Отметьте все числа которые делятся на 4

делится число на 4

делится ли число на 4. Признак делимости числа на 4, как определить можно ли разделить число на 4 без остатка!?

О делении чисел на 4 без остатка!

Признак делимости числа на 4

Существует признак, по котрому можно определить делится ли число/числа на 4 без остатка.

Если число заканчивается двумя нулями — то число делится на 4.

Если число состоящее из последних двух цифр начального числа делится на 4. то и все число делится на 4!

Примеры результатов деления чисел на 4 с последними двумя нулями

Я не буду это писать вручную. у нас есть для этого циклы php, выведем . для примера все числа с последними двумя нулями, начиная с 100 до 10000. И поделим его на 4.

Если разделить 100 на 4, то получим целое число : 25
Если разделить 200 на 4, то получим целое число : 50
Если разделить 300 на 4, то получим целое число : 75
Если разделить 400 на 4, то получим целое число : 100
Если разделить 500 на 4, то получим целое число : 125
Если разделить 600 на 4, то получим целое число : 150
Если разделить 700 на 4, то получим целое число : 175
Если разделить 800 на 4, то получим целое число : 200
Если разделить 900 на 4, то получим целое число : 225
Если разделить 1000 на 4, то получим целое число : 250
Если разделить 1100 на 4, то получим целое число : 275
Если разделить 1200 на 4, то получим целое число : 300
Если разделить 1300 на 4, то получим целое число : 325
Если разделить 1400 на 4, то получим целое число : 350
Если разделить 1500 на 4, то получим целое число : 375
Если разделить 1600 на 4, то получим целое число : 400
Если разделить 1700 на 4, то получим целое число : 425
Если разделить 1800 на 4, то получим целое число : 450
Если разделить 1900 на 4, то получим целое число : 475
Если разделить 2000 на 4, то получим целое число : 500
Если разделить 2100 на 4, то получим целое число : 525
Если разделить 2200 на 4, то получим целое число : 550
Если разделить 2300 на 4, то получим целое число : 575
Если разделить 2400 на 4, то получим целое число : 600
Если разделить 2500 на 4, то получим целое число : 625
Если разделить 2600 на 4, то получим целое число : 650
Если разделить 2700 на 4, то получим целое число : 675
Если разделить 2800 на 4, то получим целое число : 700
Если разделить 2900 на 4, то получим целое число : 725
Если разделить 3000 на 4, то получим целое число : 750
Если разделить 3100 на 4, то получим целое число : 775
Если разделить 3200 на 4, то получим целое число : 800
Если разделить 3300 на 4, то получим целое число : 825
Если разделить 3400 на 4, то получим целое число : 850
Если разделить 3500 на 4, то получим целое число : 875
Если разделить 3600 на 4, то получим целое число : 900
Если разделить 3700 на 4, то получим целое число : 925
Если разделить 3800 на 4, то получим целое число : 950
Если разделить 3900 на 4, то получим целое число : 975
Если разделить 4000 на 4, то получим целое число : 1000
Если разделить 4100 на 4, то получим целое число : 1025
Если разделить 4200 на 4, то получим целое число : 1050
Если разделить 4300 на 4, то получим целое число : 1075
Если разделить 4400 на 4, то получим целое число : 1100
Если разделить 4500 на 4, то получим целое число : 1125
Если разделить 4600 на 4, то получим целое число : 1150
Если разделить 4700 на 4, то получим целое число : 1175
Если разделить 4800 на 4, то получим целое число : 1200
Если разделить 4900 на 4, то получим целое число : 1225
Если разделить 5000 на 4, то получим целое число : 1250
Если разделить 5100 на 4, то получим целое число : 1275
Если разделить 5200 на 4, то получим целое число : 1300
Если разделить 5300 на 4, то получим целое число : 1325
Если разделить 5400 на 4, то получим целое число : 1350
Если разделить 5500 на 4, то получим целое число : 1375
Если разделить 5600 на 4, то получим целое число : 1400
Если разделить 5700 на 4, то получим целое число : 1425
Если разделить 5800 на 4, то получим целое число : 1450
Если разделить 5900 на 4, то получим целое число : 1475
Если разделить 6000 на 4, то получим целое число : 1500
Если разделить 6100 на 4, то получим целое число : 1525
Если разделить 6200 на 4, то получим целое число : 1550
Если разделить 6300 на 4, то получим целое число : 1575
Если разделить 6400 на 4, то получим целое число : 1600
Если разделить 6500 на 4, то получим целое число : 1625
Если разделить 6600 на 4, то получим целое число : 1650
Если разделить 6700 на 4, то получим целое число : 1675
Если разделить 6800 на 4, то получим целое число : 1700
Если разделить 6900 на 4, то получим целое число : 1725
Если разделить 7000 на 4, то получим целое число : 1750
Если разделить 7100 на 4, то получим целое число : 1775
Если разделить 7200 на 4, то получим целое число : 1800
Если разделить 7300 на 4, то получим целое число : 1825
Если разделить 7400 на 4, то получим целое число : 1850
Если разделить 7500 на 4, то получим целое число : 1875
Если разделить 7600 на 4, то получим целое число : 1900
Если разделить 7700 на 4, то получим целое число : 1925
Если разделить 7800 на 4, то получим целое число : 1950
Если разделить 7900 на 4, то получим целое число : 1975
Если разделить 8000 на 4, то получим целое число : 2000
Если разделить 8100 на 4, то получим целое число : 2025
Если разделить 8200 на 4, то получим целое число : 2050
Если разделить 8300 на 4, то получим целое число : 2075
Если разделить 8400 на 4, то получим целое число : 2100
Если разделить 8500 на 4, то получим целое число : 2125
Если разделить 8600 на 4, то получим целое число : 2150
Если разделить 8700 на 4, то получим целое число : 2175
Если разделить 8800 на 4, то получим целое число : 2200
Если разделить 8900 на 4, то получим целое число : 2225
Если разделить 9000 на 4, то получим целое число : 2250
Если разделить 9100 на 4, то получим целое число : 2275
Если разделить 9200 на 4, то получим целое число : 2300
Если разделить 9300 на 4, то получим целое число : 2325
Если разделить 9400 на 4, то получим целое число : 2350
Если разделить 9500 на 4, то получим целое число : 2375
Если разделить 9600 на 4, то получим целое число : 2400
Если разделить 9700 на 4, то получим целое число : 2425
Если разделить 9800 на 4, то получим целое число : 2450
Если разделить 9900 на 4, то получим целое число : 2475
Если разделить 10000 на 4, то получим целое число : 2500

Двузначные числа, которые делятся на 4.

И второй пункт признака делимости на 4 — это :

Если взять последние две цифры числа и это число из этих цифр будет делиться на 4, то всё число будет делиться на 4.

Какие двузначные числа делятся на 4 без остатка!?

Двузначное число, которое делится на 4 12 , результат: 3
Двузначное число, которое делится на 4 16 , результат: 4
Двузначное число, которое делится на 4 20 , результат: 5
Двузначное число, которое делится на 4 24 , результат: 6
Двузначное число, которое делится на 4 28 , результат: 7
Двузначное число, которое делится на 4 32 , результат: 8
Двузначное число, которое делится на 4 36 , результат: 9
Двузначное число, которое делится на 4 40 , результат: 10
Двузначное число, которое делится на 4 44 , результат: 11
Двузначное число, которое делится на 4 48 , результат: 12
Двузначное число, которое делится на 4 52 , результат: 13
Двузначное число, которое делится на 4 56 , результат: 14
Двузначное число, которое делится на 4 60 , результат: 15
Двузначное число, которое делится на 4 64 , результат: 16
Двузначное число, которое делится на 4 68 , результат: 17
Двузначное число, которое делится на 4 72 , результат: 18
Двузначное число, которое делится на 4 76 , результат: 19
Двузначное число, которое делится на 4 80 , результат: 20
Двузначное число, которое делится на 4 84 , результат: 21
Двузначное число, которое делится на 4 88 , результат: 22
Двузначное число, которое делится на 4 92 , результат: 23
Двузначное число, которое делится на 4 96 , результат: 24

Показать программу php

Цикл начинаем с 10 до 99, поскольку нас интересуют только двузначные числа
for ($i=10; $i < 100; $i++)

В цикле составили условие, если число делится без остатка if($i % 4 == 0) , то записываем его в строку с прибавлением предыдущего результата $ECHO_2 .= .

Признак делимости на 4: примеры, доказательство

Приступим к рассмотрению темы «Признак делимости на 4 ». Приведем здесь формулировку признака, проведем его доказательство, рассмотрим основные примеры задач. В конце раздела мы собрали сведения о подходах, которые можно применять в тех случаях, когда нам нужно доказать делимость чисел на 4 , заданных буквенным выражением.

Признак делимости на 4 , примеры

Мы можем пойти простым путем и поделить однозначное натуральное число на 4 для того, чтобы проверить, делится ли это число на 4 без остатка. Так же можно поступить с двузначными, трехзначными и проч. числами. Однако, чем больше становятся числа, тем сложнее проводить с ними действия с целью проверки делимости их на 4 .

Гораздо проще становится использовать признак делимости на 4 . Он предполагает проведение проверки делимости одной или двух последних цифр целого числа на 4 . Что это значит? Это значит, что некоторое число a делится на 4 в том случае, если одна или две крайние правые цифры в записи числа a делятся на 4 . Если число, составленное из двух крайних правых цифр в записи числа a не делятся на 4 без остатка, то и число a не делится на 4 без остатка.

Какие из чисел 98 028 , 7 612 и 999 888 777 делятся на 4 ?

Решение

Крайние правые цифры чисел − 98 028 , 7 612 составляют числа 28 и 12 , которые делятся на 4 без остатка. Это значит, что и целые числа − 98 028 , 7 612 ​​​​​​ ​делятся на 4 без остатка.

Последние две цифры в записи числа 999 888 777 образуют число 77 , которое не делится на 4 без остатка. Это значит, что и исходное число на 4 без остатка не делится.

Ответ: − 98 028 и 7 612 .

Если предпоследней цифрой в записи числа является 0 , то нам необходимо этот ноль отбросить и смотреть на оставшуюся крайнюю правую цифру в записи. Получается, что две цифры 01 мы заменяем 1 . И уже по одной оставшейся цифре мы делаем вывод о том, делится ли исходное число на 4 .

Делится ли числа 75 003 и − 88 108 на 4 ?

Решение

Две последние цифры числа 75 003 — видим 03 . Если отбросить ноль, то у нас остается цифра 3 , которая на 4 без остатка не делится. Это значит, что исходное число 75 003 на 4 без остатка не делится.

Теперь возьмем две последние цифры числа − 88 108 . Это 08 , из которых мы должны оставить лишь последнюю цифру 8 . 8 делится на 4 без остатка.

Это значит, что и исходное число − 88 108 мы можем поделить на 4 без остатка.

Ответ: 75 003 не делится на 4 , а − 88 108 – делится.

Числа, у которых в конце записи идет сразу два нуля, также делятся на 4 без остатка. Например, 100 делится на 4 , получается 25 . Доказать правдивость этого утверждения нам позволяет правило умножения числа на 100 .

Представим произвольно выбранное многозначное число a , запись которого справа заканчивается двумя нулями, как произведение a 1 · 100 , где число a 1 получается из числа a , если в его записи справа отбросить два нуля. Например, 486700 = 4867 · 100 .

Произведение a 1 · 100 содержит множитель 100 , который делится на 4 . Это значит, что все приведенное произведение делится на 4 .

Доказательство признака делимости на 4

Представим любое натуральное число a в виде равенства a = a 1 · 100 + a 0 , в котором число a 1 – это число a , из записи которого убрали две последние цифры, а число a 0 – это две крайние правые цифры из записи числа a . Если использовать конкретные натуральные числа, то равенство будет иметь вид undefined. Для одно- и двузначных чисел a = a 0 .

Теперь обратимся к свойствам делимости:

• деление модуля числа a на модуль числа b необходимо и достаточно для того, чтобы целое число a делилось на целое число b ;
• если в равенстве a = s + t все члены, кроме одного делятся на некоторое целое число b , то и этот оставшийся член делится на число b .

Теперь, освежив в памяти необходимые свойства делимости, переформулируем доказательство признака делимости на 4 в виде необходимого и достаточного условия делимости на 4 .

Деление двух последних цифр в записи числа a на 4 – это необходимое и достаточное условие для делимости целого числа a на 4 .

Если предположить, что a = 0 , то теорема в доказательстве не нуждается. Для всех остальных целых чисел a мы будем использовать модуль числа a , который является числом положительным: a = a 1 · 100 + a 0

С учетом того, что произведение a 1 · 100 всегда делится на 4 , а также с учетом свойств делимости, которые мы привели выше, мы можем сделать следующее утверждение: если число a делится на 4 , то и модуль числа a делится на 4 , тогда из равенства a = a 1 · 100 + a 0 следует, что a 0 делится на 4 . Так мы доказали необходимость.

Из равенства a = a 1 · 100 + a 0 следует, что модуль a делится на 4 . Это значит, что и само число a делится на 4 . Так мы доказали достаточность.

Другие случаи делимости на 4

Рассмотрим случаи, когда нам нужно установить делимость на 4 целого числа, заданного некоторым выражением, значение которого надо вычислить. Для этого мы можем пойти следующим путем:

• представить исходное выражение в виде произведения нескольких множителей, один из которых будет делиться на 4 ;
• сделать вывод на основании свойства делимости о том, что все исходное выражение делится на
  4 .

Помочь в решении задачи часто помогает формула бинома Ньютона.

Делится ли на 4 значение выражения 9 n — 12 n + 7 при некотором натуральном n ?

Решение

Мы можем представить 9 в виде суммы 8 + 1 . Это дает нам возможность применить формулу бинома Ньютона:

9 n — 12 n + 7 = 8 + 1 n — 12 n + 7 = = C n 0 · 8 n + C n 1 · 8 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 8 2 · 1 n — 2 + C n n — 1 · 8 · 1 n — 1 + C n n · 1 n — — 12 n + 7 = = 8 n + C n 1 · 8 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 8 2 + n · 8 + 1 — — 12 n + 7 = = 8 n + C n 1 · 8 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 8 2 — 4 n + 8 = = 4 · 2 · 8 n — 1 + 2 · C n 1 · 8 n — 2 + . . . + 2 · C n n — 2 · 8 1 — n + 2

Произведение, которое мы получили в ходе преобразований, содержит множитель 4 , а выражение в скобках представляет собой натуральное число. Это значит, что это произведение можно разделить на 4 без остатка.

Мы можем утверждать, что исходное выражение 9 n — 12 n + 7 делится на 4 при любом натуральном n .

Ответ: Да.

Также мы можем применить к решению задачи метод математической индукции. Чтобы не отвлекать ваше внимание на второстепенные детали разбора решения, возьмем прежний пример.

Докажите, что 9 n — 12 n + 7 делится на 4 при любом натуральном n .

Решение

Начнем с установления того, что при значении n = 1 значение выражения 9 n — 12 n + 7
можно будет разделить на 4 без остатка.

Получаем: 9 1 — 12 · 1 + 7 = 4 . 4 делится на 4 без остатка.

Теперь мы можем предположить, что при значении n = k значение выражения
9 n — 12 n + 7 будет делиться на 4 . Фактически, мы будем работать с выражением 9 k — 12 k + 7 , которое должно делиться на 4 .

Нам необходимо доказать, что 9 n — 12 n + 7 при n = k + 1 будет делиться на 4 с учетом того, что 9 k — 12 k + 7 ​​​​​ делится на 4 :

9 k + 1 — 12 ( k + 1 ) + 7 = 9 · 9 k — 12 k — 5 = 9 · 9 k — 12 k + 7 + 96 k — 68 = = 9 · 9 k — 12 k + 7 + 4 · 24 k — 17

Мы получили сумму, в которой первое слагаемое 9 · 9 k — 12 k + 7 делится на 4 в связи с нашим предположением о том, что 9 k — 12 k + 7 делится на 4 , а второе слагаемое 4 · 24 k — 17 содержит множитель 4 , в связи с чем также делится на 4 . Это значит, что вся сумма делится на 4 .

Ответ: мы доказали, что 9 n — 12 n + 7 делится на 4 при любом натуральном значении n методом математической индукции.

Мы можем использовать еще один подход для того, чтобы доказать делимость некоторого выражения на 4 . Этот подход предполагает:

• доказательство факта того, что значение данного выражения с переменной n делится на 4 при n = 4 · m , n = 4 · m + 1 , n = 4 · m + 2 и n = 4 · m + 3 , где m – целое число;
• вывод о доказанности делимости данного выражения на 4 для любого целого числа n .

Докажите, что значение выражения n · n 2 + 1 · n + 3 · n 2 + 4 при любом целом n делится на 4 .

Решение

Если предположить, что n = 4 · m , получаем:

4 m · 4 m 2 + 1 · 4 m + 3 · 4 m 2 + 4 = 4 m · 16 m 2 + 1 · 4 m + 3 · 4 · 4 m 2 + 1

Полученное произведение содержит множитель 4 , все остальные множители представлены целыми числами. Это дает нам основание предполагать, что все произведение делится на 4 .

Если предположить, что n = 4 · m + 1 , получаем:

4 m + 1 · 4 m + 1 2 + 1 · 4 m + 1 + 3 · 4 m + 1 2 + 4 = = ( 4 m · 1 ) + 4 m + 1 2 + 1 · 4 m + 1 · 4 m + 1 2 + 4

И опять в произведении, которое мы получили в ходе преобразований,
содержится множитель 4 .

Это значит, что выражение делится на 4 .

Если предположить, что n = 4 · m + 2 , то:

4 m + 2 · 4 m + 2 2 + 1 · 4 m + 2 + 3 · 4 m + 2 2 + 4 = = 2 · 2 m + 1 · 16 m 2 + 16 m + 5 · ( 4 m + 5 ) · 8 · ( 2 m 2 + 2 m + 1 )

Здесь в произведении мы получили множитель 8 , который можно без остатка поделить на 4 . Это значит, что все произведение делится на 4 .

Если предположить, что n = 4 · m + 3 , получаем:

4 m + 3 · 4 m + 3 2 + 1 · 4 m + 3 + 3 · 4 m + 3 2 + 4 = = 4 m + 3 · 2 · 8 m 2 + 12 m + 5 · 2 · 2 m + 3 · 16 m 2 + 24 m + 13 = = 4 · 4 m + 3 · 8 m 2 + 12 m + 5 · 16 m 2 + 24 m + 13

Произведение содержит множитель 4 , значит делится на 4 без остатка.

Ответ: мы доказали, что исходное выражение делится на 4 при любом n .

Системы счисления. Двоичная система счисления.

Как называется количество символов в алфавите позиционной системы счисления?

Варианты ответов

• мощность
• позиция
• основание

Вопрос 2

Как называется набор символов, используемый в позиционной системе счисления?

Варианты ответов

• Мощность
• Алфавит
• Цифры

Вопрос 3

Какое минимальное основание N должно быть у системы счисления, чтобы в ней были правильными записи 123_N, 341_N, 125_N и 215_N?

Варианты ответов

• 5
• 6
• 10

Вопрос 4

Выберите наибольшее из приведённых чисел.

Варианты ответов

Вопрос 5

Отметьте все числа, которые делятся на 16.

Варианты ответов

Вопрос 6

Запишите число 332₅ в десятичной системе счисления.

Вопрос 7

Запишите число 92 в системе счисления с основанием 7.

Вопрос 8

Найдите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 34 оканчивается на 7.

Вопрос 9

Запишите число 25 в двоичной системе счисления.

Вопрос 10

Запишите число 1011₂ в десятичной системе счисления.

Вопрос 11

Выполните сложение в двоичной системе счисления:

Результат запишите в двоичной системе счисления.

Вопрос 12

Отметьте все числа, которые делятся на 4.

Варианты ответов

Вопрос 13

Отметьте все верные высказывания.

Варианты ответов

• двоичная запись числа короче десятичной
• данные в современных компьютерах кодируются в двоичном коде
• двоичная запись чисел удобна для человека
• многие дробные числа записываются в двоичной системе как бесконечные дроби
• при обработке дробных чисел на компьютере могут накапливаться ошибки

Вопрос 14

Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 112?

Вопрос 15

Сколько единиц в двоичной записи числа 124?

Вопрос 16

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения:

Вопрос 17

Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, Н, П, записаны в алфавитном порядке.