Определение четверти на координатной плоскости
Всем известна прямоугольная (декартова) система координат, в которой две перпендикулярные оси делят плоскость на четверти. В первую четверть попадают точки, у которых обе координаты ( x и y ) больше нуля. Во вторую: x < 0, y > 0; в третью: x < 0, y < 0; в четвертую: x > 0, y < 0.
Требуется написать программу, определяющую по координатам точки, в какой четверти она находится. Координаты точки вводятся с клавиатуры.
Решение
Для решения этой задачи уместно использовать условные операторы if-else вложенные друг в друга.
Программа на языке Паскаль (1 вариант):
Примеры выполнения программы:
Зачем использовать вложенные if-else, если без них программа будет выглядеть проще и работать также?
Второй вариант решения задачи на языке Pascal:
Дело в том, что во втором варианте программы поток выполнения будет проверять все ветки if , даже если будет уже известно, что точка принадлежит I или II четверти. Здесь каждая инструкция if никак не зависит от других. Другими словами, такая программа выполняет лишние бессмысленные действия.
В реальном программировании, чтобы избежать «лестницы», которую создают вложенные условные операторы, изменяют стиль написания кода: вложенный if поднимают к обрамляющему его else . С точки зрения компилятора программа ниже ничем не отличается от первого варианта. Она лишь лучше выглядит.
Единичная окружность — с примерами решения
На рисунке 2 изображены колебания маятника и показан график функции, описывающей смещение маятника от положения равновесия в зависимости от времени. Изучение процесса колебания маятника, а также многих других процессов в физике (механические, электромагнитные колебания, волны и т. д.) приводит к необходимости рассматривать тригонометрические функции действительного аргумента.
Для изучения тригонометрических функций используется понятие единичной окружности.
Единичная окружность в тригонометрии
Единичную окружность называют также координатной окружностью. 
Определение единичной окружности
Определение:
Окружность на координатной плоскости единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 3) называется единичной окружностью.
Для того чтобы задать координатную окружность, нужно указать:
- начало отсчета — точку
- направление движения точки по окружности (против часовой стрелки — положительное, а по часовой стрелке — отрицательное (рис. 4)).
Точки на окружности будем получать путем поворота точки 
единичной окружности вокруг начала координат на заданный угол.
Точка 
(рис. 5) получена поворотом
- точки
(указывается, какая точка поворачивается) - вокруг начала координат (указывается центр поворота)
- на угол
(указывается, на какой угол выполняется поворот — угол поворота).
Таким образом, при повороте точки 
вокруг начала координат на угол 
в заданном направлении получается точка 
единичной окружности.
Пример №1
Построить на единичной окружности точку 
Решение:
Точку 
получаем поворотом против часовой стрелки точки 
вокруг начала координат на угол 
(рис. 6).
Пример №2
Построить на единичной окружности точку 
Решение:
Точку 
получаем поворотом по часовой стрелке точки 
вокруг начала координат на угол 
(рис. 7).
Пример №3
Построить на единичной окружности точку:
Решение:
а) Так как поворот на 
соответствует одному полному обороту, то необходимо выполнить поворот точки 
против часовой стрелки на 
(полный оборот). Точка 
совпадет с точкой 
(рис. 8, а).
б) Так как 
то необходимо выполнить один полный оборот и еще поворот точки 
вокруг начала координат против часовой стрелки на угол 
(рис. 8, б).
в) Так как 
то необходимо выполнить два полных оборота и еще поворот точки 
вокруг начала координат против часовой стрелки на угол 
(рис. 8, в).
Пример №4
Построить на единичной окружности точку 
Решение:
Так как 
то необходимо выполнить три полных оборота и еще поворот точки 
вокруг начала координат по часовой стрелке на угол 
(рис. 9).
Радианное измерение углов
По формуле длины окружности 
получим, что длина единичной окружности 
равна 
На единичной окружности (рис. 10) легко отметить точки 
соответствующие углам поворота 
(четверть окружности), 
(половина окружности), 
(три четверти окружности), 
(вся окружность).
Числа 
— это радианная мера углов, градусная мера которых соответственно равна 
Угол в 1 радиан (от лат. radius — луч, радиус) — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.
На рисунке 11 отмечена точка единичной окружности, соответствующая углу в 1 радиан. Длина дуги единичной окружности, соответствующей углу в 1 радиан, равна 1.
Так как 
радиан соответствует 
то градусная мера угла в 1 радиан равна:
Сокращенное обозначение радиана «рад» чаще всего опускают.
Чтобы выразить радианную меру угла 
в градусной, число 
умножить на 
На рисунке 12 показано соответствие между градусной и радианной мерой некоторых углов.
Пример №5
Построить на единичной окружности точку 
Решение:
Точку 
получаем поворотом против часовой стрелки точки 
вокруг начала координат на угол 
(рис. 13).
В зависимости от того, в какую четверть координатной плоскости попадает точка 
говорят, что в такой же четверти находится угол 
Например, углы 
находятся в первой четверти, углы 
и 
находятся во второй четверти, углы 
находятся в третьей четверти, а угол 
находится в четвертой четверти (рис. 14).
Углы 
соответствуют границам четвертей.
Пример №6
Определите, в какой четверти находится угол 3 рад.
Решение:
Так как 
то данный угол находится во второй четверти.
Примеры заданий и их решения
Пример №7
На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки 
вокруг начала координат на угол:
Решение.
а) Точку 
получаем поворотом против часовой стрелки точки 
вокруг начала координат на угол 
(рис. 15, а).
б) Точку 
получаем поворотом по часовой стрелке точки 
вокруг начала координат на угол 
(см. рис. 15, а).
в) Точку 
получаем поворотом по часовой стрелке точки 
вокруг начала координат на угол 90° (рис. 15, б).
г) Точку 
получаем поворотом против часовой стрелки точки 
вокруг начала координат на угол 
(см. рис. 15, б).
Пример №8
Покажите, что точки:
— единичной окружности совпадают.
Решение:
а) Поскольку 
то, для того чтобы получить точку 
нужно выполнить один полный оборот и еще поворот точки 
вокруг начала координат против часовой стрелки на угол 
(рис. 16, а).
Пример №9
На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки 
вокруг начала координат на угол:
Решение:
а) Так как 
то выполним один полный оборот и еще поворот точки 
вокруг начала координат против часовой стрелки на угол 
(рис. 17, а).
б) Так как 
то выполним три полных оборота и еще поворот точки 
вокруг начала координат по часовой стрелке на угол 
(рис. 17, б).
Пример №10
Запишите все углы 
для которых точка 
совпадает с точкой:
Решение:
а) Отметим на единичной окружности точку 
Так как, например, 
и т. п., то точки единичной окружности 
совпадают с точкой 
единичной окружности. Очевидно, что существует бесконечно много углов 
для которых точки единичной окружности 
совпадают. Эти углы могут быть получены в результате поворота точки 
на целое число полных оборотов по или против часовой стрелки (рис. 18), таким образом, 
Пример №11
На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки 
вокруг начала координат на угол:
Решение:
а) Так как 
то выполним поворот точки 
вокруг начала координат на угол 
(рис. 19, а).
б) Поскольку 
то точка 
совпадает с точкой 
(рис. 19, б).
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Упражнения РЕШИТЬ АНАЛОГИЧНО
В курсе геометрии были введены синус, косинус и тангенс угла, выраженного в градусах. Этот угол рассматривался в промежутке от 0° до 180°. Синус и косинус произвольного угла определяются следующим образом (рис. 1 ):
Определение 1. Синусом углаα называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол аα (обозначается sin α.
Определение 2. Косинусом угла α называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α (обозначается cos α).
Например, при повороте точки (1; 0) на угол π/2 т. е. угол 90°, получается точка (0; 1). Ордината точки (0; 1) равна 1, поэтому sin( π/2) = si n 90° = 1;
абсцисса этой точки равна 0, поэтому cos ( π/2) = cos 90° = 0.
Знаки синуса и косинуса.
Пусть точка (1; 0) движется по единичной окружности против часовой стрелки. Для точек, находящихся в первой четверти (квадранте), ординаты и абсциссы положительны. Поэтому sin α > 0 и cos α > 0, если 0 < α < π/2 (рис. 2, 3).
Для точек, расположенных во второй четверти, ординаты положительны, а абсциссы отрицательны. Следовательно, sin α > 0, cos α < 0, если π/2 < α < π (рис. 2, 3). Аналогично в третьей четверти sin α. < 0, cos α < 0, а в четвертой четверти sin α < 0, cos α > 0 (рис. 2, 3). При дальнейшем движении точки по окружности знаки синуса и косинуса определяются тем, в какой четверти окажется точка.
Если точка (1; 0) движется по часовой стрелке, то знаки синуса и косинуса также определяются тем, в какой четверти окажется точка; это показано на рисунках
Задача ПРИМЕР РЕШЕНИЯ
Выяснить знаки синуса и косинуса угла: 1)3π/4 2) 745°; 3) — 5π/7
1) Углу 3π/4 соответствует точка единичной окружности, расположенная во второй четверти. Поэтому sin3π/4 > 0, cos3π/4 < 0.
2) Так как 745° — 2 • 360° + 25°, то повороту точки (1; 0) на угол 745° соответствует точка, расположенная в первой четверти. Поэтому sin 745° >0, cos 745° > 0.
3) Так как – π< — 5π/7 < — π/2то при повороте точки (1; 0) на угол — 5π/7получается точка третьей четверти. Поэтому sin(— 5π/7) < 0, cos(— 5π/7) < 0.
Упражнения РЕШИТЬ АНАЛОГИЧНО
В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки Р (1; 0) на угол α, Выяснить знаки синуса и косинуса угла:
 |
Построение графика y = sin(x)и y = cos(x)
Каждый должен уметь строить синусоиду и косинусоиду