Как найти весь путь

Формула пути

$S = \frac{a t^{2}}{2} + v_{0} t$

Здесь – пройденный путь, – ускорение тела, $v_{0}$ – начальная скорость тела, — время ускоренного движения.

Единица измерения пути – м (метр).

Путь – скалярная величина. Путь – это мера того, какое расстояние преодолело тело в ходе движения. $v_{0}$ – это скорость, с которой тело двигалось к моменту начала ускорения. У этой формулы есть 2 частных случая:

1) Движение равномерное (без ускорения)

$S = v t$

Это самый распространённый в задачах, простейший случай. Когда про ускорение ничего не сказано, то под формулой пути имеется в виду именно эта формула.

2) Движение, начатое с неподвижного состояния (без начальной скорости)

$S = \frac{a t^{2}}{2}$

Путь не нужно путать с перемещением – мерой расстояния между конечной и начальной точкой движения.

Примеры решения задач по теме «Путь тела»

Задание	Найти путь, который прошло тело, движущееся с ускорением 1 м/с $^{2}$ в течение 16 с. Начальная скорость была 30 м/с.
Решение	Все исходные данные нам известны. Подставим их в формулу:

(м)

Задание

В первый промежуток времени тело двигалось равномерно со скоростью vв течение времени

. Затем на него подействовало ускорение

, действующее в направлении, обратном направлению движения. Найти скорость тела к моменту повторного прохождения точки начала движения.

Решение

Пусть $v_{1}$ – скорость, которую нужно найти. Положим точку начала движения началом координат. Рассмотрим характер движения. В первый период времени (

) тело двигалось равномерно, преодолев за это время расстояние $S_{1}$ :

$S_{1} = v t$

Затем тело замедлялось, пока его скорость не обнулилась ( $t_{1}$ – время замедления):

$0 = v - a t_{1} \text{ } \rightarrow \text{ } t_{1} = \frac{v}{a}$

Пусть $S_{2}$ – расстояние, пройденное в ходе замедления:

$S_{2} = \frac{-a t_{1}^{2}}{2} + v t_{1} = \frac{-a \cdot \frac{v^{2}}{a^{2}}}{2} + \frac{v^{2}}{a} = \frac{v^{2}}{2a}$

Затем тело прошло расстояние $S_{1} + S_{2}$ в обратную сторону без начальной скорости с ускорением , за время $t_{2}$ :

Как узнать путь к файлу в Windows

Соавтор(ы): Nicole Levine, MFA. Николь Левин — автор и редактор, пишущий о технологиях для wikiHow. Имеет более 20 лет опыта в написании технической документации и руководстве командами технической поддержки в крупных компаниях, занимающихся веб-хостингом и разработкой программного обеспечения. Получила магистерскую степень по писательскому мастерству в Портлендском государственном университете и преподает композицию, литературное творчество и создание фэнзинов в различных учебных заведениях.

Как посчитать путь ускоряющегося тела не используя время

Существует формула, с помощью которой можно посчитать путь, пройденный телом, когда нам известны его начальная скорость, ускорение и конечная скорость.

Сокращенно эту формулу называют «путь без времени». Так ее называют потому, что в правой ее части время t движения отсутствует (рис. 1).

Формула пути без времени помогает упростить решение некоторых задач кинематики. Особенно, задач, части C.

Однако, не торопитесь на ЕГЭ записывать эту формулу в готовом виде. Сначала в решении задачи нужно записать вывод этой формулы. И только потом ее можно использовать.

Формулу выводят из выражений для равнопеременного движения. Сейчас я помогу вам вывести эту формулу с помощью нескольких простых шагов.

Выводим формулу пути без времени

Для определенности будем считать, что тело движется по прямой все быстрее и быстрее. То есть, скорость тела увеличивается, так как появляется ускорение.

В таком случае векторы ускорения и скорости тела будут сонаправленными (параллельными и направленными в одну и ту же сторону).

Сонаправленные или противоположно направленные векторы называют коллинеарными векторами. Прочитайте подробнее о коллинеарных векторах.

Чтобы вычислить путь тела, когда скорость его увеличивается, нужно использовать две формулы:

$ \large v_ <0>\left( \frac<\text<м>> \right)$ – начальная скорость тела;

$ \large v \left( \frac<\text<м>> \right)$ – конечная скорость;

$ \large a \left( \frac<\text<м>>> \right)$ – ускорение тела;

$ \large S \left( \text <м>\right)$ – путь, пройденный телом;

$\large t \left( c \right)$ – время, за которое тело прошло этот путь.

В формуле для пути S присутствует время t. Получим из нее формулу для пути, в которой время будет отсутствовать.

сначала получить выражение для времени t из уравнения для скорости;
затем в формулу пути подставить полученное выражение вместо времени t.

Выражаем время из формулы для скорости

Выпишем формулу, связывающую начальную и конечную скорость тела:

\[ \large v = v_ <0>+ a \cdot t \]

Избавимся в правой части от начальной скорости, обозначенной символом $ v_<0>$. Для этого из обеих частей уравнения вычтем число $ v_<0>$. Получим такую запись:

\[ \large v — v_ <0>= a \cdot t \]

Теперь, чтобы справа в формуле оставалось только время «t», избавимся от ускорения «a». Для этого разделим обе части уравнения на «a»:

Это выражение нам пригодится для дальнейшего вывода формулы «путь без времени».

В формулу пути подставим выражение для времени

Запишем теперь формулу для пути S и полученную формулу для времени t, объединив их в систему:

В первом уравнении системы будем заменять символ t дробью из второго уравнения. Тогда система из двух уравнений превратится в единственное уравнение. И в этом уравнении не будет символа t времени:

Осталось теперь упростить полученное выражение. Будем производить упрощение по частям.

Упрощаем выражение, расположенное до знака «плюс» в правой части

Выпишем отдельно все, что располагается до знака «плюс» в правой части уравнения:

Умножим числитель дроби на число $v_<0>$.

сначала числитель обособим скобками;
затем запишем число $v_<0>$ перед скобками;
а потом внесем это число внутрь скобок.

В числитель дроби, обособленный с помощью скобок помещаем число $v_<0>$:

Теперь необходимо умножить скобку на число $v_<0>$. На рисунке 2 указано, как правильно выражение в скобках умножить на число, стоящее за скобками.

Нужно к каждой скорости в скобках дописать число $v_<0>$, умножая его на эти скорости. Получим такое выражение:

То есть, вместо первоначальной записи, мы получили такую запись:

Возводим в квадрат дробь

После знака «плюс» в правой части уравнения располагается дробь, которую нужно возвести в квадрат. Обратим внимание на эту дробь:

Правильно возвести дробь в степень поможет рисунок 3.

В результате возведения в квадрат дробь приобретет такой вид:

В числителе этой дроби находится выражение в скобках, которое нужно возвести в квадрат. И нам придется применить одну из формул сокращенного умножения. Запоминать формулы сокращенного умножения удобно в виде, приведенном на рисунке 4.

Используем для этого формулу сокращенного умножения, которая содержит знак «минус». Она называется «Квадрат разности». Тогда числитель дроби превратится в такую запись:

Теперь можем записать полученную дробь:

Упрощаем правую часть, записанную после знака «плюс»

Обратим внимание на все, что располагается в правой части уравнения после знака «плюс»:

Мы уже провели некоторые преобразования и можем теперь заменить дробь, возводимую в квадрат более подробной записью:

Примечание: Когда мы умножаем одну дробь на другую, то можем менять местами знаменатели этих дробей.

Итак, поменяем местами знаменатели дробей:

Теперь видно, что мы можем сократить ускорение и еще немного упростить выражение:

А перемножив числители и знаменатели двух дробей, получим такую запись:

Теперь, первоначальную дробь можно заменить дробью, полученной в ходе преобразований:

Мы закончили преобразовывать выражения, содержащиеся в правой части уравнения после знака «плюс».

Теперь, осталось сложить две дроби в правой части – дробь, записанную до знака «плюс» с дробью, записанной после знака «плюс». А чтобы эти дроби можно было сложить, нужно будет привести их к общему знаменателю.

Приводим к общему знаменателю дроби в правой части уравнения

Вернемся еще раз к первоначальному уравнению:

Заменим правую часть этого уравнения выражениями, которые мы получили:

Сравним знаменатели дробей.

Первая дробь обладает знаменателем «a», а вторая – «2a». Выберем число «2a» в качестве общего знаменателя обеих дробей.

Чтобы первую дробь привести к общему знаменателю «2a», умножим ее на единицу:

Примечания:

Нам известно, что если какое-либо число умножить на единицу, то после умножения это число не изменится. Значит, если какое-либо выражение умножить на единицу, то полученное выражение останется равным самому себе. На единицу можно умножать все, что угодно – дроби, выражения в скобках и т. п.
Математики часто применяют прием умножения на единицу. А после этого единицу записывают в виде некоторой дроби. При этом используют правило: Единица – это дробь, у которой числитель и знаменатель равны (одинаковые).

Так как снизу в первой дроби не хватает числа 2, то единицу представим в виде дроби 2/2:

Получим такую дробь:

Поместим ее в выражение для пути:

Дроби с одинаковыми знаменателями складываем

Теперь знаменатели дробей равны. И мы можем записать эти дроби под общим знаменателем:

Раскроем скобки в числителе полученного выражения:

Примечание: Обратим внимание на то, что в числителе дважды встречается член $2v_ <0>v$, обладающий различными знаками. В начале числителя – знаком «плюс», а в конце числителя – знаком «минус». Это означает, что из числа $2v_<0>v$ вычитается такое же число $2vv_<0>$. В конце концов, это число покидает нашу запись и, она упрощается:

Перепишем выражение, записав все, что содержит знак «плюс» в начало числителя:

Вычтем подобные члены, содержащие $ v^<2>_<0>$:

В результате получим короткую запись. Именно о ней говорят, когда имеется ввиду формула пути без времени: