2кп что значит в алгебре
Перейти к содержимому

2кп что значит в алгебре

Группы, кольца, поля в математике

3) для каждого элемента коммутативной , или абелевой . В противном случае группа называется некоммутативной .

Относительно операции сложения группами являются множества . Относительно операции умножения группами являются множества и отличных от нуля рациональных и действительных чисел, поскольку для нуля не существует обратного элемента. Все эти группы коммутативные.

В группах по сложению нейтральный элемент называют нулевым (или просто нулем), а обратный элемент . В группах по умножению нейтральный элемент называют единичным (или просто единицей) и обозначают

Пример В.4. Доказать, что множество , состоящее из одного числа нуль, образует коммутативную группу по сложению.

Решение. Действительно, операция сложения определена на указанном множестве, так как . Следовательно, все (три) условия в определении группы выполняются. Учитывая коммутативность сложения, заключаем, что рассматриваемое множество — коммутативная группа.

Пример В.5. Доказать, что множество , состоящее из двух чисел, образует коммутативную группу по умножению.

Решение. Действительно, операция умножения определена на указанном множестве, так как

Следовательно, произведение элементов есть элемент того же множества. Ассоциативность умножения очевидна. Из равенств (В.1) следует, что существует единичный элемент . Таким образом, все (три) условия в определении группы выполняются. Из (В.1) следует, что умножение коммутативно, поэтому данная группа коммутативная.

Кольцо

Множество и умножение , называется кольцом , если выполняются следующие условия:

1) относительно операции сложения множество ;

б) операция сложения ассоциативна: ;

в) существует нулевой элемент существует противоположный ему элемент ;

2) операция умножения в множестве

3) операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:

Если операция умножения коммутативна: коммутативным , в противном случае кольцо называется некоммутативным . Если для операции умножения существует единичный элемент кольцо с единицей .

Кольцами являются множества целых, рациональных, действительных чисел, причем все они — коммутативные кольца с единицей. Примеры других колец, в том числе и некоммутативных, встретятся в дальнейшем. Как видим, кольцо — это множество, в котором определены три операции: сложение, умножение и вычитание.

Рассмотрим подробнее законы дистрибутивности. Пусть на множестве дистрибутивной слева относительно операции из

и дистрибутивной справа относительно операции из

В этом случае говорят, что операция дистрибутивна относительно операции

Пример В.6. Рассмотрим множество положительных действительных чисел. На этом множестве определим две операции: умножения и возведения в положительную степень . Доказать, что операция Решение. В самом деле, для любых положительных действительных чисел справедливы равенства

Пример В.7. Доказать, что множество чисел вида, где — целые числа, является кольцом:

Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.2) имеют тоже самое представление:

Числа , очевидно, целые для любых целых . Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности не нуждаются в проверке, так как речь идет о сложении и умножении действительных чисел. Нулевым элементом служит число l противоположным элементом является число , так как

Таким образом, рассматриваемое множество удовлетворяет всем условиям определения кольца.

Поле: определение и примеры полей

Множество и умножение , называется полем, если выполняются следующие условия:

2) для каждого элемента , отличного от нулевого , существует обратный элемент поле — это множество, в котором определены четыре операции: сложение, умножение, вычитание и деление. Полями, например, являются множества рациональных и действительных чисел.

Пример В.8. На множестве трех целых чисел определим две операции:

1) "сложение по модулю 3" — остаток от деления суммы на 3 (обозначим через );

2) "умножение по модулю 3" — остаток от деления произведения ).

Доказать, что множество является полем относительно введенных операций.

Решение. В этом примере остаток от деления целого числа . Напомним простые свойства деления целых чисел с остатком:

– остаток от деления на 3 суммы не изменится, если слагаемое (или не сколько слагаемых) заменить его остатком при делении на 3:

– остаток от деления на 3 произведения не изменится, если множитель (или несколько множителей) заменить его остатком при делении на 3:

Рассматриваемые в примере операции "сложения по модулю 3" и "умножения по модулю 3" можно представить в виде

а указанные свойства остатков записать так и определены на . Составим таблицы "сложения по модулю 3" и "умножения по модулю 3" (рис.В.2). Как видим, результаты этих операций принадлежат . Следовательно, операции действительно определены на .

Таблица "сложения по модулю" . Таблица "умножения по модулю" .

Покажем, что множество является коммутативным кольцом с единицей. В самом деле, операция "сложения по модулю 3" коммутативна и ассоциативна. Это следует из коммутативности и ассоциативности сложения чисел. Действительно, из равенства

Коммутативность доказана. Заметим, впрочем, что коммутативность "сложения по модулю 3" видна непосредственно по таблице (см. рис.В.2): слагаемые следует, что

Ассоциативность "сложения по модулю 3" доказана.

Нулевым элементом служит число 0. По таблице "сложения по модулю 3" определяем, что для каждого элемента имеется противоположный элемент . Действительно, по таблице "сложения по модулю 3" получаем

Итак, множество относительно операции "сложения по модулю 3" является коммутативной группой.

Операция "умножение по модулю 3" ассоциативна и коммутативна, что следует из ассоциативности и коммутативности умножения целых чисел, а также свойств остатков:

Следовательно, операция "умножения по модулю 3" дистрибутивна слева относительно операции "сложения по модулю 3". Дистрибутивность справа можно не проверять, так как обе операции коммутативны.

Единичным элементом служит число 1 (что видно по таблице "умножения по модулю 3"). Следовательно, — коммутативное кольцо с единицей.

Осталось показать существование обратных элементов. Для любого , отличного от нуля, существует обратный элемент с введенными операциями является полем.

Замечание В.2. Можно доказать, что числовое множество с операциями "сложения по модулю " и "умножения по модулю " является полем для любого простого числа .

Пример В.9. Доказать, что множество чисел вида, где и — рациональные числа, является полем:

Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.З) имеют тоже самое представление:

Числа очевидно, рациональные для любых рациональных . Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности не нуждаются в проверке, так как речь идет о сложении и умножении действительных чисел. Нулевым элементом служит число противоположным элементом является число , так как

Единичным элементом служит число . В самом деле, для любого числа имеет место равенство:

Таким образом, рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей . Осталось показать, что любое число , отличное от нулевого элемента

определим обратный элемент равенством . Тогда

Заметим, что знаменатель отличен от нуля для любых рациональных чисел и , не равных нулю одновременно. Действительно, равенство равносильно равенству , а это означает, что , т.е. обратный элемент существует для любого .

Так как рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей и каждый элемент, отличный от нуля, имеет обратный, то оно является полем.

Отношение чисел

Прежде чем обсуждать пропорции необходимо разобраться, что такое отношение двух чисел.

Если вам знакомо понятие отношение чисел, можете смело переходить к теме пропорции.

Что называют отношением двух чисел

Запомните! !

Отношение двух чисел — это их частное.

  • Отношение 75 к 25 можно записать в виде: отношение чисел
  • Отношение 3 к 6 можно записать в виде: что такое отношение чисел

Отношение двух чисел показывает:

  • во сколько раз одно число больше другого;
  • какую часть одно число составляет от другого.

Покажем на примере, где используется понятие отношение двух чисел.

В городе Липецк проводятся соревнования на велосипедах. В прошлом году участников было 15 . В этом году — 75 . Во сколько раз увеличилось количество участников в этом году по сравнению с предыдущим годом ?

Прежде чем решать задачу, подчёркиваем важные данные. Запишем отношение количества участников в этом году к количеству участников в предыдущем.

Запомните! !

При записи отношения двух чисел в знаменатель дроби (вниз) записывается то число, с которым сравнивают.
Обычно это число идёт после слов « по сравнению с … » или предлога « к … ».

что называется отношением чисел

Запомните! !

Если умножить или разделить оба члена отношения на одно и то же число, неравное нулю, то получится отношение, равное данному.

При внимательном изучении правила выше, можно подметить, что правило записанное выше, есть нечто иное как основное свойство дроби, по которому мы их легко сокращаем.

Таблица математических символов

В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeXе, объяснения и примеры использования.

Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, A \subset Bобозначает то же, что и B \supset A.

Знаки операций или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.

К самым распространённым относятся:

    : + : −
  • Знаки умножения: ×, ∙ (в программировании также *)
  • Знаки деления: :, ∕, ÷ , приближённого равенства, неравенства: =, ≈, ≠ (для определения порядка операций и др.): (), [], , <>
  • Знак тождественности: ≡ : <, >, ≤, ≥, ≪, ≫
  • Знак порядка (тильда):

\rightarrow \!\,

:\Leftrightarrow

См. также

Литература

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. Изд. АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.

Ссылки

  • Арифметические знаки // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
  • Математические знаки
  • Типографские знаки
  • Математические обозначения
  • Списки:Математика

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Таблица математических символов» в других словарях:

Таблица обозначений абстрактной алгебры — В абстрактной алгебре повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста, а также стандартные обозначения для некоторых групп. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся алгебраических обозначений, соответствующие команды в … Википедия

История математических обозначений — Математические обозначения  это символы, используемые для компактной записи математических уравнений и формул[1]. Помимо цифр и букв различных алфавитов (латинского, в том числе в готическом начертании, греческого и еврейского),… … Википедия

Список математических аббревиатур — Статья содержит список общеупотребительных аббревиатур математических функций, операторов и др. математических терминов. Содержание 1 Аббревиатуры 1.1 Латиница 1.2 Греческий алфавит … Википедия

Набор символов Юникод — Юникод, или Уникод (англ. Unicode) стандарт кодирования символов, позволяющий представить знаки практически всех письменных языков. Стандарт предложен в 1991 году некоммерческой организацией «Консорциум Юникода» (англ. Unicode Consortium,… … Википедия

Математические обозначения — Список используемых в математике специфических символов можно увидеть в статье Таблица математических символов Математические обозначения («язык математики»)  сложная графическая система обозначений, служащая для изложения абстрактных… … Википедия

Знак плюс-минус — У этого термина существуют и другие значения, см. Плюс минус (значения). ± ∓ Знак плюс минус (±)  математический символ, который ставится перед некоторым выражением и означает, что значение этого выражения может быть как положительным, так и … Википедия

Список обозначений в физике — Необходимо проверить качество перевода и привести статью в соответствие со стилистическими правилами Википедии. Вы можете помочь … Википедия

Знаки операций — или математические символы  знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами. К самым распространённым относятся: Плюс: + Минус: , − Знак умножения: ×, ∙ Знак деления: :, ∕, ÷ Знак возведения в… … Википедия

Знаки опеций — Знаки операций или математические символы знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами. К самым распространённым относятся: Плюс: + Минус: , − Знак умножения: ×, ∙ Знак деления: :, ∕, ÷ Знак возведения… … Википедия

Знаки операторов — Знаки операций или математические символы знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами. К самым распространённым относятся: Плюс: + Минус: , − Знак умножения: ×, ∙ Знак деления: :, ∕, ÷ Знак возведения… … Википедия

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.