Как найти катет в прямоугольном треугольнике?
по ней, если катеты a и b, а гипотенуза c, то:
Отсюда можно найти катет, зная длину гипотенузы и второго катета:
Также находим и b:
Ещё можно найти катет через тригонометрические функции, то есть зная угол через синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы и т.д.
Если представить треугольник как вписанный в круг, то зная угол и размер гипотенузы можно найти катеты.
В рассматриваемом треугольнике, вписанном в круг, гипотенуза будет радиусом круга и приравнивается к 1 (к единице). А катеты — это синус и косинус, они меньше единицы.
Допустим зная угол α можно вычислить sin(α) и cos(α).
Синус соответствует вертикальному катету, а косинус горизонтальному.
Теперь, чтобы найти длины этих катетов, нужно перевести их из коэффициентов, которые меньше единицы, в реальные длины. Для этого их нужно домножить на длину гипотенузы:
Y — вертикальный катет, а X — горизонтальный катет (см. картинку) a Z — гипотенуза, то:
Можно найти катет и зная лишь длину второго катета, а также угол.
Допустим знаем Y и угол α.
Тогда запросто находим гипотенузу, выражая её из предыдущей формулы:
А затем уже находим второй катет: X=Z*cos(α)
Если же наоборот знаем только X катет (горизонтальный, относительно приведённого рисунка), то находим гипотенузу так:
Как найти катет прямоугольного треугольника
С задачками по геометрии сталкиваются все в средней школе. Кому-то такие задачки даются сложно, а кто-то их щелкает, как орешки. На самом деле эти задачи не особо сложные, просто нужно вникнуть и понять определенный алгоритм решения. Давайте подробнее разберем, как найти катет прямоугольного треугольника.
Геометрические определения
- Если у треугольника есть прямой угол (∠=90 о ), то он является прямоугольным.
- Катет – линия, создающая угол 90 градусов в треугольнике.
- Гипотенуза – линия, которая находится напротив угла равного 90 градусов.
- Две ортогональные линии образуют прямой угол, величина которого 90 градусов. Еще можно сказать, что это половина развернутого угла.
Свойства сторон в прямоугольном треугольнике
Гипотенуза всегда больше каждого из катетов.
Сторона, которая находится напротив угла равного 30 градусов, равна половине величины гипотенузы.
К прямоугольному треугольнику можно применить теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Формулы для решения задач
- Если мы знаем величину одного катета А и гипотенузы С, то второй катет B мы вычислим при помощи теоремы Пифагора.
- Угол А мы может определись с помощью формулы синуса:
- Так как сумма всех углов геометрической фигуры всегда равна 180 градусов, то другой острый угол можно вычислить по формуле:
Примеры решения задач
Задача №1:
В треугольнике АВС с ∠А=90 градусов, ∠С=60 градусов и катетом АВ=5 см. Найти длину катета АС.
В прямоугольном треугольнике АВС найдем угол В:
∠В=90 о — ∠С=90 о — 60 о = 30 о
Поскольку ∠В=30 о , то катет АВ равен половине гипотенузы ВС, а значит,
Длину катета АС найдем с помощью теоремы Пифагора:
Задача №2:
В равнобедренном и прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза больше катета на 2 см. Найти длину сторон треугольника.
В треугольной фигуре АВС обозначим катеты АВ=АС=х, тогда ВС=2+х. Запишем теорему Пифагора для данного треугольника:
ВС 2 = АВ 2 + АС 2 => (х+2) 2 = х 2 + х 2 или х 2 – 4х – 4 = 0
Решая это уравнение и учитывая условия задачи, получим
т.е. АВ = АС = (2+2) см, ВС = (4+2) см
Ответ: АВ = АС = (2+2) см, ВС = (4+2) см
Как видите, процесс решения геометрических задач по нахождению катета в прямоугольном треугольнике не особо сложный. Нужно просто приложить усилия, посидеть и вникнуть в суть задачи. Когда начнете писать формулы, решение придет к вам само. Удачи в решении задачек по геометрии, теперь вы знаете, как найти катет прямоугольного треугольника.
Катет "A" и гипотенуза прямоугольного треугольника
Зная катет и гипотенузу прямоугольного треугольника, можно вычислить по теореме Пифагора второй катет и далее рассчитать по формулам все возможные показатели. Второй катет будет равен квадратному корню из разницы между квадратами гипотенузы и известного катета. b=√(c^2-a^2 )
Тогда периметр будет суммой двух известных сторон и полученного радикала, а площадь – произведением половины радикала на известную сторону. P=a+c+√(c^2-a^2 ) S=(a√(c^2-a^2 ))/2
Углы при гипотенузе, выраженные только через известные стороны будут представлять собой отношения синуса и косинуса. (рис. 79.1) sinα=a/c cosβ=a/c
Также второй угол можно найти, используя равенство суммы углов при гипотенузе и 90 градусов. α+β=90°
Единственная высота прямоугольного треугольника равна произведению известного катета на прилежащий ему угол из второго прямоугольного треугольника образованного высотой. (рис. 79.2) h=a sinβ
Медиана прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна ее половине, а для того чтобы вычислить другие медианы в прямоугольном треугольнике, можно воспользоваться общими формулами, приведенными по теореме Пифагора. m_с=c/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2=√(4a^2+c^2-a^2 )/2=√(3a^2+c^2 )/2 m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4b^2+a^2 )/2=√(4(c^2-a^2)+a^2 )/2=√(4c^2-3a^2 )/2
Биссектриса прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, состоит из произведения катетов на корень из двух, деленного на сумму катетов. Биссектрисы, опущенные на катеты, можно найти, умножив второй катет на корень из произведения удвоенной гипотенузы и суммы второго катета с единицей, деленный на сумму второго катета и гипотенузы. l_с=(a√(2(c^2-a^2)))/(a+√(c^2-a^2 )) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c)=(√(c^2-a^2 ) √(2c(√(c^2-a^2 )+c) ))/(√(c^2-a^2 )+c) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)
Средняя линия прямоугольного треугольника равна половине катета или гипотенузы, которой она параллельна. (рис.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=√(c^2-a^2 )/2 M_c=c/2
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен полусумме катетов за вычетом гипотенузы, а радиус описанной окружности – половине гипотенузы. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+√(c^2-a^2 )-c)/2 R=c/2