Как умножать и делить степени? Что делают при умножении и делении степеней?
Как умножать и делить степени с одинаковыми основаниями?
Как умножать и делить степени с разными основаниями?
Основание степени это любое число а и арифметические действия с ними выполняются по обычным правилам. Вероятно автор спрашивает как умножать и делить числа в степенях, например а в степени х умножить на а в степени у:(а^х)*(а^у). В этом случае показатели складывают , получается а^(х+у), например 3^2*3^4=3^6= 3*3*3*3*3*3=9*9*9=72 9 . При делении из показателя степени числителя вычитается показатель знаменателя, например (3^4)/(3^2)=3^(4-2)= 3^2=9.
Если говорить простыми словами, то возведение числа в степень — это операция, при которой число многократно умножается само на себя.
Здесь число a — это основание степени, а число n — это показатель степени.
Умножение степеней.
При умножении степеней их основания могут совпадать, а могут различаться.
Сначала рассмотрим, как умножать степени с одинаковыми основаниями.
Для этого нужно сложить показатели степеней, а основания оставить без изменений.
Здесь a — основание степеней, а n и m — показатели.
Проверить эту формулу очень легко — достаточно возвести в степень каждый множитель, а затем перемножить полученные числа.
6² * 6³ = (6*6) * (6*6*6) = 36 * 216 = 7776.
Теперь об умножении степеней с разными основаниями.
Здесь возможны 3 варианта:
1) Основания степеней различаются, но показатели совпадают.
В этом случае нужно перемножить основания и возвести их в указанную степень.
5³ * 6³ = (5 * 6)³ = 30³ = 27000.
2) Основания и показатели различаются, но имеется возможность привести степени к одному основанию.
Здесь 81 можно представить в виде 9².
Поэтому 81² = (9²)² = 9^4 (при возведении степени в степень показатели перемножаются).
В итогу получим, что 9² * 81² = 9^2 * 9^4 = 9^6 = 531441.
3) Основания и показатели различаются, но можно привести данные степени к одному показателю.
8^4 можно представить как 8² * 8².
5² * 8^4 = 5² * 8² * 8² = (5*8*8)² = 320² = 102400.
4) Основания и показатели различаются, возможность приведения степеней к одному основанию и показателю отсутствует.
Основания и показатели в этом случае являются простыми числами. Поэтому здесь единственный вариант — возводить в степень каждый множитель отдельно, а затем перемножать результаты.
3² * 7³ = 9 * 343 = 3087.
Деление степеней.
Здесь всё по аналогии с умножением — основания степеней бывают одинаковыми, а бывают разными.
Если вы выполняете деление степеней с одинаковыми основаниями, то нужно делать следующее:
Основания оставить без изменений, а показатели степеней отнять друг от друга.
Проверка выполняется описанным выше способом:
7³ : 7² = 343 : 49 = 7.
Что касается деления степеней с разными основаниями, то здесь все принципы будут аналогичны умножению.
Если основания и показатели степеней — простые числа, то нужно отдельно возводить в степень делимое и делитель.
В ином случае степени можно привести либо к одному основанию, либо к одному показателю.
Вот несколько примеров:
4² : 2^4 = 4² : (2²)² = 4² : 4² = 1.
10³ : 5³ = (10 : 5)³ = 2³ = 8.
9³ : 2^6 = 9³ : (2³ * 2³) = 4,5³ : 2³ = 2,25³ = 11,390625.
Дело в том, что можно умножать или делить степени только в том случае, если эти степени имеют одинаковые основания или степени, или и то, и другое. Основания могут быть разные, но возможно привести их к одному основанию, например, если основание одной степени равно двум, а другой — четырём, то надо вспомнить, что четыре-это два в квадрате. Если степени имеют одинаковые основания, то показатели при умножении степеней складываются, если наоборот, основания разные, а показатели одинаковые, то можно основания умножать, а показатель оставить общим, если оба основания а показатели разные, так что ничего не остаётся, как сначала посчитать, то есть, возвести в степень, а потом просто умножить результат. То же самое и с делением степеней. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, а если основания разные, а показатели одинаковые, то основания делятся и показатель становится общим.
Правила умножения и деления степеней
Степенью n для числа а является произведение множителей, которые по величине равны а, взятое n раз.
здесь а представляет собой основание степени, n определяет ее показатель.
Таким образом, можно составить формулу:
a n = a × a × a … × a
Запись можно прочитать, как «a в степени n».
Степенное выражение представляет собой такое выражение, в состав которого входит степень.
Перед тем, как рассмотреть действия со степенными выражениями, полезно вспомнить свойства степени:
- Произведение степеней. Если степени, которые требуется умножить, имеют одинаковые основания, то основание оставляют неизменным, а показатели степеней суммируют. То есть, a n × a m = a m + n , где а является основанием степени, n и m — это показатели степени в виде каких-либо натуральных чисел.
- Частное степеней. При делении степеней, имеющих одинаковые основания, следует оставить основание прежним, а показатель степени делимого уменьшить на показатель степени делителя. Например, a m a n = a m — n , где а является основанием степени, n и m — это показатели степени в виде каких-либо натуральных чисел, m > n .
- Возведение степени в квадрат. При возведении степени в степень основание степени сохраняют прежним, а показатели перемножают. К примеру, ( a n ) m = a n × m , где а является основанием степени, n и m — это показатели степени в виде каких-либо натуральных чисел.
- Степень произведения. Для того чтобы возвести в степень произведение, требуется каждый из множителей возвести в эту степень. Результаты, которые получились в итоге, необходимо перемножить. То есть: ( a × b ) n = a n × b n , где а и b являются основаниями степени, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
- Степень частного. Для возведения в степень частного нужно возвести в данную степень по отдельности делимое и делитель. Затем первый получившийся результат следует разделить на второй. К примеру, ( a ÷ b ) n = a n ÷ b n , где а и b являются основаниями степени, не равными нулю, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
Правила умножения, что происходит
Если степени имеют одинаковые показатели, то в процессе их перемножения следует умножить между собой основания, а показатель записать без изменений:
a n × b n = ( a ÷ b ) n ,
где а и b являются основаниями степени, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
В качестве примера решим несколько простых уравнений:
a 5 × b 5 = ( a × a × a × a × a ) × ( b × b × b × b × b ) = ( a × b ) n = ( a b ) × ( a b ) × ( a b ) × ( a b ) × ( a b ) = ( a b ) 5
3 5 × 4 5 = ( 3 × 4 ) 5 = 12 5 = 248832
16 a 2 = 4 2 × a 2 = ( 4 a ) 2
Когда требуется найти произведение степеней, которые обладают одинаковыми основаниями, следует сложить показатели степеней:
a n × a m = a m + n , где а является основанием степени, n и m — это показатели степени в виде каких-либо натуральных чисел.
В качестве примеров рассмотрим несколько вычислений:
3 5 × 3 2 = 3 5 + 3 = 3 8 = 6561
2 8 × 8 1 = 2 8 · 2 3 = 2 11 = 2048
При умножении чисел, которые имеют разные степени, но схожи по основаниям, необходимо руководствоваться правилом, рассмотренным в предыдущем примере. То есть:
a n × b n = ( a × b ) n ,
где а и b являются основаниями степени, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
Бывают ситуации, когда числа отличаются по степеням и по основаниям, а также какое-то из оснований невозможно преобразовать в число с аналогичной степенью, как у второго числа. В этом случае нужно возвести в степень каждое число, а на втором шаге выполнить умножение.
3 3 × 5 2 = 27 × 25 = 675
Правила деления
Когда требуется выполнить деление степеней, которые имеют разные основания, но схожи по показателям, нужно найти разность показателей и оставить основание без изменений:
a m a n = a m — n ,
где а является основанием степени, n и m — это показатели степени в виде каких-либо натуральных чисел, m>n.
В качестве примеров рассмотрим несколько выражений:
11 3 × 4 4 11 × 4 2 = 11 3 — 1 × 4 4 — 2 = 11 2 × 4 2 = ( 11 × 4 ) 2 = 1936
2 a 4 2 a 3 = 2 a 4 — 3 = 2 a
Деление степеней, которые имеют одинаковые показатели, подразумевает возведение результата частного данных чисел в степень:
a n ÷ b n = ( a ÷ b ) n ,
где а и b являются основаниями степени в виде любых рациональных чисел, не равных нулю, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
5 12 ÷ 3 12 = ( 5 ÷ 3 ) 12 = ( 1 2 3 ) 12
Предположим, что требуется выполнить деление чисел со степенями. При этом степени не одинаковые, а основания идентичные. Тогда следует руководствоваться правилом, рассмотренным в предыдущем примере:
a m a n = a m — n
В том случае, когда отличаются не только степени, но и основания, необходимо возвести в степень каждое из чисел, а затем выполнить умножение. Например:
3 3 5 2 = 27 25 = 1 , 08
Примеры решения заданий для 7 класса
Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих одинаковое основание:
2 3 × 2 2 = 2 5 = 32
Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих одинаковое основание, чтобы избавиться от необходимости возводить число в большую степень:
2 7 = 2 3 × 2 4 = 8 × 16 = 128
Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих разные основания, но одинаковые показатели:
3 2 × 2 2 = ( 3 × 2 ) 2 = 6 2 = 36
Здесь можно применить правило деления степеней с одинаковым основанием и разными показателями:
3 3 3 2 = 3 3 — 2 = 3 1 = 3
Здесь можно применить правило деления степеней с одинаковым основанием и разными показателями:
2 2 2 2 = 2 2 — 2 = 3 0 = 1
Воспользуемся свойством деления степеней, когда основания отличаются, а показатели совпадают:
Долой калькулятор: 12 простых трюков, которые помогут вам быстро считать
Как бы мы ни хотели это признавать, учителя были правы: математика нужна каждому из нас. Но далеко не всем дается ловкое жонглирование числами. Тогда на помощь приходят легко запоминающиеся математические приемы – настоящее спасение, когда под рукой, как назло, нет калькулятора.
Ниже вы найдете 12 способов быстрых вычислений для всех, кто далек от точных наук.
1. Быстрое вычисление 20%
Представим, что границы вновь открыли и первым делом вы отправились в США. А там принято оставлять на чай. Обычно размер чаевых составляет 15-20% от суммы вашего заказа.
По словам Кейт Сноу, автора серии книг The Math Facts That Stick, чтобы быстро вычислить 20% от суммы, вам нужно просто разделить число в чеке на 5.
Например, вы поели на 85 долларов. Разделите 85 на 5, и у вас получится 17 долларов – чаевые, которые вы должны оставить официанту.
2. Умножение двузначных чисел на 11
Умножить число на 11 очень легко с помощью хитрого трюка от math.hmc.edu. Просто сложите две цифры и поместите полученную сумму в середину числа.
Например, вы умножаете 25 на 11. Если сложить 2 и 5, получится 7. Теперь расположите 7 между 2 и 5, чтобы найти окончательный ответ – 275.
3. Быстрое удвоение
Чтобы удвоить большое число, умножьте каждую цифру на 2 и сложите их между собой. Кейт Сноу предлагает начинать слева – так будет легче.
«Чтобы удвоить, к примеру, 147, начните с разряда сотен. Если умножить 100 на 2, получится 200. 40 на 2 – 80. 7 на 2 – 14. Теперь сложите числа между собой (200 + 80 + 14), и вы получите 294», – объясняет Сноу.
4. Умножение чисел, которые оканчиваются на ноль
Примеры с большими пугающими числами, которые оканчиваются на ноль, тоже легко решить с помощью специального приема. Согласно education.cu-portland.edu, нужно просто «вычеркнуть» нули из примера, а в конце вновь их добавить.
Если вы умножаете 600 на 400, уберите все нули и перемножьте 6 на 4. Получится 24. Затем подсчитайте общее количество нулей в исходном уравнении и припишите их к полученному значению. Так как в нашем примере было четыре нуля, то ответ будет равен 240000.
5. Умножение на 9
Если вам так и не удалось выучить таблицу умножения – не переживайте. По словам Сноу, чтобы легко умножить число на 9, нужно умножить его на 10 и вычесть исходное число из полученного значения.
Например, вам нужно умножить 9 на 23. Для этого умножаем 23 на 10 и получаем 230. А затем вычитаем из него 23, чтобы получить окончательный ответ – 207.
6. Деление на 10, 100 или 1000
Разделить число на 10 проще простого – согласно Сноу, «нужно просто переместить десятичный знак на одну позицию влево от исходного числа, чтобы найти ответ».
Для деления на 100 применим тот же метод, за исключением одного – нужно переместить десятичный разряд на две позиции левее исходного числа. Что касается деления на 1000, просто переместите десятичный знак на три позиции влево.
Например, если вы делите 42,94 на 10, вы просто перемещаете десятичный знак на одну позицию влево и получаете 4,294.
7. Умножение на 10, 100 или 1000
Здесь все работает с точностью до наоборот. Чтобы умножить число на 10, переместите десятичный знак на одну позицию вправо. На 100 – на две позиции. На 1000 – на три позиции.
Например, если вам нужно умножить 366,78 на 100, передвиньте десятичный знак на две цифры вправо, чтобы получить ответ 36678.
8. Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную
Согласно businessinsider.com, нужно выполнить всего 3 шага, чтобы легко превратить бесконечную десятичную дробь в обыкновенную, с числителем и знаменателем.
- Шаг 1. Найдите повторяющиеся цифру или число. Например, у 0,636363 это будет 63.
- Шаг 2. Определите, сколько разрядов в этом числе. В нашем случае у 63 – два разряда.
- Шаг 3. Разделите повторяющееся число на число с таким же количеством разрядов, которое будет состоять из одних девяток – в данном случае 99. Получим 63/99. Теперь сократим ее и получим 7/11 – наш ответ.
9. Умножение на 25
Умножать на 25 не так уж и сложно, если представлять число в виде дроби 100/4. В этом случае все, что вам нужно сделать, это разделить число на 4 и умножить на 100.
Например, вам нужно умножить 84 на 25. Сначала делим 84 на 4 – получаем 21, а потом умножаем значение выражения на 100. Ответ: 2100.
10. Возведение чисел, оканчивающихся на 5, в квадрат
«Этот математический трюк подразумевает 2 шага», – объясняет Сноу. Чтобы возвести в квадрат число, которое оканчивается на пять, возьмите первую цифру числа и умножьте ее на себя. После этого прибавьте к полученному результату первую цифру и припишите к ответу 25. Кружится голова? Разберем на примере.
Если вы умножаете 35 на 35, сначала умножьте 3 на 3 – получится 9, – и прибавьте 3 к ответу – получится 12. Теперь припишите 25 в конец найденного числа, и вы найдете окончательный ответ: 1225.
11. Вычитание путем сложения
Если вам кажется, что сложение немного проще, чем вычитание, этот трюк для вас. Когда вам нужно найти разность двух чисел, достаточно близких друг к другу, попробуйте решить пример с помощью сложения.
«Вместо того чтобы пытаться вычесть 327 из 334, представьте это в виде суммы: мол, сколько нужно добавить к 327, чтобы получить 334?» – объясняет Сноу.
12. Сложение чисел, оканчивающихся на 99
Если вы пытаетесь прикинуть, во сколько обойдутся продукты, стоимость которых заканчивается на 99, – калькулятор не нужен. Все, что необходимо сделать, – прибавить 100 вместо 99, а потом вычесть единицу.
Сноу объясняет этот процесс на примере 176 + 199 = 375. «Если к 176 мы прибавим 200, то получим 376, – говорит эксперт. – Поскольку вы добавили на единицу больше, чем вам нужно, вычтите ее из 376, чтобы найти правильный ответ: 375».