7 студентов входят в аудиторию на экзамен по одному сколько у них есть способов это сделать
Перейти к содержимому

7 студентов входят в аудиторию на экзамен по одному сколько у них есть способов это сделать

13. Перестановки с повторениями

При перестановке букв в слове «толпа» получается P5 = 5! = 120 «слов». Если же переставлять буквы в слове «топот», то получится меньше различных «слов», потому что ни перестановка двух букв «т», ни перестановка двух букв «о» не изменяют «слова»; всего перестановок в данном случае будет . Мы имеем здесь дело с перестановками с повторениями.

Общую задачу сформулируем следующим образом.

Имеется n элементов k различных типов: n1 элементов первого типа, n2 элементов второго типа, …, nk элементов k-го типа, . Сколько можно составить различных перестановок из этих элементов?

Число перестановок c повторениями обозначают . Сколько же их? Если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы n!. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. В первой группе элементы (первого типа) можно переставлять друг с другом n1! способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то перестановки ничего не меняют. Точно также ничего не меняют n2! перестановок элементов во второй группе и т. д. Перестановки элементов в разных группах можно делать независимо друг от друга. Поэтому (из принципы умножения) элементы можно переставлять друг с другом способами так, что она остаётся неизменной.

Число различных перестановок с повторениями, которые можно составить из данных элементов, равно

, (11.1) где .

Замечание. Отметим, что формула числа сочетаний из n элементов по k элементов совпадает с формулой для числа перестановок с повторениями из k элементов одного типа и n–k элементов другого типа:

.

Пример 11.1. Сколькими способами можно нанизать на нить 4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?

Решение. Речь идет об отыскании числа перестановок с повторениями, которые можно сделать из k1=4 элементов первого типа (зеленых бус), k2=5 элементов второго типа (синих бус) и k3=6 элементов третьего типа (красных бус). По формуле (6) получаем

.

Пример 11.2. У мамы было 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых груши и 4 одинаковых апельсина. Каждый день она давала ребенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?

Решение. Данная задача есть задача на отыскание числа перестановок с повторениями:

.

Пример 11.3. Сколько различных браслетов можно сделать из пять одинаковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?

Решение. Камни можно переставлять P(5, 6, 7) способами. При циклических перестановках и при зеркальном отражении браслет остается неизменным. В результате получаем

.

Пример 11.4. Сколько способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы: а) три буквы «о» не стояли рядом? б) если запрещается, чтобы две буквы «о» стояли рядом?

Решение. а) Буквы данного слова можно переставлять P(3,1,1,1) способами. Если три буквы «о» стоят рядом, то их можно считать за одну букву. Тогда буквы можно переставлять 4! Способами. Вычитая этот результат из предыдущего, получим

.

Б) Сначала расставляем согласные (3! способов). Для трёх букв «о» остаётся 4 места, и их можно расставить способами. Всего получаем способа.

11.1. Сколькими способами можно расположить в ряд две зелёные и четыре красные лампочки?

Ответ: .

11.2. Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ: .

11.3. Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трёх бандеролях соответственно по два три, четыре книги в каждой бандероли?

Ответ: .

11.4. Группу командировочных из восьми человек требуется расселить в три комнаты, из которых две трёхместные и одна двухместная. Сколько вариантов расселения возможно?

Ответ: .

11.5. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в следующих исходных словах: а) академия, б) электротехника, в) молокопродукт?

Ответ: .

11.6. Сколькими способами можно разделить 12 предметов между тремя студентами, чтобы каждому досталось ровно по четыре предмета?

Ответ: .

11.7. Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти премии между 30 участниками олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?

Ответ: .

11.8. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?

Ответ: .

11.9. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

Ответ: Гласные можно переставлять P(2,1,1)=12 способами, Аналогично, P(2,1,1)=12 способами можно расставить согласные буквы. Если согласные уже расставлены, то для гласных останется 5 мест. Поэтому места для них можно выбрать способами. Всего способов.

Комбинаторика

Помощь по математике

Рассмотрим множество, состоящее из n различных элементов. Требуется выбрать из них какие-нибудь k элементов и расположить эти k элементов в каком-либо порядке. Такие упорядоченные последовательности называются размещениями из n элементов по k элементов (упорядоченные – следовательно, последовательности и — различные размещения).

Если в последовательности нет одинаковых элементов, то говорят о размещении без повторений. Их количество

Если в последовательности допускается наличие одинаковых элементов, то говорят о размещении с повторениями. Их количество

Любое подмножество (неупорядоченное), состоящее из k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.

Различные сочетания отличаются друг от друга только самими входящими в них элементами, порядок их следования безразличен, т.е. по условию задачи подмножества и не различны (соединены).

Число сочетаний без повторений

Число сочетаний с повторениями

Количество способов переставить элементов в заданном множестве (количество перестановок) вычисляется по формуле

При решении простейших комбинаторных задач можно использовать следующую таблицу, определяющую число множеств, состоящих из k элементов, отбираемых из множества, содержащего n элементов

Выбор Неупорядоченный Упорядоченный
Без повтора
С повтором

Рассмотрим разницу между сочетаниями, размещениями с повторениями, без повторений на следующих примерах.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.1 В коробке 6 шаров, пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются друг за другом 3 шара и в этом же порядке записывают полученные цифры. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?

Решение: По условию задачи подмножества и – различные. Повторов в подмножестве быть не может, так как шары не возвращаются в коробку.

ПРИМЕР 13.2.2. В коробке 6 шаров пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются 3 шара и записывают число в порядке возрастания цифр. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?

Решение: По условию задачи подмножества и дают число 123, т.е. не являются различными.

ПРИМЕР 13.2.3. Условие задачи 2.1 (шары возвращаются в коробку)

ПРИМЕР 13.2.4. Условие задачи 2.2 (шары возвращаются в коробку)

ПРИМЕР 13.2.5. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «комар»?

ПРИМЕР 13.2.6. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «задача»?

Решение: Если бы все шесть букв слова были различны, то число перестановок было бы 6! Но буква «а» встречается в данном слове три раза, и перестановки только этих трех букв «а» не дают новых способов расположения букв. Поэтому число перестановок букв слова «задача» будет не 6!, а в 3! раза меньше, то есть .

ПРИМЕР 13.2.7. В мастерской имеется материал 5 цветов. Поступил заказ на пошив флагов, состоящих из трех горизонтальных полос разного цвета каждый. Сколько таких различных флагов может сшить мастерская?

Решение: Флаги отличаются друг от друга как цветом полос, так и их порядком, поэтому разных флагов можно сделать штук.

ПРИМЕР 13.2.8. Сколькими способами можно распределить 5 учеников по 3 параллельным классам?

Решение: Составим вспомогательную таблицу

Таким образом, видно, что если для одного ученика существует 3 варианта выбора класса, то для всех 5 учеников существует способов распределения по классам.

ПРИМЕР 13.2.9. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй том не стояли рядом?

Решение: Произведем рассуждения “от обратного”. Тридцать томов на одной полке можно разместить 30! способами.

Если 1 и 2 тома должны стоять рядом, то число вариантов расстановки сокращается до , т.к. комбинацию из 1 и 2 тома можно считать за один том, но при этом они могут стоять как (1;2) или (2;1), т.е.

Тогда искомое число способов расстановки есть

ПРИМЕР 13.2.10. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга, т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой. Определить, какое количество встреч следует провести.

Решение: По условию задачи из 16 команд для каждой встречи требуется отобрать 2 команды. В данном случае отбор производится без повтора и порядок отбора не важен, т.е. число вариантов — . Так как команды должны играть дважды число вариантов удваивается, т.е. .

ПРИМЕР 13.2.11. Автомобильная мастерская имеет для окраски 10 основных цветов. Сколькими способами можно окрасить автомобиль, если смешивать от 3 до 7 основных цветов?

Решение: По условию задачи отбор цветов для окраски производится без повтора и порядок отбора не важен, т.е. число вариантов зависит лишь от числа отбираемых для окраски цветов — . Поэтому общее число вариантов есть

ПРИМЕР 13.2.12. Турист прошел маршрут из пункта A в пункт B, из B в C и вернулся обратно. Сколько вариантов маршрута существует, если из пункта A в пункт B ведут 3 дороги, а из B в C — 4 и нельзя возвращаться той дорогой, по которой уже прошел?

Решение: Составим схему.

Из рисунка видно, что вариантов маршрута из А в B существует 3, и из B в C – 4, т.е. всего маршрутов .

На обратном пути вариантов маршрута из С в B существует 3 (один уже пройден), и из B в А – 2, т.е. всего возможных обратных маршрутов осталось . Тогда всего вариантов маршрута .

ПРИМЕР 13.2.13. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда по 6 человек, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?

Решение: Рассуждения произведем несколькими способами

I способ) Первоначально 12 учеников разбивают на 2 группы по 6 человек. Это можно сделать способами.

Затем они могут распределиться по своим рядам согласно схеме

Поэтому всего способов распределения учеников будет .

II способ) Первоначально 12 учеников запускают в класс, указывая место, где каждый должен сидеть, например “второй ряд, третье место”. Так как посадочных мест также 12, то всего вариантов распределения 12!
Варианты контрольной работы могут распределиться

“I вариант – I ряд, II вариант – II ряд”

“II вариант – I ряд, I вариант – II ряд”,

Таким образом, всего способов распределения учеников будет .

По приведенным решениям видно, что результаты решений совпадают.

ПРИМЕР 13.2.14. Сколько существует вариантов расположения шести гостей за круглым шестиместным столом?

Решение: Эта задача имеет разные решения и, соответственно разные ответы – в зависимости от того, что понимать под различным расположением гостей за столом. Поэтому исследуем возможные варианты.

Если считать, что нам важно, кто сидит на каком стуле, то это простая задача на перестановки и, следовательно, всего вариантов .

Если же важно не то, кто какой стул занял, а то, кто рядом с кем сидит, то требуется рассмотреть варианты взаимного расположения гостей. В таком случае, расположения гостей, получаемые одно из другого при повороте гостей вокруг стола, фактически являются одинаковыми (смотри рисунок).

Очевидно, что для любого расположения гостей таких одинаковых вариантов, получаемых друг из друга поворотом, — шесть. Тогда общее число вариантов уменьшается в шесть раз и их остается .
В случае же, когда нас интересует только взаимное расположение гостей, то одинаковыми можно считать и такие симметричные расположения, при которых у каждого гостя остаются те же соседи за столом, только левый и правый меняются местами (смотри рисунок).

В такой постановке вопроса общее число различных вариантов расположений гостей уменьшается вдвое и составляет 60.

Отметим, что каждое решение будет считаться правильным при соответствующей постановке задачи.

ПРИМЕР 13.2.15. Семнадцать студентов сдали экзамены по 4 предметам только на “хорошо” и “отлично”. Верно ли утверждение, что хотя бы у двух из них оценки по экзаменационным предметам совпадают?

Решение: Очевидно, что в данном случае речь идет о возможных вариантах вида

Предмет 1 2 3 4
Студент 1 4 4 5 5
Студент 2 5 4 4 5
Студент 3 5 5 5 5
Студент 17 4 4 5 4

Данный пример можно решить способом, изложенным в примере 13.1.8., и получить количество вариантов . Приведем другой наглядный способ решения, использующий так называемое “дерево решений”,который представляет все варианты (16 штук) получения экзаменационных оценок.

По “дереву решений” видно, что 16 студентов могут сдать экзамены только на “хорошо” и “отлично” так, что их результаты будут отличаться, но если студентов 17, хотя бы одно повторение обязательно будет.

При решении задач комбинаторики используются следующие правила.

Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран nспособами, то:

Правило суммы: выбрать либо A, либо B можно m+n способами.

Правило произведения. Пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана способами.

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить комбинаторную задачу.

13.2.1.1. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, заместителя старосты и профорга?

13.2.1.2. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать актив группы, состоящий из старосты, заместителя старосты и профорга?

13.2.1.3. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

Отв.: 3628800

13.2.1.4. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

Отв.: 126126

13.2.1.5. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для кодировки каждой из букв: а) ровно 5 символов? б) не более пяти символов?

Отв.: а)32; б) 62

13.2.1.6. Кости для игры в домино метятся двумя цифрами. Кости симметричны, и поэтому порядок чисел не существенен. Сколько различных костей можно образовать, используя числа 0,1,2,3,4,5,6?

13.2.1.7. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти различных звуков?

Отв.: 9864000

13.2.1.8. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?

13.2.1.9. В некоторых странах номера трамвайных маршрутов обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?

13.2.1.10. Команда компьютера записывается в виде набора из восьми цифровых знаков – нулей и единиц. Каково максимальное количество различных команд?

13.2.1.11. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы 1 и 2 находились бы в соседних аудиториях?

Отв.: 725760

13.2.1.12. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

13.2.1.13. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?

13.2.1.14. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?

Отв.: 9000000

13.2.1.15. У одного студента есть 7 DVD дисков, а у другого – 9 дисков. Сколькими способами они могут обменять 3 диска одного на 3 диска другого?

Отв.: 105840

13.2.1.16. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может два раза подняться на гору и спуститься с нее, если по одной и той же дороге нельзя проходить дважды?

13.2.1.17. У ювелира было 9 разных драгоценных камней: сапфир, рубин, топаз и т.д. Ювелир планировал изготовить браслет для часов, однако три камня было украдено. Насколько меньше вариантов браслета он может изготовить по сравнению с первоначальными планами?

Отв.: 362160

13.2.1.18. В поезд метро на начальной станции вошли 10 пассажиров. Сколькими способами могут выйти все пассажиры на последующих 6 станциях?

Отв.: 60466176

13.2.1.19. За одним столом надо рассадить 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?

13.2.1.20. В классе 25 учеников. Верно ли утверждение, что, по крайней мере, у трех из них день рождения в один и тот же месяц?

13.2.1.21. На участке железной дороги расположено 25 станций с билетной кассой в каждой. Касса каждой станции продает билеты до любой другой станции, притом в обоих направлениях. Сколько различных вариантов билетов можно выдать на этом участке?

13.2.1.22. На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?

13.2.1.23. Сколько диагоналей у выпуклого двадцатиугольника?

Уважаемые студенты
На нашем сайте можно получить помощь по всем разделам математики и другим предметам:
✔ Решение задач
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Упр.759 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Изображение 759. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноместных.

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.