2sint как разложить
Перейти к содержимому

2sint как разложить

Как разложить sin2x и cos2x?

Для такого действия применимы формулы "двойного аргумента", — синус двойного угла и косинус двойного угла.

Эти основные формулы нужно просто запомнить.

Ну или держать под рукой справочник, если на память не полагаетесь.

Для большей наглядности и убедительности предлагаю рассмотреть парочку примеров под руководством учителя математики.

Урок на ЮТУБе — это выход, если на уроке в школе вы что-то недопоняли или просто пропустили.

Разложить sin2x и cos2x можно, применив множество синуса двойного угла и распределительный закон.

Если вы забыли, то это тригонометрические тождества — изучается в 9 и 10 классе.

Формулы для разложения следующие:

Если вы хотите разложить sin2x и при этом осуществить расчет в котором будет как закон, который является распределительным, так и множественность синуса двойного угла, то должна применяться вот такая вот формула — "sin(2x)=2*sin(x)*co­ s(x)".

Для cos2x, при тех же принципах расчета, формула за счет которой можно его рассчитать является немного другой и в частности она выглядит вот так — "cos2x=cos^2(x)-sin^2(x)=2*cos^2(x)-1=1-2*sin^2(x)".

Тригонометрические уравнения. Как решать тригонометрические уравнения?

Если проще: это уравнения, в которых неизвестные (иксы) или выражения с ними находятся внутри синусов , косинусов , тангенсов и котангенсов .

Как решать тригонометрические уравнения:

Любое тригонометрическое уравнение нужно стремиться свести к одному из видов:

где \(t\) – выражение с иксом, \(a\) – число. Такие тригонометрические уравнения называются простейшими. Их легко решать с помощью числовой окружности ( тригонометрического круга ) или специальных формул:

\(\sin ⁡x=a\) \(⇔\) \( \left[ \beginx=\arcsin a+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin a+2πl, l∈Z\end\right.\)
если \(a∈[-1;1]\)

Инфографику о решении простейших тригонометрических уравнений смотри здесь: \(sinx=a\) , \(cosx=a\) , \(tgx=a\) и \(ctgx=a\) .

sin x=-0,5

Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого:
1) Построим оси.
2) Построим окружность.
3) На оси синусов (оси \(y\)) отметим точку \(-\) \(\frac<1><2>\) .
4) Проведем перпендикуляр к оси синусов через эту точку.
5) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
6)Подпишем значения этих точек: \(-\) \(\frac<π><6>\) ,\(-\) \(\frac<5π><6>\) .
7) Запишем все значения соответствующие этим точкам с помощью формулы \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=-\) \(\frac<π><6>\) \(+2πk\), \(k∈Z\); \(x=-\) \(\frac<5π><6>\) \(+2πn\), \(n∈Z\)

Что означает каждый символ в формуле корней тригонометрических уравнений смотри в видео .

Внимание! Уравнения \(\sin⁡x=a\) и \(\cos⁡x=a\) не имеют решений, если \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Потому что синус и косинус при любых икс больше или равны \(-1\) и меньше или равны \(1\):

Пример. Решить уравнение \(\cos⁡x=-1,1\).
Решение: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Ответ: решений нет.

tg x=1

Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого:
1) Построим окружность)
2) Построим оси \(x\) и \(y\) и ось тангенсов (она проходит через точку \((0;1)\) параллельно оси \(y\)).
3) На оси тангенсов отметим точку \(1\).
4) Соединим эту точку и начало координат — прямой.
5) Отметим точки пересечения этой прямой и числовой окружности.
6)Подпишем значения этих точек: \(\frac<π><4>\) , \(\frac<5π><4>\)
7) Запишем все значения этих точек. Так как они находятся друг от друга на расстоянии ровно в \(π\), то все значения можно записать одной формулой:

cosx=0

Опять воспользуемся числовой окружностью.
1) Построим окружность, оси \(x\) и \(y\).
2) На оси косинусов (ось \(x\)) отметим \(0\).
3) Проведем перпендикуляр к оси косинусов через эту точку.
4) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
5) Подпишем значения этих точек: \(-\) \(\frac<π><2>\),\(\frac<π><2>\) .
6)Выпишем все значение этих точек и приравняем их к аргументу косинуса (к тому что внутри косинуса).

7) Дальше решать в таком виде несколько трудновато, разобьем уравнение на два.

8) Как обычно в уравнениях будем выражать \(x\).
Не забывайте относиться к числам с \(π\), так же к \(1\), \(2\), \(\frac<1><4>\) и т.п. Это такие же числа, как и все остальные. Никакой числовой дискриминации!

Сводить тригонометрические уравнения к простейшим – задача творческая, тут нужно использовать и тригонометрические формулы , и особые методы решений уравнений:
— Метод введения новой переменной (самый популярный в ЕГЭ).
— Метод разложения на множители .
— Метод вспомогательных аргументов.

Рассмотрим пример решения квадратно-тригонометрического уравнения

Сделаем замену \(t=\cos⁡x\).

Наше уравнение превратилось в типичное квадратное . Можно его решить с помощью дискриминанта .

\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)

Делаем обратную замену.

Первое уравнение решаем с помощью числовой окружности.
Второе уравнение не имеет решений т.к. \(\cos⁡x∈[-1;1]\) и двум быть равен не может ни при каких иксах.

Запишем все числа, лежащие на числовой окружности в этих точках.

Пример решения тригонометрического уравнения с исследованием ОДЗ:

Есть дробь и есть котангенс – значит надо записать ОДЗ . Напомню, что котангенс это фактически дробь:

Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg

Основные формулы тригонометрии — это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin — α + 2 π z = — sin α , cos — α + 2 π z = cos α t g — α + 2 π z = — t g α , c t g — α + 2 π z = — c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = — sin α t g π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = — t g α sin π 2 — α + 2 π z = cos α , cos π 2 — α + 2 π z = sin α t g π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 — α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = — sin α , cos π + α + 2 π z = — cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π — α + 2 π z = sin α , cos π — α + 2 π z = — cos α t g π — α + 2 π z = — t g α , c t g π — α + 2 π z = — c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = — t g α sin 3 π 2 — α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 — α + 2 π z = — sin α t g 3 π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 — α + 2 π z = t g α

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β — sin α · sin β cos α — β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = — 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α — 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α с t g 2 α = с t g 2 α — 1 2 · с t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α — sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α — 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α — 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = — 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α — t g 3 α 1 — 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α — 3 c t g α 3 c t g 2 α — 1

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

sin 2 α 2 = 1 — cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 — cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 — cos α

Формулы понижения степени

sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α — sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 — 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n 2 — 1 ( — 1 ) n 2 — k · C k n · cos ( ( n — 2 k ) α ) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n 2 — 1 C k n · cos ( ( n — 2 k ) α )

sin n α = 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n — 1 2 ( — 1 ) n — 1 2 — k · C k n · sin ( ( n — 2 k ) α ) cos n α = 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n — 1 2 C k n · cos ( ( n — 2 k ) α )

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α — β 2 sin α — sin β = 2 sin α — β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α — β 2 cos α — cos β = — 2 sin α + β 2 · sin α — β 2 , cos α — cos β = 2 sin α + β 2 · sin β — α 2

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход — от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

sin α · sin β = 1 2 · ( cos ( α — β ) — cos ( α + β ) ) cos α · cos β = 1 2 · ( cos ( α — β ) + cos ( α + β ) ) sin α · cos β = 1 2 · ( sin ( α — β ) + sin ( α + β ) )

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс и котангенс, — могут быть выражены через тангенс половинного угла.

Универсальная тригонометрическая подстановка

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 — t g 2 α 2 c t g α = 1 — t g 2 α 2 2 t g α 2

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.