Проблема уравнений 5-й и высших степеней
Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее уравнение степени n при неразрешимо в радикалах.
Содержание
Подробности
Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы состоит из доказательства двух фактов.
- При степениn многочлена больше или равной пятой, группой Галуа многочлена может являться группа перестановокSn .
- При группа перестановок Sn не является разрешимой.
Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.
Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение n -ной степени при не имеет решения. Если мы допускаем комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руфини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше пятой невозможно указать закрытую формулу для решений, то есть формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени. Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью используя численные методы, например метод Ньютона. Кроме того, для некоторых уравнений высших степеней существуют закрытые формулы, однако они не действительны для всех уравнений данной степени. Например, уравнение x 5 − 5x 4 − 10x 3 − 10x 2 − 5x − 1 = 0 имеет корень ![x=1+\sqrt[5]<2>+\sqrt[5]<4>+\sqrt[5]<8>+\sqrt[5]<16>» width=»» height=»» />.</p>
<h3>Закрытые формулы для степеней меньше пятой</h3>
<p>Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать закрытую формулу решения. Это можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. формулы Кардано и Феррари.</p>
<h3>История</h3>
<p>Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем. Немногим позже развившаяся теория Галуа позволила сформулировать современное изложение доказательства.</p>
<h3>Разрешимые типы уравнений</h3>
<p>Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:</p>
<h3>См. также</h3>
<h3>Литература</h3>
<ul>
<li>Edgar Dehn. <i>Algebraic Equations: An Introduction to the Theories of Lagrange and Galois</i>. Columbia University Press, 1930. ISBN 0-486-43900-3.</li>
<li>John B. Fraleigh. <i>A First Course in Abstract Algebra.</i> Fifth Edition. Addison-Wesley, 1994. ISBN 0-201-59291-6.</li>
<li>Ian Stewart. <i>Galois Theory</i>. Chapman and Hall, 1973. ISBN 0-412-10800-3.</li>
<li>Siegfried Bosch, <i>Algebra</i>. 6. Auflage. Springer, 2006. ISBN 3-540-29880-0, ISBN 978-3-540-29880-9. МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-86-3.</li>
</ul>
<h3>Ссылки</h3>
<ul>
<li><i>Weisstein, Eric W.</i>Abel’s Impossibility Theorem на сайте Wolfram MathWorld. (англ.)</li>
<li><i>Weisstein, Eric W.</i>Galois’s Theorem на сайте Wolfram MathWorld. (англ.)</li>
<li>David Terr & Eric W. Weisstein Galois Group на сайте Wolfram MathWorld. (англ.)</li>
<li><i>Weisstein, Eric W.</i>Solvable Group на сайте Wolfram MathWorld. (англ.)</li>
</ul>
<p> <em>Wikimedia Foundation . 2010 .</em> </p>
<h4>Полезное</h4>
<h4>Смотреть что такое «Проблема уравнений 5-й и высших степеней» в других словарях:</h4>
<p><strong>Классические проблемы математики</strong> — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки … Википедия</p>
<p><strong>Уравнение четвёртой степени</strong> — График многочлена 4 ой степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками. Уравнение четвёртой степени в математике алгебраическое уравнение вида: Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой… … Википедия</p>
<p><strong>Уравнение четвертой степени</strong> — Уравнение четвёртой степени в математике алгебраическое уравнение вида: . Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении… … Википедия</p>
<p><strong>АЛГЕБРА</strong> — часть математики, посвященная изучению алгебраических операций. Исторический очерк. Простейшие алгебраич. операции арифметич. действия над натуральными и положительными рациональными числами встречаются в самых ранних математич. текстах,… … Математическая энциклопедия</p>
<p><strong>Алгебра</strong> — Общие сведения Алгебра один из больших разделов математики (См. Математика), принадлежащий наряду с арифметикой (См. Арифметика) и геометрией (См. Геометрия) к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы А.,… … Большая советская энциклопедия</p>
<p><strong>ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ</strong> — алгебраич. уравнения или системы алгебраич. уравнений с рациональными коэффициентами, решения к рых отыскиваются в целых или рациональных числах. Обычно предполагается, что Д. у. имеют число неизвестных, превосходящее число уравнений, в связи с… … Математическая энциклопедия</p>
<p><strong>КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ.</strong> — КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ. Содержание:1. Квантовые поля . 3002. Свободные поля и корпускулярно волновой дуализм . 3013. Взаимодействие полей . 3024. Теория возмущений . 3035. Расходимости и… … Физическая энциклопедия</p>
<p><strong>ЛИ ГРУППА</strong> — группа G, обладающая такой структурой аналитического многообразия, что отображение прямого произведения в Gана литично. Другими словами, Ли г. это множество, наделенное согласованными структурами группы и аналитич. многообразия. Ли г. наз.… … Математическая энциклопедия</p>
<p><strong>АДДИТИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ</strong> — раздел теории чисел, в к ром изучаются задачи о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида, а также алгебраич. и геометрич. аналоги таких задач, относящиеся к полям алгебраич. чисел и к множествам точек решетки. Эти задачи наз.… … Математическая энциклопедия</p>
<p><strong>Шафаревич, Игорь Ростиславович</strong> — Игорь Ростиславович Шафаревич Дата рождения: 3 июня … Википедия</p>
<h2>Решение уравнений высших степеней</h2>
<p>В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4 , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4 -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.</p>
<p>Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.</p>
<h3>Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами</h3>
<p>Все уравнения, имеющие вид a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на a n n — 1 и осуществив замену переменной вида y = a n x :</p>
<p>a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n — 1 · a n n — 1 · x n — 1 + … + a 1 · ( a n ) n — 1 · x + a 0 · ( a n ) n — 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n — 1 y n — 1 + … + b 1 y + b 0 = 0</p>
<p>Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .</p>
<h3>Схема решения уравнения</h3>
<p>Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a 0 . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x — x 1 · P n — 1 ( x ) = 0 . Здесь x 1 является корнем уравнения, а P n — 1 ( x ) представляет собой частное от деления x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 на x — x 1 .</p>
<p>Подставляем остальные выписанные делители в P n — 1 ( x ) = 0 , начав с x 1 , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде ( x — x 1 ) ( x — x 2 ) · P n — 2 ( x ) = 0 .Здесь P n — 2 ( x ) будет частным от деления P n — 1 ( x ) на x — x 2 .</p>
<p>Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m . После этого исходное уравнение можно представить как x — x 1 x — x 2 · … · x — x m · P n — m ( x ) = 0 . Здесь P n — m ( x ) является многочленом n — m -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.</p>
<p>Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.</p>
<p>У нас в итоге получилось уравнение P n — m ( x ) = 0 , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.</p>
<p>Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.</p>
<p><strong>Условие:</strong> найдите решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = 0 .</p>
<p><em><strong>Решение</strong></em></p>
<p>Начнем с нахождений целых корней.</p>
<p>У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1 , — 1 , 3 и — 3 . Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.</p>
<p>При x , равном единице, мы получим 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 — 1 — 3 = 0 , значит, единица будет корнем данного уравнения.</p>
<p>Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 на ( х — 1 ) в столбик:</p>
<p>Значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .</p>
<p>Перебираем возможные делители дальше, но подставляем их в равенство x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 = 0 :</p>
<p>1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 ( — 1 ) 3 + 2 · ( — 1 ) 2 + 4 · — 1 + 3 = 0</p>
<p>У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный — 1 .</p>
<p>Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на ( х + 1 ) в столбик:</p>
<p>x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = ( x — 1 ) ( x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 ) = = ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + x + 3 )</p>
<p>Подставляем очередной делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0 , начиная с — 1 :</p>
<p>— 1 2 + ( — 1 ) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 ( — 3 ) 2 + ( — 3 ) + 3 = 9 ≠ 0</p>
<p>Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.</p>
<p>Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3 .</p>
<p>D = 1 2 — 4 · 1 · 3 = — 11 < 0</p>
<p>Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = — 1 2 ± i 11 2 .</p>
<p>Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.</p>
<table border=](https://dic.academic.ru/pictures/wiki/files/100/d17d7d38a0dc7dba767f8b8a061e7268.png)
В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .
После нахождения следующего корня, равного — 1 , мы получаем следующее:
| x i | коэффициенты многочлена | |||
| 1 | 2 | 4 | 3 | |
| 1 | 1 | 2 + 1 · ( — 1 ) = 1 | 4 + 1 · ( — 1 ) = 3 | 3 + 3 · ( — 1 ) = 0 |
Далее мы приходим к разложению x — 1 x + 1 x 2 + x + 3 = 0 . Потом, проверив оставшиеся делители равенства x 2 + x + 3 = 0 , вычисляем оставшиеся корни.
Ответ: х = — 1 , х = 1 , x = — 1 2 ± i 11 2 .
Условие: решите уравнение x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 = 0 .
Решение
У свободного члена есть делители 1 , — 1 , 2 , — 2 , 3 , — 3 , 4 , — 4 , 6 , — 6 , 12 , — 12 .
Проверяем их по порядку:
1 4 — 1 3 — 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 ( — 1 ) 4 — ( — 1 ) 3 — 5 · ( — 1 ) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 — 5 · 2 2 + 12 = 0
Значит, x = 2 будет корнем уравнения. Разделим x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 на х — 2 , воспользовавшись схемой Горнера:
| x i | коэффициенты многочлена | ||||
| 1 | — 1 | — 5 | 0 | 12 | |
| 2 | 1 | — 1 + 1 · 2 = 1 | — 5 + 1 · 2 = — 3 | 0 — 3 · 2 = 3 | 12 — 6 · 2 = 0 |
В итоге мы получим x — 2 ( x 3 + x 2 — 3 x — 6 ) = 0 .
Проверяем делители дальше, но уже для равенства x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 , начиная с двойки.
2 3 + 2 2 — 3 · 2 — 6 = 0
Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 на x — 2 :
| x i | коэффициенты многочлена | |||
| 1 | 1 | — 3 | — 6 | |
| 2 | 1 | 1 + 1 · 2 = 3 | — 3 + 3 · 2 = 3 | — 6 + 3 · 2 = 0 |
В итоге получим ( x — 2 ) 2 · ( x 2 + 3 x + 3 ) = 0 .
Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.
Решим квадратное уравнение:
x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 3 = — 3 < 0
Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = — 3 2 ± i 3 2 .
Ответ: x = — 3 2 ± i 3 2 .
Условие: найдите для уравнения x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 действительные корни.
Решение
x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0
Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:
2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0
Заменяем переменные y = 2 x :
2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0 y 4 + y 3 — 20 y — 48 = 0
В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4 -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y = — 2 , y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x = y 2 = — 2 2 = — 1 и x = y 2 = 3 2 .
Ответ: x 1 = — 1 , x 2 = 3 2
Советуем также ознакомиться с материалами, посвященными решению кубических уравнений и уравнений четвертой степени.
Лекция по теме "Уравнения высших степеней. Методы их решения". 9-й класс
Формулировка темы урока: “Уравнения высших степеней. Методы их решения”.
2. Актуализация знаний учащихся.
Теоретический опрос – беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений из теории. Учащиеся формулируют основные определения и дают формулировки необходимых теорем. Приводят примеры, демонстрируя уровень полученных ранее знаний.
- Понятие уравнения с одной переменной.
- Понятие корня уравнения, решения уравнения.
- Понятие линейного уравнения с одной переменной, понятие квадратного уравнения с одной переменной.
- Понятие равносильности уравнений, уравнения-следствия (понятие посторонних корней), переход не по следствию (случай потери корней).
- Понятие целого рационального выражения с одной переменной.
- Понятие целого рационального уравнения n-й степени. Стандартный вид целого рационального уравнения. Приведенное целое рациональное уравнение.
- Переход к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
- Понятие многочлена n-й степени от x. Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу. Теоремы о корнях (Z-корни и Q-корни) целого рационального уравнения с целыми коэффициентами (соответственно приведенного и неприведенного).
- Схема Горнера.
3. Изучение новой темы.
Будем рассматривать целое рациональное уравнение n-й степени стандартного вида с одной неизвестной переменной x : Pn(x) = 0 , где Pn(x) = anx n + an-1x n-1 + a1x + a0 – многочлен n-й степени от x, an ≠ 0 . Если an = 1 то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением n-й степени. Рассмотрим такие уравнения при различных значениях n и перечислим основные методы их решения.
n = 1 – линейное уравнение.
n = 2 – квадратное уравнение. Формула дискриминанта. Формула для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полного квадрата.
n = 3 – кубическое уравнение.
Пример: x 3 – 4x 2 – x + 4 = 0 (x – 4)(x 2 – 1) = 0 x1 = 4 , x2 = 1, x3 = -1.
Возвратное кубическое уравнение вида ax 3 + bx 2 + bx + a = 0. Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами.
Пример: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x1 = -1, x2 = 3 + 2, x3 = 3 – 2.
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный, и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Z-корнях приведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.
Пример: x 3 – 9x 2 + 23x – 15 = 0. Уравнение приведенное. Выпишем делители свободного члена <+1; +3; +5; +15>. Применим схему Горнера:
| x 3 | x 2 | x 1 | x 0 | вывод | |
| 1 | -9 | 23 | -15 | ||
| 1 | 1 | 1 х 1 – 9 = -8 | 1 х (-8) + 23 = 15 | 1 х 15 – 15 = 0 | 1 – корень |
| x 2 | x 1 | x 0 |
Получаем (x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x1 = 1, x2 = 3, x3 = 5.
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Q-корнях неприведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.
Пример: 9x 3 + 27x 2 – x – 3 = 0. Уравнение неприведенное. Выпишем делители свободного члена <+1; +3>. Выпишем делители коэффициента при старшей степени неизвестного. <+1; +3; +9> Следовательно, корни будем искать среди значений <+1; +; +; +3>. Применим схему Горнера:
| x 3 | x 2 | x 1 | x 0 | вывод | |
| 9 | 27 | -1 | -3 | ||
| 1 | 9 | 1 x 9 + 27 = 36 | 1 x 36 – 1 = 35 | 1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0 | 1 – не корень |
| -1 | 9 | -1 x 9 + 27 = 18 | -1 x 18 – 1 = -19 | -1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0 | -1 – не корень |
| 9 | x 9 + 27 = 30 | x 30 – 1 = 9 | x 9 – 3 = 0 | корень | |
| x 2 | x 1 | x 0 |
Получаем (x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x1 = , x2 = — , x3 = -3.
Для удобства подсчета при подборе Q-корней бывает удобно сделать замену переменной, перейти к приведенному уравнению и подбирать Z-корни.
- Если свободный член равен 1.
- Если можно воспользоваться заменой вида y = kx.
Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических уравнений – это формула Кардано. Эту формулу связывают с именами итальянских математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталья (1500–1557), Сципиона дель Ферро (1465–1526). Эта формула лежит за рамками нашего курса.
n = 4 – уравнение четвертой степени.
Пример: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3 ) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12 ) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x – 6) = 0 (x + 2)(x – 1)(x 2 + x + 6) = 0 x1 = -2, x2 = 1.
Метод замены переменной.
- Биквадратное уравнение вида ax 4 + bx 2 + с = 0.
Пример: x 4 + 5x 2 – 36 = 0. Замена y = x 2 . Отсюда y1 = 4, y2 = -9. Поэтому x1,2 = +2 .
- Возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.
Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами, путем замены вида
- Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.
- Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.
- Замена общего вида. Некоторые стандартные замены.
Пример 3. Замена общего вида (вытекает из вида конкретного уравнения).
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.
Формула общего вида. Существует универсальный метод решения уравнений четвертой степени. Эту формулу связывают с именем Людовико Феррари (1522–1565). Эта формула лежит за рамками нашего курса.
n > 5 – уравнения пятой и более высоких степеней.
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.
Симметрические уравнения. Любое возвратное уравнение нечетной степени имеет корень x = -1 и после разложения его на множители получаем, что один сомножитель имеет вид (x + 1), а второй сомножитель – возвратное уравнение четной степени (его степень на единицу меньше, чем степень исходного уравнения). Любое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем вида x = φ содержит и корень вида . Используя эти утверждения, решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.
Метод замены переменной. Использование однородности.
Не существует формулы общего вида для решения целых уравнений пятой степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765–1822) и норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802–1829)) и более высоких степеней (это показал французский математик Эварист Галуа (1811–1832)).
- Напомним еще раз, что на практике возможно использование комбинации перечисленных выше методов. Удобно переходить к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
- За рамками нашего сегодняшнего обсуждения остались широко используемые на практике графические методы решения уравнений и методы приближенного решения уравнений высших степеней.
- Бывают ситуации, когда у уравнения нет R-корней. Тогда решение сводится к тому, чтобы показать, что уравнение корней не имеет. Для доказательства анализируем поведение рассматриваемых функций на промежутках монотонности. Пример: уравнение x 8 – x 3 + 1 = 0 не имеет корней.
- Использование свойства монотонности функций. Бывают ситуации, когда использование различных свойств функций позволяет упростить поставленную задачу.
Пример 1: уравнение x 5 + 3x – 4 = 0 имеет один корень x = 1. По свойству монотонности анализируемых функций других корней нет.
Пример 2: уравнение x 4 + (x – 1) 4 = 97 имеет корни x1 = -2 и x2 = 3. Проанализировав поведение соответствующих функций на промежутках монотонности, заключаем, что других корней нет.
4. Подведение итогов.
Резюме: Теперь мы овладели основными методами решения различных уравнений высших степеней (для n > 3). Наша задача научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы. В зависимости от вида уравнения мы должны будем научиться определять, какой способ решения в данном случае является наиболее эффективным, а также правильно применять выбранный метод.
5. Домашнее задание.
[1]: п.7, стр. 164–174, №№ 33–36, 39–44, 46,47.
[4]: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.
Возможные темы докладов или рефератов по данной тематике:
- Формула Кардано
- Графический метод решения уравнений. Примеры решения.
- Методы приближенного решения уравнений.
Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:
Опыт показывает, что интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора Z-корней и Q-корней уравнений при помощи достаточно простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно упрощать вид задачи. Особый интерес обычно вызывают графические методы решения. В этом случае дополнительно можно разобрать задачи на графический метод решения уравнений; обсудить общий вид графика для многочлена 3, 4, 5 степени; проанализировать, как связано число корней уравнений 3, 4, 5 степени с видом соответствующего графика. Ниже приведен список книг, в которых можно найти дополнительную информацию по данной тематике.