Периметр геометрической фигуры по координатам вершин — как найти?
Как находить периметр геометрических фигур (треугольник, четырёхугольник, многоугольник) по известным координатам вершин?
Какая формула должна использоваться?
Формула для вычисления длины стороны АВ по известным координатам:
Аналогичным образом высчитываются остальные стороны, а затем полученные величины суммируются.
Периметр по координатам
Периметр фигуры — это сумма длин всех её сторон. Чтобы в нашем случае найти длины сторон, нужно воспользоваться формулой длины отрезка по заданным координатам (x1; y1) и (x2; y2):
Последовательно складываем все полученные значения и получаем периметр.
Если в задаче вид фигуры (квадрат, прямоугольник, равносторонний треугольник и т.п.) оговаривается заранее, то находить все длины может и не понадобиться.
Например, периметр квадрата ABCD будет равен 4 * AB, так как у этой фигуры все стороны равны. То есть будет достаточно вычислить, чему равна сторона AB и умножить её на 4.
Рассмотрим несколько примеров.
1) Треугольник ABC имеет координаты A(1,1); B(1,3); C(2,1).
P(ABC) = AB + AC + BC.
BC = √(1² + (-2)²) = √5 ≈ 2,24.
Таким образом, P(ABC) ≈ 2 + 1 + 2,24 = 5,24.
2) Прямоугольник ABCD имеет координаты A(2,1); B(2,4); C(3,4); C(3,1).
P(ABCD) = 2AB + 2BC (так как по определению прямоугольника AB = CD и BC = AD).
Таким образом, P(ABC) = 3 * 2 + 1 * 2 = 8.
Найти периметр по координатам можно и без использования формулы длины отрезка.
Порядок действий такой:
Нужно взять лист бумаги в клетку (или даже миллиметровую бумагу) и начертить систему координат.
Отмечаем на ней все точки и соединяем их линиями.
Затем с помощью линейки измеряем длину каждой линии и складываем все значения.
Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости
В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.
Решения задач о треугольнике онлайн
Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $\cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.
Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.
Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.
Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.
Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.
Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.
Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.
Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.
Расчет треугольника по координатам вершин
Этот онлайн калькулятор по введенным координатам вершин вычисляет параметры треугольника: длины сторон, углы, периметр и площадь.
Этот онлайн калькулятор предназначен для быстрого вычисления ряда характеристик треугольника по координатам его вершин. Вы вводите координаты вершин A, B и C. Калькулятор рассчитывает по координатам следующие величины:
Обозначения треугольника
- длину стороны a — стороны, противолежащей вершине А
- длину стороны b — стороны, противолежащей вершине B
- длину стороны c — стороны, противолежащей вершине C
- значение угла α при вершине A
- значение угла β при вершине B
- значение угла γ при вершине C
- периметр треугольника
- площадь треугольника
Если нужно что-то еще, пишите в комментариях, добавим. Формулы расчета значений треугольника описаны под калькулятором.