Отметьте точки которые не принадлежат единичной окружности

Единичная окружность — с примерами решения

На рисунке 2 изображены колебания маятника и показан график функции, описывающей смещение маятника от положения равновесия в зависимости от времени. Изучение процесса колебания маятника, а также многих других процессов в физике (механические, электромагнитные колебания, волны и т. д.) приводит к необходимости рассматривать тригонометрические функции действительного аргумента.

Для изучения тригонометрических функций используется понятие единичной окружности.

Единичная окружность в тригонометрии

Единичную окружность называют также координатной окружностью.

Определение единичной окружности

Определение:

Окружность на координатной плоскости единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 3) называется единичной окружностью.

Для того чтобы задать координатную окружность, нужно указать:

• начало отсчета — точку
• направление движения точки по окружности (против часовой стрелки — положительное, а по часовой стрелке — отрицательное (рис. 4)).

Точки на окружности будем получать путем поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на заданный угол.

Точка (рис. 5) получена поворотом

• точки (указывается, какая точка поворачивается)
• вокруг начала координат (указывается центр поворота)
• на угол (указывается, на какой угол выполняется поворот — угол поворота).

Таким образом, при повороте точки вокруг начала координат на угол в заданном направлении получается точка единичной окружности.

Пример №1

Построить на единичной окружности точку

Решение:

Точку получаем поворотом против часовой стрелки точки вокруг начала координат на угол (рис. 6).

Пример №2

Построить на единичной окружности точку

Решение:

Точку получаем поворотом по часовой стрелке точки вокруг начала координат на угол (рис. 7).

Пример №3

Построить на единичной окружности точку:

Решение:

а) Так как поворот на соответствует одному полному обороту, то необходимо выполнить поворот точки против часовой стрелки на (полный оборот). Точка совпадет с точкой (рис. 8, а).

б) Так как то необходимо выполнить один полный оборот и еще поворот точки вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (рис. 8, б).

в) Так как то необходимо выполнить два полных оборота и еще поворот точки вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (рис. 8, в).

Пример №4

Построить на единичной окружности точку

Решение:

Так как то необходимо выполнить три полных оборота и еще поворот точки вокруг начала координат по часовой стрелке на угол (рис. 9).

Радианное измерение углов

По формуле длины окружности получим, что длина единичной окружности равна

На единичной окружности (рис. 10) легко отметить точки соответствующие углам поворота (четверть окружности), (половина окружности), (три четверти окружности), (вся окружность).

Числа — это радианная мера углов, градусная мера которых соответственно равна

Угол в 1 радиан (от лат. radius — луч, радиус) — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

На рисунке 11 отмечена точка единичной окружности, соответствующая углу в 1 радиан. Длина дуги единичной окружности, соответствующей углу в 1 радиан, равна 1.

Так как радиан соответствует то градусная мера угла в 1 радиан равна:

Сокращенное обозначение радиана «рад» чаще всего опускают.

Чтобы выразить радианную меру угла в градусной, число умножить на

На рисунке 12 показано соответствие между градусной и радианной мерой некоторых углов.

Пример №5

Построить на единичной окружности точку

Решение:

Точку получаем поворотом против часовой стрелки точки вокруг начала координат на угол (рис. 13).

В зависимости от того, в какую четверть координатной плоскости попадает точка говорят, что в такой же четверти находится угол

Например, углы находятся в первой четверти, углы и находятся во второй четверти, углы находятся в третьей четверти, а угол находится в четвертой четверти (рис. 14).

Углы соответствуют границам четвертей.

Пример №6

Определите, в какой четверти находится угол 3 рад.

Решение:

Так как то данный угол находится во второй четверти.

Примеры заданий и их решения

Пример №7

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки вокруг начала координат на угол:

Решение.

а) Точку получаем поворотом против часовой стрелки точки вокруг начала координат на угол (рис. 15, а).

б) Точку получаем поворотом по часовой стрелке точки вокруг начала координат на угол (см. рис. 15, а).

в) Точку получаем поворотом по часовой стрелке точки вокруг начала координат на угол 90° (рис. 15, б).

г) Точку получаем поворотом против часовой стрелки точки вокруг начала координат на угол (см. рис. 15, б).

Пример №8

Покажите, что точки:

— единичной окружности совпадают.

Решение:

а) Поскольку то, для того чтобы получить точку нужно выполнить один полный оборот и еще поворот точки вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (рис. 16, а).

Пример №9

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки вокруг начала координат на угол:

Решение:

а) Так как то выполним один полный оборот и еще поворот точки вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (рис. 17, а).

б) Так как то выполним три полных оборота и еще поворот точки вокруг начала координат по часовой стрелке на угол (рис. 17, б).

Пример №10

Запишите все углы для которых точка совпадает с точкой:

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точку Так как, например, и т. п., то точки единичной окружности совпадают с точкой единичной окружности. Очевидно, что существует бесконечно много углов для которых точки единичной окружности совпадают. Эти углы могут быть получены в результате поворота точки на целое число полных оборотов по или против часовой стрелки (рис. 18), таким образом,

Пример №11

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки вокруг начала координат на угол:

Решение:

а) Так как то выполним поворот точки вокруг начала координат на угол (рис. 19, а).

б) Поскольку то точка совпадает с точкой (рис. 19, б).

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Принадлежит ли единичной полуокружности точка: а) Р(-0,6;0,8) б) Т(1/4;3/4)

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0). Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0. Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .

Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°. Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr. Длина дуги AB: \(l_=\frac<4>=\frac<2\pi r><4>=\frac<\pi r><2>.\) Тогда радианная мера угла: $$ \angle AOB=\frac>=\frac<\pi r><2\cdot r>=\frac<\pi> <2>$$

30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
\(\frac<\pi><6>\)	\(\frac<\pi><4>\)	\(\frac<\pi><3>\)	\(\frac<\pi><2>\)	\(\frac<2\pi><3>\)	\(\frac<3\pi><4>\)	\(\frac<5\pi><6>\)	\(\pi\)	\(\frac<3\pi><2>\)	\(2\pi\)

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t). При t=0, M(0)=A. При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу ⌒ AM=t. Точка M — искомая. При t<0 двигаемся по окружности по часовой стрелке, описывая дугу ⌒ AM=t. Точка M — искомая.

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие \(\frac<\pi><6>,\ \frac<\pi><4>,\ \frac<\pi><2>,\ \frac<2\pi><3>,\ \pi\), а также \(-\frac<\pi><6>,\ -\frac<\pi><4>,\ -\frac<\pi><2>,\ -\frac<2\pi><3>,\ -\pi\) Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие \(\frac<\pi><6>,\ \frac<13\pi><6>,\ \frac<25\pi><6>\), и \(-\frac<11\pi><6>\). Все четыре точки совпадают, т.к. \begin M\left(\frac<\pi><6>\right)=M\left(\frac<\pi><6>+2\pi k\right)\\ \frac<\pi><6>-2\pi=-\frac<11\pi><6>\\ \frac<\pi><6>+2\pi=\frac<13\pi><6>\\ \frac<\pi><6>+4\pi=\frac<25\pi> <6>\end

п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

Числовой промежуток	Соответствующая дуга числовой окружности
Отрезок
$$ -\frac<\pi> <6>\lt t \lt \frac<\pi> <3>$$ а также, с учетом периода $$ -\frac<\pi><6>+2\pi k\lt t\lt\frac<\pi><3>+2\pi k $$
Интервал
$$ -\frac<\pi> <6>\leq t \leq \frac<\pi> <3>$$ а также, с учетом периода $$ -\frac<\pi><6>+2\pi k\leq t\leq\frac<\pi><3>+2\pi k $$
Полуинтервал
$$ -\frac<\pi> <6>\leq t \lt\frac<\pi> <3>$$ а также, с учетом периода $$ -\frac<\pi><6>+2\pi k\leq t\lt\frac<\pi><3>+2\pi k $$

п.6. Примеры

Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: \begin BE=30^<\circ>=\frac<\pi><6>.\\ EC=60^<\circ>=\frac<\pi><3>.\\ AE=EC+CD=90^<\circ>+30^<\circ>=120^<\circ>=\frac<2\pi><3>.\\ ED=EC+CD=60^<\circ>+90^<\circ>=150^<\circ>=\frac<5\pi><6>. \end

Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: \(-\frac<\pi><2>;\ \frac<3\pi><4>;\ \frac<7\pi><6>;\ \frac<7\pi><4>\).

Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. \begin -\frac<\pi><2>=-90^<\circ>,\ \ \frac<3\pi><4>=135^<\circ>\\ \frac<7\pi><6>=210^<\circ>,\ \ \frac<7\pi><4>=315^ <\circ>\end

Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: \(-\frac<11\pi><2>;\ 5\pi;\ \frac<17\pi><6>;\ \frac<27\pi><4>\).

Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π. Далее – действуем, как в примере 2. \begin -\frac<11\pi><2>=\frac<-12+1><2>\cdot\pi=-6\pi+\frac<\pi><2>\rightarrow \frac<\pi><2>=90^<\circ>\\ 5\pi=4\pi+\pi\rightarrow \pi=180^<\circ>\\ \frac<17\pi><6>=\frac<18-1><6>\pi=3\pi-\frac<\pi><6>\rightarrow \pi-\frac<\pi><6>=\frac<5\pi><6>\\ \frac<27\pi><4>=\frac<28-1><4>\pi=7\pi-\frac<\pi><4>\rightarrow \pi-\frac<\pi><4>=\frac<3\pi> <4>\end

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

Сравниваем каждое число с границами четвертей: \begin 0,\ \ \frac\pi2\approx\frac<3,14><2>=1,57,\ \ \pi\approx 3,14\\ 3\pi\ \ 3\cdot 3,14\\ \frac<3\pi><2>\approx \frac<3\cdot 3,14><2>=4,71,\ \ 2\pi\approx 6,28 \end

\(\frac\pi2\lt 2\lt \pi \Rightarrow \) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
\(\pi\lt 4\lt \frac<3\pi> <2>\Rightarrow \) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
\(\frac<3\pi><2>\lt 5\lt 2\pi \Rightarrow \) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
\(7\gt 2\pi\), отнимаем полный оборот: \(0\lt 7-2\pi\lt \frac\pi2\Rightarrow\) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек \((k\in\mathbb)\), запишите количество полученных базовых точек.

$$ \frac<\pi k> <2>$$	$$ -\frac<\pi><4>+2\pi k $$
Четыре базовых точки, через каждые 90°	Две базовых точки, через каждые 180°
$$ \frac<\pi><3>+\frac<2\pi k> <3>$$	$$ -\frac<\pi k> <5>$$
Три базовых точки, через каждые 120°	Пять базовых точек, через каждые 72°

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.