Как сравнивать логарифмы

Сравнение логарифмов

Ни для кого не секрет, что с помощью применения логарифмов мы упрощаем довольно много сложных алгебраических операций и не только. Логарифмы дают возможность заменять более сложные операции умножения на операции сложения, деление на вычитание. Согласитесь, ведь это намного проще. Если уже быть совсем точными, то логарифм заданного числа – это показатель степени, в которую нужно возвести другое, также заданное число, чтобы получить данное. На первый взгляд все запутано и непонятно, но это только на первый, на самом деле, все до нельзя просто. Для того, чтобы закреплять знания о логарифмах (да и не только о них), конечно же, рекомендовано после прочтения теории выполнять самостоятельные практические упражнения, это не только поможет усвоить материал, но и выявить все недочеты.

Но вернемся к логарифмам, а точнее к их сравнению. Разумеется, вам в голову может прийти вопрос: «что такое сравнение логарифмов? и как это делается?».

Зачем мы сравниваем логарифмы? Ответ достаточно прост. При решении неравенств и уравнений, довольно часто возникает вопрос, когда нужно определить принадлежность корня области допустимых значений или же сделать соотношение решений двух или более неравенств на числовой прямой, а решение, при этом, выражается иррациональным числом, которое, в свою очередь, записано с помощью логарифма. Вот тут-то нам и необходимо сравнение этих логарифмов.

Существуют несколько способов сравнения логарифмов. Какой из них использовать зависит, в первую очередь, от того, одинаковые основания у логарифмов или нет. Если первый вариант, то тут выход один – использовать монотонность логарифмических функций.

Если числа равные, но основания разные, то тут можно пойти несколькими путями:

Как сравнивать логарифмы

$y = {\log _a}x$

— если основание меньше единицы (0<a<1), функция убывает, значит, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (знак неравенства меняется на противоположный).

С помощью схемы сравнение логарифмов можно изобразить так:

kak-sravnivat-logarifmy

1) Сравнить b и c, если

${\log _3}b > {\log _3}c.$

Основание 3>1, функция возрастает, знак неравенства между выражениями, стоящими под знаками логарифмов, не изменяется:

$b > c.$

2) Сравнить m и n, если

${\log _{\frac{1}{9}}}m \le {\log _{\frac{1}{9}}}n.$

Основание 1/9<1, функция убывает, знак неравенства между выражениями, стоящими под знаками логарифмов, изменяется на противоположный:

$m \ge n.$

3) Сравнить с единицей основание логарифма, если

${\log _a}0,3 < {\log _a}\frac{1}{3}.$

Сравним числа, стоящие под знаками логарифмов. Для этого представим их в виде обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями:

$0,3 = \frac{{{3^{\backslash 3}}}}{{10}} = \frac{9}{{30}},\frac{{{1^{\backslash 10}}}}{3} = \frac{{10}}{{30}}$

$\frac{9}{{30}} < \frac{{10}}{{30}}, \Rightarrow 0,3 < \frac{1}{3}.$

То есть, знак неравенства не изменился. Значит, функция возрастает и основание a>1.

Сравнение логарифмов с разными основаниями.

Чтобы сравнить логарифмы с разными основаниями, можно попытаться, используя свойства логарифмов, привести их к одинаковым основаниям.

${\log _{81}}5$

${\log _{\sqrt {27} }}6$

Оба логарифма можно привести к основанию 3:

${\log _{81}}5 = {\log _{{3^4}}}5 = \frac{1}{4}{\log _3}5 =$

$= {\log _3}{5^{\frac{1}{4}}} = {\log _3}\sqrt[4]{5},$

${\log _{\sqrt {27} }}6 = {\log _{{3^{\frac{3}{2}}}}}6 = \frac{1}{{\frac{3}{2}}}{\log _3}6 = \frac{2}{3}{\log _3}6 =$

$= {\log _3}{6^{\frac{2}{3}}} = {\log _3}\sqrt[3]{{{6^2}}} = {\log _3}\sqrt[3]{{36}}.$

$\sqrt[4]{5} < \sqrt[3]{{36}}$

и основание 3>1, функция возрастает и знак неравенства не изменяется:

${\log _3}\sqrt[4]{5} < {\log _3}\sqrt[3]{{36}}$

${\log _{81}}5 < {\log _{\sqrt {27} }}6.$

Иногда бывает достаточно сравнить логарифмы с нулём.

${\log _{1,4}}7,1u{\log _{0,9}}2,7$

Сравним каждый из логарифмов с нулём:

${\log _{1,4}}7,1 > 0,$

${\log _{0,9}}2,7 < 0.$

Так как первый логарифм больше нуля, а второй — меньше нуля, то

${\log _{1,4}}7,1 > {\log _{0,9}}2,7$

${\log _{\frac{1}{2}}}1,7$

${\log _{2,6}}2,1$

Сравниваем каждый из логарифмов с нулём:

${\log _{\frac{1}{2}}}1,7 < 0,$

${\log _{5,6}}2,1 > 0$

Первый логарифм меньше нуля, второй — больше нуля, следовательно, первый логарифм меньше второго:

${\log _{\frac{1}{2}}}1,7 < {\log _{5,6}}2,1.$

Сравнивать логарифмы можно, опираясь непосредственно на определение логарифма.

Приемы и методы сравнения логарифмов

Сравнение значений логарифмов или значения логарифма с некоторым числом встречается в школьной практике решения задач не только как самостоятельная задача. Сравнивать логарифмы приходится, например, при решении уравнений и неравенств. Материалы статьи (задачи и их решения) располагаются по принципу “от простого к сложному” и могут быть использованы для подготовки и проведения урока (уроков) по данной теме, а также на факультативных занятиях. Количество рассматриваемых задач на уроке зависит от уровня класса, его профильного направления. В классах с углубленным изучением математики этот материал может быть использован для двухчасового урока-лекции.

1. (Устно.) Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими:

Замечание. Это упражнение является подготовительным.

2. (Устно.) Сравните с нулем:

Замечание. При решении упражнения № 2 можно использовать как свойства логарифмической функции с привлечением графика логарифмической функции, так и следующее полезное свойство:

если положительные числа a и b лежат на числовой прямой правее 1 или левее 1 (то есть a>1 и b>1 или 0<a<1 и 0<b<1), то log_ab > 0 ;
если положительные числа a и b лежат на числовой прямой по разные стороны от 1(то есть 0<a<1<b или 0<b<1<a), то log_ab < 0 [4].

Покажем использование этого свойства при решении № 2(а).

Так как функция y = log₇t возрастает на R₊, 10 > 7, то log₇10 > log₇7, то есть log₇10 > 1. Таким образом, положительные числа sin3 и log₇10 лежат по разные стороны от 1. Следовательно, log_sin3log₇10 < 0.

3. (Устно.) Найдите ошибку в рассуждениях:

. Функция y = lgt возрастает на R₊, тогда ,

Разделим обе части последнего неравенства на . Получим, что 2 > 3.

Положительные числа и 10 (основание логарифма) лежат по разные стороны от 1. Значит, < 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Устно.) Сравните числа:

Замечание. При решении упражнений № 4(a–c) используем свойство монотонности логарифмической функции. При решении № 4(d) используем свойство:

если c > a >1, то при b>1 справедливо неравенство log_ab > log_cb.

Так как 1 < 5 < 7 и 13 > 1, то log₅13 > log₇13.

5. Сравните числа log₂6 и 2.

Первый способ (использование монотонности логарифмической функции).

Функция y = log₂t возрастает на R₊, 6 > 4. Значит, log₂6 > log₂4 и log₂5 > 2.

Второй способ (составление разности).

6. Сравните числа и -1.

Функция y = убывает на R₊_, 3 < 5. Значит, > и > -1.

7. Сравните числа и 3log₈26.

Функция y = log₂t возрастает на R₊, 25 < 26. Значит, log₂25 < log₂26 и .

Умножим обе части неравенства на 3:

Функция y = log ₅t возрастает на R₊ , 27 > 25. Значит,

Составим разность
. Отсюда .

9. Сравните числа log₄26 и log₆17.

Оценим логарифмы, учитывая, что функции y = log₄t и y = log₆t возрастающие на R₊:

Учитывая, что функции убывающие на R₊, имеем:

Замечание. Предложенный метод сравнения называют методом “вставки” или методом “разделения” (мы нашли число 4, разделяющее данные два числа).

11. Сравните числа log₂3 и log₃5.

Заметим, что оба логарифма больше 1, но меньше 2.

Первый способ. Попробуем применить метод “разделения”. Сравним логарифмы с числом .

Второй способ (умножение на натуральное число).

Замечание 1. Суть метода “умножения на натуральное число” в том, что мы ищем натуральное число k, при умножении на которое сравниваемых чисел a и b получают такие числа ka и kb, что между ними находится хотя бы одно целое число.

Замечание 2. Реализация вышеописанного метода бывает весьма трудоемка, если сравниваемые числа очень близки друг к другу.
В этом случае можно попробовать сравнение методом “вычитания единицы”. Покажем его на следующем примере.

12. Сравните числа log₇8 и log₆7.

Первый способ (вычитание единицы).

Вычтем из сравниваемых чисел по 1.

В первом неравенстве мы воспользовались тем, что

если c > a > 1, то при b > 1 справедливо неравенство log_ab > log_cb.

Во втором неравенстве – монотонностью функции y = log_ax.

Замечание. Вычитать из сравниваемых чисел можно любое натуральное число n. При этом часто бывает достаточно взять n = 1.

Второй способ (применение неравенства Коши).

13. Сравните числа log₂₄72 и log₁₂18.

14. Сравните числа log₂₀80 и log₈₀640.

Пусть log₂5 = x . Заметим, что x > 0.

Найдем множество решений неравенства , удовлетворяющих условию x > 0.

Возведем обе части неравенства в квадрат (при x > 0 обе части неравенства положительны). Имеем 9x 2 < 9x + 28.

Множеством решений последнего неравенства является промежуток .

Учитывая, что x > 0, получаем: .

Ответ: неравенство верно.

Практикум по решению задач.

1. Сравните числа:

2. Расположите в порядке возрастания числа:

3. Решите неравенство 4 4 – 2 ·2 4+1 – 3 < 0 . Является ли число √2 решением данного неравенства? (Ответ: (– ∞; log₂3) ; число √2 является решением данного неравенства.)

Методов сравнения логарифмов много. Цель уроков по данной теме – научить ориентироваться в многообразии методов, выбирать и применять наиболее рациональный способ решения в каждой конкретной ситуации.

В классах с углубленным изучением математики материал по данной теме может быть изложен в форме лекции. Такая форма учебной деятельности предполагает, что материал лекции должен быть тщательно отобран, проработан, выстроен в определенной логической последовательности. Записи, которые делает учитель на доске, должны быть продуманными, математически точными.

Закрепление лекционного материала, отработку навыков по решению задач целесообразно проводить на уроках-практикумах. Цель практикума – не только закрепить и проверить полученные знания, но и пополнить их. Поэтому задания должны содержать задачи разного уровня, от самых простых задач до задач повышенной сложности. Учитель на таких практикумах выступает в роли консультанта.

Похожие публикации:

Как сохранить файл в компасе для более ранней версии

Как спрятать пароль

Как сравнить два файла в excel на различия

Как убрать атрибут только для чтения

Как сравнивать логарифмы

Сравнение логарифмов

Как сравнивать логарифмы

Приемы и методы сравнения логарифмов

Добавить комментарий Отменить ответ