442 в какой четверти находится точка
Перейти к содержимому

442 в какой четверти находится точка

Определение четверти на координатной плоскости

Всем известна прямоугольная (декартова) система координат, в которой две перпендикулярные оси делят плоскость на четверти. В первую четверть попадают точки, у которых обе координаты ( x и y ) больше нуля. Во вторую: x < 0, y > 0; в третью: x < 0, y < 0; в четвертую: x > 0, y < 0.

Требуется написать программу, определяющую по координатам точки, в какой четверти она находится. Координаты точки вводятся с клавиатуры.

Решение

Для решения этой задачи уместно использовать условные операторы if-else вложенные друг в друга.

Программа на языке Паскаль (1 вариант):

Примеры выполнения программы:

Зачем использовать вложенные if-else, если без них программа будет выглядеть проще и работать также?

Второй вариант решения задачи на языке Pascal:

Дело в том, что во втором варианте программы поток выполнения будет проверять все ветки if , даже если будет уже известно, что точка принадлежит I или II четверти. Здесь каждая инструкция if никак не зависит от других. Другими словами, такая программа выполняет лишние бессмысленные действия.

В реальном программировании, чтобы избежать «лестницы», которую создают вложенные условные операторы, изменяют стиль написания кода: вложенный if поднимают к обрамляющему его else . С точки зрения компилятора программа ниже ничем не отличается от первого варианта. Она лишь лучше выглядит.

Единичная окружность — с примерами решения

На рисунке 2 изображены колебания маятника и показан график функции, описывающей смещение маятника от положения равновесия в зависимости от времени. Изучение процесса колебания маятника, а также многих других процессов в физике (механические, электромагнитные колебания, волны и т. д.) приводит к необходимости рассматривать тригонометрические функции действительного аргумента.

Единичная окружность - с примерами решения

Для изучения тригонометрических функций используется понятие единичной окружности.

Единичная окружность в тригонометрии

Единичную окружность называют также координатной окружностью. Единичная окружность - с примерами решения

Определение единичной окружности

Определение:

Окружность на координатной плоскости единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 3) называется единичной окружностью.

Для того чтобы задать координатную окружность, нужно указать:

  • начало отсчета — точку Единичная окружность - с примерами решения
  • направление движения точки по окружности (против часовой стрелки — положительное, а по часовой стрелке — отрицательное (рис. 4)). Единичная окружность - с примерами решения

Точки на окружности будем получать путем поворота точки Единичная окружность - с примерами решенияединичной окружности вокруг начала координат на заданный угол.

Точка Единичная окружность - с примерами решения(рис. 5) получена поворотом

  • точки Единичная окружность - с примерами решения(указывается, какая точка поворачивается)
  • вокруг начала координат (указывается центр поворота)
  • на угол Единичная окружность - с примерами решения(указывается, на какой угол выполняется поворот — угол поворота).

Таким образом, при повороте точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решенияв заданном направлении получается точка Единичная окружность - с примерами решенияединичной окружности.

Пример №1

Построить на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

Точку Единичная окружность - с примерами решенияполучаем поворотом против часовой стрелки точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения(рис. 6).

Единичная окружность - с примерами решения

Пример №2

Построить на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

Точку Единичная окружность - с примерами решенияполучаем поворотом по часовой стрелке точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения(рис. 7).

Пример №3

Построить на единичной окружности точку:

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

а) Так как поворот на Единичная окружность - с примерами решениясоответствует одному полному обороту, то необходимо выполнить поворот точки Единичная окружность - с примерами решенияпротив часовой стрелки на Единичная окружность - с примерами решения(полный оборот). Точка Единичная окружность - с примерами решениясовпадет с точкой Единичная окружность - с примерами решения(рис. 8, а).

Единичная окружность - с примерами решения

б) Так как Единичная окружность - с примерами решениято необходимо выполнить один полный оборот и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат против часовой стрелки на угол Единичная окружность - с примерами решения(рис. 8, б).

в) Так как Единичная окружность - с примерами решениято необходимо выполнить два полных оборота и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат против часовой стрелки на угол Единичная окружность - с примерами решения(рис. 8, в).

Пример №4

Построить на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

Так как Единичная окружность - с примерами решениято необходимо выполнить три полных оборота и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат по часовой стрелке на угол Единичная окружность - с примерами решения(рис. 9).

Единичная окружность - с примерами решения

Радианное измерение углов

По формуле длины окружности Единичная окружность - с примерами решенияполучим, что длина единичной окружности Единичная окружность - с примерами решенияравна Единичная окружность - с примерами решения

На единичной окружности (рис. 10) легко отметить точки Единичная окружность - с примерами решениясоответствующие углам поворота Единичная окружность - с примерами решения(четверть окружности), Единичная окружность - с примерами решения(половина окружности), Единичная окружность - с примерами решения(три четверти окружности), Единичная окружность - с примерами решения(вся окружность).

Числа Единичная окружность - с примерами решения— это радианная мера углов, градусная мера которых соответственно равна Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Угол в 1 радиан (от лат. radius — луч, радиус) — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

На рисунке 11 отмечена точка единичной окружности, соответствующая углу в 1 радиан. Длина дуги единичной окружности, соответствующей углу в 1 радиан, равна 1.

Так как Единичная окружность - с примерами решениярадиан соответствует Единичная окружность - с примерами решениято градусная мера угла в 1 радиан равна:

Единичная окружность - с примерами решения

Сокращенное обозначение радиана «рад» чаще всего опускают.

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Чтобы выразить радианную меру угла Единичная окружность - с примерами решенияв градусной, число Единичная окружность - с примерами решенияумножить на Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

На рисунке 12 показано соответствие между градусной и радианной мерой некоторых углов.

Пример №5

Построить на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

Точку Единичная окружность - с примерами решенияполучаем поворотом против часовой стрелки точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения(рис. 13).

Единичная окружность - с примерами решения

В зависимости от того, в какую четверть координатной плоскости попадает точка Единичная окружность - с примерами решенияговорят, что в такой же четверти находится угол Единичная окружность - с примерами решения

Например, углы Единичная окружность - с примерами решениянаходятся в первой четверти, углы Единичная окружность - с примерами решенияи Единичная окружность - с примерами решениянаходятся во второй четверти, углы Единичная окружность - с примерами решениянаходятся в третьей четверти, а угол Единичная окружность - с примерами решениянаходится в четвертой четверти (рис. 14).

Углы Единичная окружность - с примерами решениясоответствуют границам четвертей.

Пример №6

Определите, в какой четверти находится угол 3 рад.

Решение:

Единичная окружность - с примерами решенияТак как Единичная окружность - с примерами решениято данный угол находится во второй четверти.

Примеры заданий и их решения

Пример №7

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат на угол:

Единичная окружность - с примерами решения

Решение.

а) Точку Единичная окружность - с примерами решенияполучаем поворотом против часовой стрелки точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения(рис. 15, а).

б) Точку Единичная окружность - с примерами решенияполучаем поворотом по часовой стрелке точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения(см. рис. 15, а).

в) Точку Единичная окружность - с примерами решенияполучаем поворотом по часовой стрелке точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат на угол 90° (рис. 15, б).

Единичная окружность - с примерами решения

г) Точку Единичная окружность - с примерами решенияполучаем поворотом против часовой стрелки точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения(см. рис. 15, б).

Пример №8

Покажите, что точки:

Единичная окружность - с примерами решения— единичной окружности совпадают.

Решение:

а) Поскольку Единичная окружность - с примерами решениято, для того чтобы получить точку Единичная окружность - с примерами решениянужно выполнить один полный оборот и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат против часовой стрелки на угол Единичная окружность - с примерами решения(рис. 16, а).

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Пример №9

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат на угол:

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

а) Так как Единичная окружность - с примерами решениято выполним один полный оборот и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат против часовой стрелки на угол Единичная окружность - с примерами решения(рис. 17, а).

б) Так как Единичная окружность - с примерами решениято выполним три полных оборота и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат по часовой стрелке на угол Единичная окружность - с примерами решения(рис. 17, б).

Пример №10

Запишите все углы Единичная окружность - с примерами решениядля которых точка Единичная окружность - с примерами решениясовпадает с точкой:

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решенияТак как, например, Единичная окружность - с примерами решенияи т. п., то точки единичной окружности Единичная окружность - с примерами решениясовпадают с точкой Единичная окружность - с примерами решенияединичной окружности. Очевидно, что существует бесконечно много углов Единичная окружность - с примерами решениядля которых точки единичной окружности Единичная окружность - с примерами решениясовпадают. Эти углы могут быть получены в результате поворота точки Единичная окружность - с примерами решенияна целое число полных оборотов по или против часовой стрелки (рис. 18), таким образом, Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Пример №11

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат на угол:

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

а) Так как Единичная окружность - с примерами решениято выполним поворот точки Единичная окружность - с примерами решениявокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения(рис. 19, а).

б) Поскольку Единичная окружность - с примерами решениято точка Единичная окружность - с примерами решениясовпадает с точкой Единичная окружность - с примерами решения(рис. 19, б).

Единичная окружность - с примерами решения

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Упражнения РЕШИТЬ АНАЛОГИЧНО

В курсе геометрии были введены синус, косинус и тангенс угла, выраженного в градусах. Этот угол рассматривался в промежутке от 0° до 180°. Синус и косинус произвольного угла определяются сле­дующим образом (рис. 1 ):

Определение 1. Синусом углаα называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол аα (обозна­чается sin α.

Определение 2. Косинусом угла α называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α (обозна­чается cos α).

Например, при повороте точки (1; 0) на угол π/2 т. е. угол 90°, получается точка (0; 1). Ордината точки (0; 1) равна 1, поэтому sin( π/2) = si n 90° = 1;

абсцисса этой точки равна 0, поэтому cos ( π/2) = cos 90° = 0.

Знаки синуса и косинуса.

Пусть точка (1; 0) движется по единичной окруж­ности против часовой стрелки. Для точек, нахо­дящихся в первой четверти (квадранте), ординаты и абсциссы положительны. Поэтому sin α > 0 и cos α > 0, если 0 < α < π/2 (рис. 2, 3).

Для точек, расположенных во второй четверти, ординаты положительны, а абсциссы отрица­тельны. Следовательно, sin α > 0, cos α < 0, если π/2 < α < π (рис. 2, 3). Аналогично в третьей чет­верти sin α. < 0, cos α < 0, а в четвертой четвер­ти sin α < 0, cos α > 0 (рис. 2, 3). При дальней­шем движении точки по окружности знаки синуса и косинуса определяются тем, в какой четверти окажется точка.

Если точка (1; 0) движется по часовой стрелке, то знаки синуса и косинуса также определяются тем, в какой четверти окажется точка; это показано на рисунках

Задача ПРИМЕР РЕШЕНИЯ

Выяснить знаки синуса и косинуса угла: 1)3π/4 2) 745°; 3) — 5π/7

1) Углу 3π/4 соответствует точка единичной окружности, расположенная во второй четверти. Поэтому sin3π/4 > 0, cos3π/4 < 0.

2) Так как 745° — 2 • 360° + 25°, то повороту точки (1; 0) на угол 745° соответствует точка, расположенная в первой четверти. Поэтому sin 745° >0, cos 745° > 0.

3) Так как – π< — 5π/7 < — π/2то при повороте точки (1; 0) на угол — 5π/7получается точка третьей четверти. Поэтому sin(— 5π/7) < 0, cos(— 5π/7) < 0.

Упражнения РЕШИТЬ АНАЛОГИЧНО

В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки Р (1; 0) на угол α, Выяснить знаки синуса и косинуса угла:

Построение графика y = sin(x)и y = cos(x)


Каждый должен уметь строить синусоиду и косинусоиду

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.