Орт вектора
Ортом или единичным вектором 
называется вектор, модуль которого равен единице.
Примеры решения задач на нахождение орта вектороа
| Задание | Проверить, является ли вектор  единичным? |
| Решение | Найдем длину этого вектора, она равна корню квадратному из суммы квадратов координат: |
![\[\left|\bar{a}\right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(\frac{\sqrt{3} }{2} \right)^{2} } =\sqrt{\frac{1}{4} +\frac{3}{4} } =\sqrt{\frac{4}{4} } =1\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb90070f7db3a5e8f637968a371796b8_l3.png)
Поскольку длина вектора 
равна единице, то этот вектор является ортом.
Чтобы найти орт некоторого вектора , необходимо это вектор поделить на его модуль:
![\[\bar{e}=\frac{\bar{a}}{\left|\bar{a}\right|} ,\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-369265526c78ad5285f0529e34f95fd9_l3.png)
то есть каждую координату вектора поделить на число, равное его длине.
| Задание | Найти орт вектора  |
| Решение | Искомый орт |
![\[\bar{e}=\frac{\bar{a}}{\left|\bar{a}\right|} \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9661d528363ee01d4a4f5dc98772ed9f_l3.png)
Найдем модуль вектора как корень квадратный из суммы квадратов его координат:
Что такое орты
На рисунке 1 изображены орты для двумерного а) и трехмерного б) случаев.
Орты сонаправлены с осями, на которых они лежат:
- Орт \( \vec \) направлен вдоль оси Ox;
- Орт \( \vec
\) направлен вдоль оси Oy; - Орт \( \vec
\) направлен вдоль оси Oz;
Орты обладают единичной длиной:
Все три орта взаимно перпендикулярны. Перпендикулярные векторы часто называют ортогональными.
Любые два орта из трех, лежат в одной плоскости:
- Орты \( \vec \) и \( \vec
\) лежат в плоскости xOy; - Орты \( \vec \) и \( \vec
\) лежат в плоскости xOz; - Орты \( \vec
\) и \( \vec \) лежат в плоскости yOz;
Векторы, лежащие в одной плоскости, называют компланарными. Об этом подробно написано «здесь» (откроется в новой вкладке).
Координаты вектора можно указать двумя способами. Либо, перечислив эти координаты в скобках, либо, с помощью разложения вектора по ортам.
Как найти орт вектора
Задание. На плоскости задан вектор $\bar=(-2 ; 2)$ . Найти его орт.
Решение. Для нахождения орта заданного вектора воспользуемся формулой:
Подставляя заданные координаты, получим:
Задание. Даны точки $A(3 ;-1 ; 4)$ и $B(2 ; 0 ; 2)$ . Найти орт вектора $\overline$
Решение. Найдем координаты вектора $\overline$, для этого из координат конца вектора (точки $B$ ) вычтем соответствующие координаты начала (точки $A$ ):
Для нахождения орта полученного вектора воспользуемся формулой
Подставим в неё координаты вектора $\overline$, будем иметь:
Таким образом, орт вектора $\overline$ имеет координаты $\bar