1 16 100 169 что пропущено
Перейти к содержимому

1 16 100 169 что пропущено

  • автор:

1 16 100 169 что пропущено

Внимание Скидка 50% на курсы! Спешите подать
заявку

Профессиональной переподготовки 30 курсов от 6900 руб.

Курсы для всех от 3000 руб. от 1500 руб.

Повышение квалификации 36 курсов от 1500 руб.

Лицензия №037267 от 17.03.2016 г.
выдана департаментом образования г. Москвы

ДОПОЛНИТЕ ЧИСЛОВОЙ РЯД: 1 , 16 , _ , 100, 169.

Надежда в категроии Математика, вопрос открыт 23.08.2018 в 02:10

Занимательная математика: правило Гаусса

Цикл «Занимательная математика» посвящен деткам увлекающимся математикой и родителям, которые уделяют время развитию своих детей, «подкидывая» им интересные и занимательные задачки, головоломки.

Первая статья из этого цикла посвящена правилу Гаусса.

Немного истории

Известный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) с раннего детства отличался от своих сверстников. Несмотря на то, что он был из небогатой семьи, он достаточно рано научился читать, писать, считать. В его биографии есть даже упоминание того, что в возрасте 4-5 лет он смог скорректировать ошибку в неверных подсчетах отца, просто наблюдая за ним.

Учитель объясняет правило Гаусса

Одно из первых его открытий было сделано в возрасте 6 лет на уроке математики. Учителю было необходимо увлечь детей на продолжительное время и он предложил следующую задачку:

Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

Юный Гаусс справился с этим заданием достаточно быстро, найдя интересную закономерность, которая получила большое распространение и применяется по сей день при устном счете.

Давайте попробуем решить эту задачку устно. Но для начала возьмем числа от 1 до 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Посмотрите внимательно на эту сумму и попробуйте догадаться, что же необычного смог разглядеть Гаусс? Для ответа необходимо хорошо представлять себе состав чисел.

Гаусс сгруппировал числа следующим образом:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Таким образом маленький Карл получил 5 пар чисел, каждая из которых в отдельности в сумме дает 11. Тогда, чтобы вычислить сумму натуральных чисел от 1 до 10 необходимо

Вернемся к первоначальной задаче. Гаусс заметил, что перед суммированием необходимо группировать числа в пары и тем самым изобрел алгоритм, благодаря которому можно быстро сложить числа от 1 до100:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Находим количество пар в ряде натуральных чисел. В данном случае их 50.

Суммируем первое и последнее числа данного ряда. В нашем примере — это 1 и 100. Получаем 101.

Умножаем полученную сумму первого и последнего члена ряда на количество пар этого ряда. Получаем 101 * 50 = 5050

Следовательно, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.

Задачи на использование правила Гаусса

А сейчас вашему вниманию предлагаются задачи, в которых в той или иной степени используется правило Гаусса. Эти задачки вполне способен понять и решить четвероклассник.

Можно дать возможность ребенку порассуждать самому, чтобы он сам «изобрел» это правило. А можно разобрать вместе и посмотреть как он сможет его применить. Среди ниже приведенных задач есть примеры, в которых нужно понять как модифицировать правило Гаусса, чтобы его применить к данной последовательности.

В любом случае, чтобы ребенок мог оперировать этим в своих вычислениях необходимо понимание алгоритма Гаусса, то есть умение разбить правильно по парам и посчитать.

Важно! Если будет заучена формула без понимания, то это очень быстро будет забыто.

Задача 1

Найти сумму чисел:

  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
  • 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Вначале можно дать возможность ребенку самому решить первый пример и предложить найти способ, при котором это сделать легко в уме. Далее разобрать этот пример вместе с ребенком и показать как это сделал Гаусс. Лучше всего для наглядности записать ряд и соединить линиями пары чисел, дающие в сумме одинаковое число. Важно, чтобы ребенок понял как образуются пары — берем самое маленькое и самое большое из оставшихся чисел при условии, что количество чисел в ряду четно.

  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
  • 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Задача 2

Имеется 9 гирь весом 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г. Можно ли разложить эти гири на три кучки с равным весом?

С помощью правила Гаусса находим сумму всех весов:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (г)

Далее смотрим, можно ли этот вес разбить на три равных веса:

Значит, если мы сможем сгруппировать гири так, чтобы в каждой кучке были гири суммарным весом 15г, то задача решена.

Один из вариантов:

  • 9г, 6г
  • 8г, 7г
  • 5г, 4г, 3г, 2г, 1г

Другие возможные варианты найдите сами с ребенком.

Обратите внимание ребенка на то, что когда решаются подобные задачи лучше всегда начинать группировать с большего веса (числа).

Задача 3

Можно ли разделить циферблат часов прямой линией на две части так, чтобы суммы чисел в каждой части были равны?

Линия разделяет циферблат на 2 части с равной суммой чисел

Для начала к ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 применим правило Гаусса: найдем сумму и посмотрим, делится ли она на 2:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

Значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

По правилу Гаусса у нас получается 6 пар чисел, каждая из которых в сумме дает 13:

1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.

Следовательно, надо провести линию на циферблате так, чтобы 3 пары попали в одну половину, а три в другую.

Ответ: линия пройдет между числами 3 и 4, а затем между числами 9 и 10.

Задача 4

Можно ли провести на циферблате часов две прямые линией так, чтобы в каждой части сумма чисел была одинаковой?

Линия разделяет циферблат на 3 части с равной суммой чисел в каждой

Для начала к ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 применим правило Гаусса: найдем сумму и посмотрим делиться ли она на 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 делиться на 3 без остатка, значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

По правилу Гаусса у нас получается 6 пар чисел, каждая из которых в сумме дает 13:

1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.

Следовательно, надо провести линии на циферблате так, чтобы в каждую часть попали по 2 пары.

Ответ: первая линия пройдет между числами 2 и 3, а затем между числами 10 и 11; вторая линия — между числами 4 и 5, а затем между 8 и 9.

Задача 5

Летит стая птиц. Впереди одна птица (вожак), за ней две, потом три, четыре и т. д. Сколько птиц в стае, если в последнем ряду их 20?

Получаем, что нам необходимо сложить числа от 1 до 20. А к вычислению такой суммы можно применить правило Гаусса:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Задача 6

Как рассадить 45 кроликов в 9 клеток так, чтобы во всех клетках было разное количество кроликов?

Если ребенок решил и с пониманием разобрал примеры из задания 1, то тут же вспоминается, что 45 это сумма чисел от 1 до 9. Следовательно, сажаем кроликов так:

  • первая клетка — 1,
  • вторая — 2,
  • третья — 3,
  • восьмая — 8,
  • девятая — 9.

Но если ребенок сразу не может сообразить, то попробуйте натолкнуть его на мысль о том, что подобные задачи можно решить перебором и надо начинать с минимального числа.

Задача 7

Вычислить сумму, используя прием Гаусса:

  • 31 + 32 + 33 + … + 40;
  • 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
  • 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
  • 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
  • 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
  • 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
  • 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
  • 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
  • 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
  • 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Задача 8

Имеется набор из 12 гирек массой 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г, 10г, 11г, 12г. Из набора убрали 4 гирьки, общая масса которых равна трети общей массы всего набора гирек. Можно ли оставшиеся гирьки расположить на двух чашках весов по 4 штуки на каждой чашке так, чтобы они оказались в равновесии?

Применяем правило Гаусса, чтобы найти общую массу гирек:

1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (г)

Вычисляем массу гирек, которые убрали:

Следовательно, оставшиеся гирьки (общей массой 78-26 = 52г) надо расположить по 26 г на каждую чашу весов, чтобы они оказались в равновесии.

Нам не известно какие гирьки были убраны, значит мы должны рассмотреть все возможные варианты.

Применяя правило Гаусса можно разбить гирьки на 6 пар с равным весом (по 13г):

1г и 12г, 2г и 11г, 3г и 10, 4г и 9г, 5г и 8г, 6г и 7г.

Тогда лучший вариант, когда при убирании 4 гирек уберутся две пары из приведенных выше. В этом случае у нас останутся 4 пары: 2 пары на одну чашу весов и 2 пары на другую.

Худший вариант — это когда 4 убранные гирьки разобьют 4 пары. У нас останутся 2 неразбитые пары общим весом 26г, значит их помещаем на одну чашу весов, а оставшиеся гирьки можно поместить на другую чашу весов и они тоже будут 26г.

Новые загадки — Последовательности

По трем коробкам распределены числа от 0 до 14 согласно некоторому принципу.
В 1-й коробке числа: 6, 0, 8, 3, 9;
Во 2-й коробке: 1, 7, 11, 4, 14;
В 3-й коробке: 2, 12, 5, 10, 13.

Ваша задача состоит в том, чтобы понять этот принцип и поместить следующие три числа — 15, 16, 17 — в нужные коробки.

  • 54 Нравится
  • 1 В любимые
  • Комментарий
  • Поделиться

      • 7 Нравится
      • В любимые
      • Комментарий
      • Поделиться

          Ответ: С — Седьмая.

          Логика последовательности:
          П — Первая
          В — Вторая
          Т — Третья
          Ч — Четвертая
          П — Пятая
          Ш — Шестая

          • 5 Нравится
          • В любимые
          • Комментарий
          • Поделиться

              Что должно стоять на месте вопросительного знака:

              Он, он, она, он, она, ?, оно

              • 3 Нравится
              • 1 В любимые
              • Комментарий
              • Поделиться

                  Какое число должно стоять вместо знака вопроса?
                  5555 = 0
                  9313 = 1
                  8193 = 2
                  8096 = 3
                  8806 = 3
                  8541 = ?

                  Ответ: Ответ 3, т.е количество букв «Е» в названии цифр:

                  5555 = 0
                  9313 = 1 ( дЕвять )
                  8193 = 2 ( восЕмь, дЕвять)
                  8096 = 3 ( восЕмь, дЕвять, шЕсть)
                  8806 = 3 ( восЕмь, восЕмь, шЕсть)
                  8541 = 3 ( восЕмь, чЕтырЕ )

                  • 6 Нравится
                  • В любимые
                  • Комментарий
                  • Поделиться

                      Продолжите последовательность:
                      5, 5, 6, 10, 9, 11, .

                      • 3 Нравится
                      • В любимые
                      • Комментарий
                      • Поделиться

                          Какие два числа должны стоят в начале ряда?
                          ? ? 3 6 4 5 4 6 6 6 11 10

                          • 7 Нравится
                          • 1 В любимые
                          • Комментарий
                          • Поделиться

                              Мешки с монетами

                              • 17 Нравится
                              • В любимые
                              • Комментарий
                              • Поделиться

                                  Ответ: Существуют как минимум 2 очевидных решения этой задачки.

                                  В первом варианте к слагаемым нужно добавлять сумму предыдущего равенства:
                                  1 + 4 = 5
                                  5 + 2 + 5 = 12
                                  12 + 3 + 6 = 21
                                  21 + 8 + 11 = 40

                                  Но можно найти и другую последовательность, для этого второе слагаемое нужно умножить на первое и прибавить первое слагаемое:
                                  1 + (4 × 1) = 5
                                  2 + (5 × 2) = 12
                                  3 + (6 × 3) = 21
                                  8 + (8 × 11) = 96

                                  • 5 Нравится
                                  • В любимые
                                  • Комментарий
                                  • Поделиться

                                      Загадка Бернара Вербера

                                      • 183 Нравится
                                      • 4 В любимые
                                      • Комментарий
                                      • Поделиться

                                          Загадка для детей №6726.

                                          • 14 Нравится
                                          • 1 В любимые
                                          • Комментарий
                                          • Поделиться

                                              Эта армия знакома всем, кто знает о былом,
                                              В наши дни ее увидеть можно лишь в кино. О том
                                              Славном времени далеком вспоминает циферблат,
                                              А еще о ней учитель в школе делает доклад.

                                              Знаменита тем, что строго строй походный бережет.
                                              Воин первый одиноко впереди всегда идет,
                                              Следом два, за ними трое, и за теми трое в ряд,
                                              Дальше — пара, а за нею трое следует солдат.

                                              Вслед четыре война бравых, после пять, за ними три.
                                              Вот такая получилась наша армия. Смотри
                                              На чудесный строй военный и попробуй отгадать,
                                              Сколько войнов загорелых будет далее шагать.

                                              Ответ: Два, три, четыре, пять .

                                              В последовательности цифр зашифровано количество палочек в римских цифрах: I II III IV V VI VII VIII IX . X XI XII XIII

                                              • 62 Нравится
                                              • 1 В любимые
                                              • Комментарий
                                              • Поделиться

                                                  Загадка для детей №5417.

                                                  Над и под чертой напечатаны заглавные буквы алфавита, причем по какой-то неведомой причине одни из них оказались наверху, а другие — внизу.

                                                  Допишите оставшиеся буквы алфавита, расположив их правильно, т.е. согласно заложенной логики.

                          Добавить комментарий

                          Ваш адрес email не будет опубликован.