя цифра числа \(17n\) – это цифра \(7\) , но \(m\) не может содержать в своей записи цифру \(7\) .
2) последняя цифра числа \(n\) – это цифра \(2\) , тогда последняя цифра числа \(17n\) – это цифра \(4\) , но \(m\) не может содержать в своей записи цифру \(4\) .
3) последняя цифра числа \(n\) – это цифра \(8\) , тогда последняя цифра числа \(17n\) – это цифра \(6\) , но \(m\) не может содержать в своей записи цифру \(6\) .
4) последняя цифра числа \(n\) – это цифра \(9\) , тогда последняя цифра числа \(17n\) – это цифра \(3\) , но \(m\) не может содержать в своей записи цифру \(3\) .

Таким образом, подходящих \(m\) и \(n\) не существует.

ЕГЭ по математике — одно из самых сложных тестирований для выпускников. Многолетняя практика показала, что очень часто ученики допускают неточности при вычислении последней цифры натурального числа. Данная тематика сама по себе довольно сложна, так как требует особой точности, внимательности и развитого логического мышления. Чтобы без проблем справиться с подобными заданиями, рекомендуем воспользоваться удобным онлайн-сервисом «Школково». На нашем сайте вы найдете все необходимое для решений уравнений на нахождение последней ненулевой цифры числа и подтяните знания в смежных тематиках.

Сдавайте Единый государственный экзамен на «отлично» вместе со «Школково»!

Наш образовательный портал построен таким образом, чтобы выпускнику было максимально удобно готовиться к итоговой аттестации. Сначала ученик обращается к разделу «Теоретическая справка»: вспоминает правила решения уравнений, освежает в памяти важные формулы, которые помогают найти последнюю цифру числа. После этого переходит в «Каталоги», где находит множество задач различных уровней сложности. Если с каким-либо упражнением возникают затруднения, его можно перенести в «Избранное», чтобы вернуться к нему позже и решить самостоятельно либо с помощью преподавателя.

Специалисты «Школково» собрали, систематизировали и изложили материалы по теме в максимально простой и понятной форме. Таким образом большое количество информации усваивается в короткие сроки. Школьники смогут выполнять даже те задания, которые совсем недавно вызывали у них большие трудности, в том числе и те, где необходимо указать несколько решений.

Чтобы занятия проходили максимально эффективно, рекомендуем начать с наиболее легких примеров. Если они не вызвали сложностей, не теряйте время — переходите к задачам среднего уровня, так вы определите свои слабые стороны, сделаете упор на наиболее сложные для вас задания и добьетесь больших результатов. После ежедневных занятий в течение 1―2 недель вы сможете за пару минут вывести даже последнюю цифру числа Пи. Данное задание достаточно часто встречается в ЕГЭ по математике.

База упражнений на нашем портале постоянно обновляется и дополняется преподавателями с большим стажем. У школьников есть отличная возможность каждый день получать совершенно новые задания, а не зацикливаться на одних и тех же примерах, как зачастую приходится делать при повторении по школьному учебнику.

Начните занятия на сайте «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать!

Обучение на нашем портале доступно всем желающим. Чтобы вы отслеживали свой прогресс и получали новые задания, созданные персонально для вас, зарегистрируйтесь в системе. Желаем вам удачной подготовки!

Исследовательская работа "Ключ к угадыванию цифры"

После изучения темы “Степень с натуральным показателем” была предложена такая задача: найти последнюю цифру степеней:

Мы заметили, что в первом случае показатели степеней составные числа, а во втором случае показатели степеней простые числа. В обоих случаях есть основания четные и нечетные. Мы сначала попробовали представить степени в виде произведения степеней с тем же основанием и одинаковыми показателями, затем воспользовались со свойствами степеней с натуральными показателями

В первом случае узнали последнюю цифру степени . Это 3. А дальше определили искомую цифру как последнюю цифру числа . Получили 1. Во втором случае сначала нашли последнюю цифру степени . Это 1. А 1 в любой степени -1. Второй способ нам понравился больше. Аналогично нашли последнюю цифру остальных степеней.

В ходе решения таких задач мы поняли, чтовсегда оканчивается (при натуральном) n на 6.

Но вторая задача достаточно сложная, так как показатели степеней простые числа и мы не можем представить эти степени в виде произведения степеней с одинаковыми показателями, как делали раньше. Но мы нашли способы решения.

= * * * *					или
9	9	9	9	3	1	3
3
1	3	3
3

Значит, последняя цифра степени равна 3.

Мы решили найти более удобный, универсальный способ нахождения последней цифры степени.

Решили заполнить таблицу, где в первой строке написаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел. Во — второй строке — цифры, которыми оканчиваются соответствующие квадраты, в третьей – кубы и т.д.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0
1	8	7	4	5	6	3	2	9	0
1	6	1	6	5	6	1	6	1	0
1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Мы заполнили пятую строку, затем шестую и удивились. Оказывается, пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; а шестая степень числа оканчивается той же цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая степень – что и третья степень этого числа.

К нашему удивлению, результаты в таблице повторяются через каждые четыре строки.

• Во-первых, квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
• Во-вторых, куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
• В-третьих, четвертая степень натурального числа может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;
• В-четвертых, пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число;
• В-пятых, если запись натурального числа оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;
• В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные — цифрой 6.

Мы поставили перед собой такую задачу, а нельзя ли найти способ определения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.

II. Составление алгоритма нахождения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.

Вернулись к нашим же примерам.

Найти последнюю цифру степеней: , , , ;.

20: 4 = 5 (остаток 0)	1
8: 4 = 2 (остаток 0)	6
36: 4 = 9 (остаток 0)	6
24: 4 = 6 (остаток 0)	1
12: 4 = 3 (остаток 0) 5

Итак, мы заметили, что если остаток равен 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, искомая цифра равна 6.

Далее мы начали подбирать такие степени, когда при делении показателя степени на 4 получаются остатки 1, 2, 3.

5: 4= 1 (остаток 1)	2
1989:4 = 497 (остаток 1)	3

Если остаток равен 1, то искомая цифра будет равна последней цифре основания степени.

22: 4 = 5 (остаток 2)	4
18: 4 = 4 (остаток 2)	9

Если остаток равен 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания.

43: 4 = 10 (остаток 3)	3
19: 4 = 4 (остаток 3)	8

Если остаток равен 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания.

А если степени с очень большими показателями?

Мы легко справились и с этой задачей.

Итак, мы получили алгоритм нахождения последней цифры степени натурального числа.

Чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, надо:

Найти остаток от деления показателя степени на 4;

Если остаток равен

а) 1, то искомая цифра будет совпадать с последней цифрой основания степени;

б) 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания;

в) 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания;

г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна 6.

Мы научились быстро находить последнюю цифру степени и попробовали расширить круг знаний. Например, мы составили такие задачи.

III. Составление упражнений на применение алгоритма.

1. Доказать, что число кратно 2.

2. Доказать, что -1 кратно 5 (при натуральном n).

3. Верно ли, что 1,6*( -1 ) – целое число при любом (натуральном) n.

4. Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел, каждое из которых оканчивается на 7?

Математика для блондинок

Математикой должны заниматься блондинки — они врать не умеют.

Страницы

• Главная страница
• Новая математика
• Словарик

вторник, 18 октября 2011 г.

Степени числа два

Последовательные степени числа два

Последовательные степени числа два от 0 до 29 представлены на таблице выше. Начинается таблица степеней числа 2 с показателя степени ноль. Любое число в нулевой степени равняется единице. Поэтому два в степени 0 равняется 1. Любое число в первой степени равняется самому себе. Поэтому 2 в степени 1 равно 2.

Если кому-то мало этой таблицы, тогда можете посмотреть другую, где степени числа 2 представлены до 49-й степени.

Степени числа 2 от 0 до 49

Степени числа два от 50 до 100

Надеюсь, эти таблицы степеней числа 2 от 0 до 100 программистам понравятся. Математики любят совать всякую гадость куда попало. Как достойный ученик я не удержался, чтобы не всунуть в таблицу 2 в степени «пи» и 2 в степени «е». Авось, кому-нибудь из вундеркиндов это пригодится. А теперь маленький кусочек теории.

Два во второй степени означает, что число два нужно умножить само на себя. Поэтому 2 в степени 2 или 2 в квадрате равняется четырем.

Вообще, показатель степени показывает, сколько одинаковых чисел перемножается между собой. Так, два в третьей степени или 2 в кубе означает, что три числа 2 перемножаются между собой и это равняется восьми:

2 х 2 х 2 = 8

Два в четвертой степени будет произведением четырех двоек:

2 х 2 х 2 х 2 = 16

Эта таблица последовательных степеней числа два очень часто применяется в программировании, поскольку там используется двоичная система система счисления.

В заключение нужно ответить на вопрос вселенского масштаба: а 2 в бла-бла-бла степени на какую цифру заканчивается?

Два в любой степени заканчивается на одну из четырех цифр: 2, 4, 8, 6. Именно в такой последовательности они чередуются. (Евангелие от Меня: под выражением «любая степень» нужно понимать любое положительное целое число за исключением нуля. Аминь.) Искать формулы в Интернете мне откровенно лень. Беру карандаш и бумагу, рисую формулы — не правильно. Вторая попытка — то, что нужно. Несколько проверок — готово. Перед вами четыре формулы. Та формула, в которой при делении получается целое число, показывает, на какую цифру оканчивается два, возведенное в указанную степень.

Формулы для определения последней цифры

На картинке приведены два примера использования формул. В первом случае 2 в степени 123456789 заканчивается на цифру 2. Во втором случае 2 в степени 11111 заканчивается на цифру 8.

Несколько ответов на вопросы в комментариях.

2 в 999 степени заканчивается на 88.

2 в 2000 и 2 в 2012 степенях заканчиваются на 6 (оба показателя степени без остатка делятся на 4).