Есть 12 монет как за 3 взвешивания определить 1 фальшивую монету
Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.
What can I do to prevent this in the future?
If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.
If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.
Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.
Cloudflare Ray ID: 71adc41148188fd4 • Your IP : 82.102.23.104 • Performance & security by Cloudflare
Есть 12 монет, одна из них фальшивая. Как при помощи весов с чашами найти её за 3 взвешивания?
Если не годится первый вариант от ответившего,то пойдём другим путём.
Пронумеруем монеты от 1 до 12. Разделим на группы по 4 монеты:
(I) 1 2 3 4 (II) 5 6 7 8 (III) 9 10 11 12
Взвесим группы I и II. Возможны три варианта: I < II, I > II, I = II.
Первые два варианта симметричны, о них ниже. В случае третьего варианта получаем, что фальшивая монета находится в группе III. Если так, вторым шагом взвесим монеты 9 и 10. Если, например, 9 < 10 (в случае 9 > 10 рассуждения аналогичны), то или 9 тяжелее, или 10 легче. Третьим шагом взвешиваем одну из них с заведомо настоящей и получаем ответ.
Если же 9 = 10, то фальшивая 11-я или 12-я. Взвесим 11-ю с заведомо настоящей, скажем, с 1-й. Если 1 < 11, то фальшивая 11, тяжелее. Если 1 > 11, то фальшивая 11, легче. Если 1 = 11, то фальшивая 12, легче или тяжелее неизвестно.
Рассмотрим теперь случай, когда при первом взвешивании I-я группа тяжелее II-й (случай II-я тяжелее I-й решается аналогично). В этом случае возможны варианты: а) 1 или 2 или 3 или 4 — тяжелее. б) 5 или 6 или 7 или 8 легче.
Разделим теперь монеты на группы по три монеты следующим образом: (1) две монеты из группы I, одна из группы II. (2) две оставшиеся монеты из группы I, одна из группы II. (3) две оставшиеся монеты из группы II, одна из группы III, заведомо настоящая. В нашем случае группы будут такими:
(1) 1 2 5
(2) 3 4 6
(3) 7 8 9
На втором шаге взвесим группы (1) и (2). Возможны варианты:
(*) (1) < (2). Это означает, что или одна из монет 1 и 2 тяжелее, или монета 6 легче.
(**) (1) > (2). Это означает, что или одна из монет 3 и 4 тяжелее, или монета 5 легче. Заметим, что этот вариант симметричен (*), отдельно рассматриваться не будет.
(1) = (2). Это означает, что монеты с 1 по 6 настоящие, и фальшивая — 7 или 8, причем по результатам первого этапа она легче. В этом случае третьим шагом просто взвесим 7 с заведомо настоящей, скажем, с 1. Если 1 = 7 — фальшивая 8. Если 1 > 7 — фальшивая 7. Заметим, что вариант 1 < 7 невозможен.
Рассмотрим теперь вариант (*) — (1) < (2). Т.е. или 1 или 2 тяжелее, или 6 легче. Тогда третьим шагом взвесим монеты 1 и 2.
Если 1 < 2 — 1-я фальшивая. Если 1 > 2 — 2-я фальшивая. 1 = 2 — 6-я фальшивая.
Двенадцать монет
Имеется 12 одинаковых на вид монет, одна из которых фальшивая, но неизвестно, легче она или тяжелее, чем другие. За 3 взвешивания на весах без гирь найдите фальшивую.
Занумеруем наши монеты числами от 1 до 12. Алгоритм (ветвящийся) следующий:
Производим 1-е взвешивание. Кладём на чаши наборы 1, 2, 3, 4 и 5, 6, 7, 8. Возможны два случая:
Весы в равновесии. Это значит, что фальшивая среди оставшихся с 9 до 12 монет. Сравниваем монеты 9 и 10 с 1 и 2. Возможны 2 варианта:
Если равновесие, то фальшивая одна из двух — 11 или 12. Сравниваем монету 11 с монетой 1. Если равновесие, то фальшивая монета 12, в противном случае фальшивая монета 11.
Если равновесия нет, то фальшивая — одна из 9 и 10, причем известно даже, легче она или тяжелее настоящей. Аналогично предыдущему случаю, фальшивая монета находится сравнением монеты 9 с монетой 1. (Либо можно просто сравнить 9 и 10 между собой, так как мы уже знаем, легче фальшивая монета или тяжелее.)
(основной случай). Чаша А легче, значит, фальшивая монета среди взвешиваемых. Производим 2-е взвешивание. Кладём на чаши наборы 9, 10, 11, 4 и 1, 2, 3, 8. Возможны три случая.
Чаша А по-прежнему легче. Тогда фальшивая одна из двух монет: 4 или 8 (их положение не менялось). И достаточно одного взвешивания для её обнаружения.
Весы уравновесились. Фальшивая одна из монет 5, 6, 7, причём она тяжелее настоящей. Сравниваем монеты 5 и 6. Если они равны по весу, то фальшивая монета 7, в противном случае фальшивая та из них, которая оказалась тяжелее.
Легче стала чаша Б. Фальшивая одна из монет 1, 2, 3, и она легче настоящей. Аналогично предыдущему варианту, фальшивая монета определяется сравнением монет 1 и 2.