прямые_общего_положения — Пересечение прямых на плоскости
Под строкой поиска в яндексе висела реклама — типа проводим олимпиады и всякая другая ерунда. Прошел по ссылке и обнаружил там вполне себе задачку.
На плоскости нарисовано несколько прямых. Рядом с каждой прямой написано число прямых, которые ее пересекают. Среди написанных чисел имеется не менее четырёх различных, два из которых — это 6 и 7. Сколько прямых нарисовано?
Вообще-то это был тест с ответами 10,9,13,15. Но мы же не ищем легких путей и решаем в общем виде)
задан 27 Мар 15:10
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
На плоскости нарисовано несколько прямых рядом с каждой прямой написано число прямых которые
На плоскости нарисовано несколько прямых (не меньше двух), никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что среди частей, на которые эти прямые делят плоскость, найдется хотя бы один угол.
Подсказка
Рассмотрите выпуклую оболочку множества точек попарного пересечения прямых.
Решение
Рассмотрим множество точек пересечения P пар прямых. Возьмем выпуклую оболочку множества P — наименьший выпуклый многоугольник M, содержащий это множество. Вершинами многоугольника M являются некоторые из точек множества P. Рассмотрим одну из вершин A многоугольника M, а также прямые k и m, которые пересекаются в точке A. Возьмем луч прямой k с началом в A, который не пересекает многоугольник M (точнее, пересекает многоугольник M по точке A). Также возьмем луч прямой m с началом в A, который не пересекает многоугольник M. Эти два луча образуют угол, лежащий вне многоугольника M. Понятно, что этот угол и является одной из частей, на которые плоскость разделена прямыми. Из приведенного рассуждения следует, что если количество прямых не меньше трех, то среди частей плоскости найдутся хотя бы 3 угла, поскольку выпуклая оболочка множества точек P имеет хотя бы 3 вершины.
На плоскости нарисовано несколько прямых рядом с каждой прямой написано число прямых которые
Представляем вниманию школьников 9-10 классов и их родителей возможность сверить свои задания с ответами к конкурсу «Кенгуру».
Вопросы сгруппированы по сложности (по баллам). Ответы на задания находятся после вопросов.
Задачи, оцениваемые в 3 балла
1. Бабочку отразили зеркально относительно прямой b, а потом повернули на 90° против часовой стрелки вокруг кончика носа кенгуру (точки А). После этого бабочка оказалась у кенгуру 
Варианты:
(А) на носу (Б) на лапе (В) на хвосте (Г) на спине (Д) в сумке
2. Сумма цифр семизначного числа равна 6. Чему равно произведение цифр этого числа?
Варианты:
(А) 0 (Б) 5 (В) 6 (Г) 7 (Д) невозможно определить
3. Сколько существует различных треугольников, у которых одна из сторон равна 1, а два угла равны 40° и 70°?
Варианты:
(А) 1 (Б) 2 (В) 3 (Г) 4 (Д) 0
4. Сколько копеек в децисантикилорубле?
Варианты:
(А) 0,1 (Б) 1 (В) 10 (Г) 100 (Д) 1000
5. В Венеции каждый день происходит небольшое наводнение: вода поднимается, а потом отступает. На графике показано изменение уровня воды 6 мая 2011 года. Сколько часов в этот день уровень воды был выше 30 см? 
Варианты:
(А) 5 (Б) 6 (В) 7 (Г) 9 (Д) 12
6. Число, куб которого равен 2012 12 , умножили на квадрат числа 2012 11 . Что получилось?
Варианты:
(А) 2012 21 (Б) 2012 26 (В) 2012 31 (Г) 2012 58 (Д) 2012 88
7. Жук Жак ползёт по координатной плоскости. Он стартует из точки (1; 1) и движется так, что произведение его координат не меняется. По какой линии ползёт жук?
Варианты:
(А) по прямой (Б) по окружности (В) по параболе (Г) по гиперболе (Д) по ломаной линии
8. Часы лежат на столе циферблатом вверх. Минутная стрелка сейчас указывает на юго-восток. Через сколько минут она будет указывать на северо-восток?
Варианты:
(А) 15 (Б) 20 (В) 30 (Г) 40 (Д) 45
9. Как гласит русская поговорка, ложка дёгтя портит бочку мёда. Сколько банок мёда удастся испортить десятью каплями дёгтя, если в бочке 40 банок, а в ложке 200 капель?
Варианты:
(А) 2 (Б) 4 (В) 5 (Г) 10 (Д) 20
10. Про число х известно, что х 3 <64<х 2 . Тогда
Варианты:
(А) 0<х<64 (Б) -8<х<4 (В)-4<х<8 (Г) х < -8 (Д) такого числа х не существует
Задачи, оцениваемые в 4 балла
11. Фигура на рисунке образована двумя квадратами, треугольником, площадь которого равна 8 см 2 , и закрашенным параллелограммом. Чему равна площадь этого параллелограмма? 
Варианты:
(А) 15 см 2 (Б) 16 см 2 (В) 18 см 2 (Г) 20 см 2 (Д) 21 см 2
12. Маша изучает натуральные числа, которые делятся на 72 и имеют в своей десятичной записи только нули и единицы. Сколько цифр в самом маленьком из таких чисел?
Варианты:
(А) 9 (Б) 11 (В) 12 (Г) 13 (Д) 14
13. В семье пятеро мужчин: Иван Сидорович, Сидор Иванович, Сидор Петрович, Пётр Сидорович и Пётр Петрович. Один из них сейчас смотрит в окно, его отец спит, брат читает книгу, а сыновья ушли гулять. Как зовут того, кто смотрит в окно?
Варианты:
(А) Иван Сидорович
(Б) Сидор Иванович
(В) Сидор Петрович
(Г) Пётр Сидорович
(Д) Пётр Петрович
14. Две стороны четырёхугольника равны 1 и 7. Одна из диагоналей, длина которой равна 3, делит его на два равнобедренных треугольника. Чему равен периметр этого четырёхугольника?
Варианты:
(А) 12 (Б) 14 (В) 16 (Г) 18 (Д) 20
15. Натуральные числа а и b таковы, что a + b = 2012. Какое из следующих равенств возможно при некотором натуральном k ?
Варианты:
16. Число х отрицательно, а число у положительно. Что не может произойти, если х увеличить, а у — уменьшить?
Варианты:
(А) х + у увеличится (Б) x/y уменьшится (В) y/x уменьшится (Г) у — х уменьшится (Д) x-y уменьшится
17. На какое наименьшее число тупоугольных треугольников можно разрезать квадрат?
Варианты:
(А) 4 (Б) 5 (В) 6 (Г) 7 (Д) это невозможно сделать
18. Какое из утверждений А-Г неверно?
Варианты:
(A) произведение любых двух нечётных чисел — нечётное число
(Б) произведение любых двух нечётных функций — нечётная функция
(B) произведение любых двух чётных чисел — чётное число
(Г) произведение любых двух чётных функций — чётная функция
(Д) все утверждения А-Г верны
19. В некоторых клетках таблицы 10×10 поставлены крестики так, что каждый из них — единственный либо в своей строке, либо в своём столбце. Какое наибольшее число крестиков может быть в такой таблице?
Варианты:
(А) 10 (Б) 15 (В) 18 (Г) 19 (Д) 99
20. Разность корней квадратного уравнения х 2 + bх + с = 0 — чётное число. Чему может равняться ордината вершины параболы у = х 2 +bx + c ?
Варианты:
(А)-2 (Б) -3 (В)-4 (Г) -5 (Д)-6
Задачи, оцениваемые в 5 баллов
21. Винни-Пух пошёл в магазин за мёдом. Цена одного горшочка — 1 фунт, но при покупке n горшочков (n<100 ) покупатель получает скидку n %. Когда Винни вернулся домой, Кристофер Робин посмотрел на его покупку и сказал: «Глупенький мой мишка! Ты ухитрился заплатить за мёд наибольшую возможную сумму денег!». Сколько фунтов заплатил Винни-Пух?
Варианты:
(А) 10 (Б) 15 (В) 20 (Г) 25 (Д) 50
22. Числа от 1 до 120 выписаны в 15 строк, как показано на рисунке. В каком из столбцов (считая слева) сумма чисел самая большая? 
Варианты:
(А) 1 (Б) 4 (В) 5 (Г) 7 (Д) 13
23. Про натуральные числа m и n известно, что каждое из них делится на числа 2 2 * 3 3 * 5 и 2 3 * 3, а каждое из чисел 2 5 * 3 7 * 5 3 и 2 4 * 3 6 * 5 2 делится на m и n. Чему равно наибольшее возможное отношение чисел m и n ?
Варианты:
(А) 2 2 * 3 4 * 5 2
(Б) 2 * З 3
(В) 2 2 * 3 3 * 5 2
(Г) 2 * 3 2 * 5
(Д) 2 * 3 3 * 5
24. Правильный треугольник «катится» вокруг квадрата (см. рисунок) Какую траекторию опишет отмеченная точка, прежде чем и она, и весь треугольник вернутся в исходное положение? 
Варианты: 
25. Дробь 28/33 хотят представить в виде суммы нескольких дробей, числители
которых равны 1. При каком наименьшем числе слагаемых это возможно?
Варианты:
(А) 2 (Б) 3 (В) 4 (Г) 5 (Д) 28
26. На плоскости нарисовано несколько прямых. Рядом с каждой прямой написано число прямых, которые ее пересекают. Среди написанных чисел имеется не менее четырёх различных, два из которых — это 6 и 7. Сколько прямых нарисовано?
Варианты:
(А) 9 (Б) 10 (В) 13 (Г) 15 (Д) невозможно определить
27. В треугольнике длины сторон равны а, b и с, а угол, лежащий против стороны b, вдвое больше угла, лежащего против стороны а. Тогда обязательно
Варианты:
(А) а 2 + с 2 = b 2
(Б) b 2 + bс = а 2
(В) c 2 + ab = a 2
(Г) а 2 + ас = b 2
(Д) каждое из соотношений А-Г может быть нарушено
28. На рисунке ОА = 6 см, ОВ= 4 см. Каково множество всех точек Р, лежащих в первой четверти, для которых площадь четырёхугольника ОБ равна 24 см 2 ? 
Варианты: 
29. Назовём тройку различных чисел, выбранных из множества <1, 2, 3, 4, 5, 6>, хорошей, если никакая пара чисел из этой тройки не имеет сумму 7. Коля перемножил числа в каждой хорошей тройке, а потом сложил полученные произведения. Какое число он получил?
Варианты:
(А) 7 2 (Б) 7 3 (В) З 6 (Г) 3 7 (Д) 6 3
30. Из 27 одинаковых маленьких кубиков сложили куб. Через середину его диагонали провели плоскость, перпендикулярную этой диагонали. Сколько маленьких кубиков пересекла эта плоскость?
Варианты:
(А) 17 (Б) 18 (В) 19 (Г) 20 (Д) 21