Arcsec что это
Перейти к содержимому

Arcsec что это

Обратные тригонометрические функции, их графики и формулы

Графики обратных тригонометрических функций

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x , при заданном , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны. Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x . Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y .

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ), имеющая область определения и множество значений .
Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ), имеющая область определения и множество значений .
Арктангенс ( y = arctg x ) – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ), имеющая область определения и множество значений .
Арккотангенс ( y = arcctg x ) – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x . См. разделы Синус, косинус, Тангенс, котангенс.

График функции y=arcsin(x)
y = arcsin x График функции y=arccos(x)
y = arccos x График функции y=arctg(x)
y = arctg x График функции y=arcctg(x)
y = arcctg x

Основные формулы

Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

arcsin(sin x ) = x при
sin(arcsin x ) = x
arccos(cos x ) = x при
cos(arccos x ) = x

arctg(tg x ) = x при
tg(arctg x ) = x
arcctg(ctg x ) = x при
ctg(arcctg x ) = x

Обратные тригонометрические функции

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

  • аркси́нус (обозначение: arcsin)
  • аркко́синус (обозначение: arccos)
  • аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)
  • арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccot или arccotan)
  • арксе́канс (обозначение: arcsec)
  • арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат.  arc  — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin −1 для арксинуса и т. п.; это считается не совсем корректным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Содержание

Основное соотношение

\arcsin x + \arccos x = \frac<\pi><2>» width=»» height=»» /> <img src=

y = \arcsin x

График функции .

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого \sin x = m,\, -\frac<\pi> <2>\leqslant x \leqslant \frac<\pi><2>,\, |m|\leqslant 1.» width=»» height=»» /></p> <p>Функция <img loading=непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\arcsin xявляется строго возрастающей.

  • \sin (\arcsin x) = x\qquadпри -1 \leqslant x \leqslant 1,
  • \arcsin(\sin y) = y\qquadпри -\frac<\pi><2>\leqslant y \leqslant \frac<\pi><2>,» width=»» height=»» /></li> <li><img loading=(область определения),
  • E(\arcsin x) = \left[-\frac<\pi><2>; \frac<\pi><2>\right]\qquad» width=»» height=»» /> (область значений).</li> </ul> <h4>Свойства функции arcsin</h4> <ul> <li><img loading=(функция является нечётной).
  • \arcsin x>0 \,при 0 < x \leqslant 1.
  • \arcsin x = 0\,при x=0.
  • \arcsin x < 0\,при -1 \leqslant x < 0.
  • \arcsin x = \left\<\begin<matrix>\arccos \sqrt<1-x^2>,\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ -\arccos \sqrt<1-x^2>,\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 \end<matrix>\right.» width=»» height=»» /></li> <li><img src=На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y= \arcsin xфункцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — \left [ -\frac<\pi><2>; \frac<\pi> <2>\right ]» width=»» height=»» />. Так как для функции <img loading=на интервале \left [ -\frac<\pi><2>; \frac<\pi> <2>\right ]» width=»» height=»» /> каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция <img loading=график которой симметричен графику функции y=\sin xна отрезке \left [ -\frac<\pi><2>; \frac<\pi> <2>\right ]» width=»» height=»» /> относительно прямой <img loading=

    Функция arccos

    y=\arccos x

    График функции .

    \cos x = m,\qquad 0 \leqslant x \leqslant \pi, |m|\leqslant 1.

    Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого

    Функция y=\cos xнепрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=\arccos xявляется строго убывающей.

    • \cos (\arccos x)=xпри -1 \leqslant x \leqslant 1,
    • \arccos (\cos y) = yпри 0 \leqslant y \leqslant \pi.
    • D(\arccos x)=[-1; 1],(область определения),
    • E(\arccos x)=[0; \pi].(область значений).

    Свойства функции arccos

    • \arccos(-x) = \pi - \arccos x\,(функция центрально-симметрична относительно точки \left (0; \frac<\pi><2>\right)» width=»» height=»» />), является индифферентной.</li> <li><img loading=при -1 \leqslant x < 1.
    • \arccos x = 0\,при x=1.\,
    • \arccos x = \left\<\begin<matrix>\arcsin \sqrt<1-x^2>,\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\\pi-\arcsin \sqrt<1-x^2>,\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 \end<matrix>\right.» width=»» height=»» /></li> <li><img src=На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=\arccos xфункцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения — [0; \pi].На этом отрезке y=\cos xстрого монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке [0; \pi]существует обратная функция y = \arccos x,график которой симметричен графику y=\cos xна отрезке [0; \pi]относительно прямой y=x.

      Функция arctg

      График функции y=\operatorname<arctg>\, x» width=»» height=»» />.</p> <p><b>Арктангенсом</b> числа <i>m</i> называется такое значение угла <img loading=, для которого \operatorname<tg>\, \alpha = m , \qquad -\frac<\pi> <2>< \alpha < \frac<\pi><2>.» width=»» height=»» /></p> <p>Функция   alt=»y=\operatorname<arctg>x» width=»» height=»» /> непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция   alt=»y=\operatorname<arctg>x» width=»» height=»» /> является строго возрастающей.</p> <ul> <li><img src=

    • \operatorname<arctg>\,(\operatorname<tg>\, y)=y» width=»» height=»» /> при <img src=

      Функция arcctg

      Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого \operatorname<ctg>\,x = m,\qquad 0 < x < \pi.» width=»» height=»» /></p> <p>Функция   alt=»y=\operatorname<arcctg>\, x» width=»» height=»» /> непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция   alt=»y=\operatorname<arcctg>\, x» width=»» height=»» /> является строго убывающей.</p> <ul> <li><img src=

    • \operatorname<arcctg>\,(\operatorname<ctg>\, y) = y» width=»» height=»» /> при <img loading=
    • D(\operatorname<arcctg>\, x) = (-\infty; \infty),» width=»» height=»» /></li> <li><img src=
    • \operatorname<arcctg>\, x = \left\ <\begin<matrix>\arcsin \frac<1><\sqrt<1+x^2>>,\qquad x \geqslant 0 \\\pi-\arcsin \frac<1><\sqrt<1+x^2>>,\qquad x \leqslant 0\end<matrix>\right.» width=»» height=»» /></li> </ul> <h4>Получение функции arcctg</h4> <p>Дана функция <img src=. На этом отрезке y=\operatorname<ctg>\, x» width=»» height=»» /> строго убывает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале <img loading=существует обратная функция y=\operatorname<arcctg>\, x» width=»» height=»» />, график которой симметричен графику <img src=относительно прямой y=x.График симметричен к арктангенсу

      Функция arcsec

      \mathop<\operatorname<arcsec>>\, (x)\, = \operatorname <arccos>\left( \frac<1><x>\right)\,» width=»» height=»» /></p> <h3>Функция arccosec</h3> <p><img src=
      (\arccos x)
      (\operatorname<arctg>\, x)» width=»» height=»» /> <br /><img src=

      Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например с помощью теоремы косинусов.

      В прямоугольном треугольнике, эти функции от отношений сторон сразу дают угол:

      α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctg (a/b) = arccosec (c/a) = arcsec (c/b) = arcctg (b/a)

      Связь с натуральным логарифмом

      Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

       \begin<align>\arcsin z & <>= -i \ln (iz+\sqrt<1-z^2>), \end <align>» width=»» height=»» /> <img src=

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.