Что такое нормальная подгруппа

Нормальные подгруппы. Фактор-группы

также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения является изоморфизмом. Подгруппа называется сопряженной по отношению к подгруппе H.

Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой:

Равенство можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.

В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно.

В любой группе G нормальными будут , во первых, тривиальная подгруппа и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G называется простой.

В рассмотренной выше группе подгруппа не является нормальной, так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут подгруппы

Если — любая подгруппа, то ее централизатор

— нормальная подгруппа в G , так как для всех ее элементов z

В частности, центр Z(G) любой группы G -нормальная подгруппа.

Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса: H и

Теорема 2 (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).

Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть

Очевидно, что для любой подгруппы H . Но тогда

Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна, поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс . Поскольку

всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G.

Нормальная подгруппа

В группе теории , A нормальная подгруппа (называемая также отличается подгруппой или инвариантной подгруппой ) Н из группы G является глобально устойчивой подгруппой по действию G на себе конъюгации . Нормальные подгруппы естественным образом вмешиваются в определение фактора группы . Нормальные подгруппы G в точности ядро из морфизмов , определенных на G .

Подгруппы обычно знакомы приложениям в геометрии при изучении действий групп , в алгебраической топологии при классификации покрытий , в теории Галуа в Галуа .

Резюме

Определение

Мы говорим, что подгруппа группы является нормальной (или выделенной, или инвариантной) в, если она устойчива по сопряжению, т. Е. Если: ЧАС <\ displaystyle H>грамм <\ displaystyle G>грамм

∀ час ∈ ЧАС , ∀ Икс ∈ грамм , Икс час Икс — 1 ∈ ЧАС . <\ displaystyle \ forall h \ in H,

\ forall x \ in G, \ qquad xhx ^ <- 1>\ in H.>

Затем мы отмечаем . ЧАС ⊴ грамм

Эквивалентный способ определить нормальную подгруппу — сказать, что классы справа и слева от in совпадают, то есть: ЧАС <\ displaystyle H>грамм

∀ Икс ∈ грамм , Икс ЧАС знак равно ЧАС Икс .

Недвижимость

Если Х и Y являются два частями группы G , будет обозначены XY всех элементы G вида х с й в X и Y в Y .

Является ли H нормальной подгруппой группы G ? Это следует из соотношения

∀ Икс ∈ грамм , Икс ЧАС знак равно ЧАС Икс

что если X является частью G , то XH = HX . (Пропустить встречи х просмотра X ) . Это особенно справедливо , если Х является подгруппа К (не обязательно нормальная) из G . Легко доказать , что если и Б являются подгруппы группы G , если АВ = ВА , то АВ является подгруппой G и, очевидно , является подгруппой группы G генерируется с помощью A и B . Следовательно :

Если H и K — две подгруппы группы G , если хотя бы одна из этих двух подгрупп нормальна в G , то подгруппа G, порожденная H и K, является множеством HK = KH .

Факторная группа

Нормальные подгруппы важны при изучении фактор-групп в силу следующего факта:

Пусть G группа и H подгруппа группы G ; так что отношение эквивалентности в G (в х и у ) хНо = уНы это совместимо с законом G (другими словами, так , что эквивалентность х и у и эквивалентность г и т всегда влекут за собой , что из XZ и YT ), необходимо и достаточно , чтобы подгруппа Н нормальна в G . (Отношение эквивалентности xH = yH также можно записать как Hx = Hy .)

Затем мы можем определить в фактормножестве , соответствующий это отношение эквивалентности один (и только один) закон композиции ✻ такое , что для всех элементов через , Ь из G , мы имеем ( Ah ) ✻ ( Bh ) = ABH . Этот закон композиции — групповой закон; оснащено этим групповой законом, множество фактора называется фактор — группа G по H и отметил G / H .

Связь с групповыми морфизмами

• Для любого морфизма групп , ж : грамм → грамм ′ <\ displaystyle f: G \ to G '>
  • если это нормальная подгруппа , то прямой образ подгруппа нормальна в (следовательно , в си есть сюръективны ); ЧАС <\ displaystyle H>грамм <\ displaystyle G>ж ( ЧАС ) <\ displaystyle f (H)>ж ( грамм ) <\ Displaystyle f (G)>грамм ′ <\ displaystyle G '>ж
  • если — нормальная подгруппа, то подгруппа обратных изображений нормальна в . ЧАС ′ <\ displaystyle H '>грамм ′ <\ displaystyle G '>ж — 1 ( ЧАС ′ ) <\ displaystyle f ^ <- 1>(H ‘)> грамм
  • Нормальные подгруппы группы G — это те подмножества группы G, которые являются ядром морфизма из G в другой группе. Действительно, ядро морфизма групп из G в G « является нормальной подгруппой группы G , в качестве ответного образа тривиальной подгруппы в G» . С другой стороны , любая подгруппа нормальная Н из G представляет собой кольцо: что канонической карте G в фактор — группы G / H .
  • Для любого ненулевого натурального числаnгруппа конечного типа имеет только конечное число нормальных подгрупп индексаn . Это следует из предыдущей характеристики и из того факта, что на множестве, фиксированном до n элементов, существует только конечное число внутренних законов .

  Примеры

  • < Е > и G всегда нормальные подгруппы G . Если они единственные нормальные подгруппы и G не сводится к < e >, то G называется простой .
  • Пересечение семейства непустых подгрупп нормальной группа G является нормальной подгруппой группы G .
  • Подгруппа , порожденная семейством нормальных подгрупп группы G является нормальной подгруппой группы G .
  • Любая абелева группа — дедекиндова группа , т. Е. Все ее подгруппы нормальны.
  • В знакопеременной группеA₄ есть нормальная подгруппа K, изоморфная группе Клейна . Три подгруппы порядка 2 из K нормальны в K , но в A₄ они сопряжены , поэтому не нормальны. Это показывает, что отношение «является нормальной подгруппой в» не обязательно транзитивно.
  • Если G конечная группа и р является наименьшим делителем первым его порядка, то каждая подгруппа группы G из индексар нормальна в G .

  Рассмотрим множество G / H из левых смежных классов в G следующих H . На этом множестве из p элементов H действует сдвигами, по крайней мере, с одной фиксированной точкой (класс eH = H ). Орбита любой нефиксированной точки будет иметь для кардинала делитель порядка H строго больше 1 и, следовательно, больше или равный p , что несовместимо с тем, что было раньше. Таким образом, все точки фиксированы, т.е. для всех элементов g из G и h из H имеем hgH = gH , т.е. g –1 hg∈H , поэтому H нормальна.

  • Любая подгруппа индекса 2 (необязательно конечной группы) нормальна.

  Является ли H индекс 2 в G . Для каждого элемента г из G , или г принадлежит Н , а затем Gh и Hg равны Н , или г не в H , а затем Gh и Hg равны дополнении H в G . В обоих случаях, Gh = рт.ст. так GHG -1 = Н .

  • Характеристическая подгруппа из G является стабильной подгруппой под действием всех автоморфизмов G (что не всегда имеет место в предыдущем примере). Такая подгруппа, в частности, устойчива по любому внутреннему автоморфизму , другими словами, это нормальная подгруппа. Например, центр и производная подгруппа группы являются характеристическими подгруппами и, следовательно, нормальными.
    • Центр в G есть подгруппа из элементов G , коммутирующих со всеми остальными.
    • Подгруппа , полученная из G является подгруппой , порожденной с помощью переключателей . Это наименьшая нормальная подгруппа группы G такая, что фактор-группа коммутативна.

    История

    Понятие нормальной подгруппы впервые появляется в этом отрывке из Галуа : «когда группа G содержит другую H , группу G можно разделить на группы, каждая из которых мы получаем, оперируя перестановками H одной и той же подстановки; чтобы

    грамм знак равно ЧАС + ЧАС S + ЧАС S ′ + ⋯ .

    А также он может разбиваться на группы с одинаковыми заменами, так что

    грамм знак равно ЧАС + Т ЧАС + Т ′ ЧАС + ⋯ .

    Эти два типа разложения обычно не совпадают. Когда они совпадают, разложение называется чистым . «

    Нормальная подгруппа — Normal subgroup

    В абстрактная алгебра, а нормальная подгруппа (также известный как инвариантная подгруппа или же самосопряженная подгруппа) [1] это подгруппа что инвариантно относительно спряжение членами группа частью которого он является. Другими словами, подгруппа N группы грамм нормально в грамм если и только если gng −1 ∈ N для всех грамм ∈ грамм и п ∈ N . Обычное обозначение этого отношения: N ◃ грамм .

    Нормальные подгруппы важны, потому что они (и только они) могут использоваться для построения факторгруппы данной группы. Кроме того, нормальные подгруппы группы грамм точно ядра из групповые гомоморфизмы с доменом грамм , что означает, что их можно использовать для внутренней классификации этих гомоморфизмов.

    Эварист Галуа был первым, кто осознал важность существования нормальных подгрупп. [2]

    Содержание

    Определения

    А подгруппа N группы грамм называется нормальная подгруппа из грамм если он инвариантен относительно спряжение; то есть сопряжение элемента из N элементом грамм всегда в N . [3] Обычное обозначение этого отношения: N ◃ грамм .

    Эквивалентные условия

    Для любой подгруппы N из грамм , следующие условия эквивалент к N будучи нормальной подгруппой грамм . Следовательно, любой из них можно принять за определение:

    • Образ сопряжения N любым элементом грамм это подмножество N . [4] '
    • Образ сопряжения N любым элементом грамм равно N . [4]
    • Для всех грамм в грамм , левый и правый смежные классы gN и Нг равны. [4]
    • Наборы левого и правого смежные классы из N в грамм совпадают. [4]
    • Произведение элемента левого смежного класса N относительно грамм и элемент левого смежного класса N относительно час является элементом левого смежного класса N относительно gh : ∀Икс, у, грамм, час ∈ грамм , если Икс ∈ gN и у ∈ hN тогда ху ∈ (gh)N .
    • N это союз из классы сопряженности из грамм . [2]
    • N сохраняется внутренние автоморфизмы из грамм . [5]
    • Существует некоторое групповой гомоморфизмграмм → ЧАС чей ядро является N . [2]
    • Для всех п ∈ N и грамм ∈ грамм , то коммутатор [ п , грамм ] = п − 1 грамм − 1 п грамм g ^ <- 1>ng> в N . [нужна цитата]
    • Любые два элемента коммутируют относительно нормального отношения членства в подгруппе: ∀грамм, час ∈ грамм, gh ∈ N ⇔ hg ∈ N . [нужна цитата]

    Примеры

    • Тривиальная подгруппа <е> состоящий только из элемента идентичности грамм и грамм сами всегда являются нормальными подгруппами грамм . Если это единственные нормальные подгруппы, то грамм как говорят просто. [6]
    • Каждая подгруппа N из абелева группаграмм это нормально, потому что грамм N = < грамм п >п ∈ N = < п грамм >п ∈ N = N грамм . _ = _ = Ng.> Группа, которая не является абелевой, но для которой каждая подгруппа нормальна, называется группой. Гамильтонова группа. [7]
    • В центр группы — нормальная подгруппа. [8]
    • В общем, любой характеристическая подгруппа нормально, так как спряжение всегда автоморфизм. [9]
    • В коммутаторная подгруппа [ грамм , грамм ] нормальная подгруппа грамм . [10]
    • В группа переводов нормальная подгруппа группы Евклидова группа в любом измерении. [11] Это означает: применение жесткого преобразования, за которым следует перевод, а затем обратное жесткое преобразование, имеет тот же эффект, что и одиночный перевод (хотя обычно он отличается от того, который мы использовали ранее). Напротив, подгруппа всех вращения о происхождении нет нормальная подгруппа евклидовой группы, если размерность не менее 2: сначала перенос, затем вращение вокруг начала координат, а затем обратный перенос обычно не фиксирует начало координат и, следовательно, не будет иметь такого же эффекта, как одиночный поворот вокруг Происхождение.
    • в Группа Кубик Рубика, подгруппы, состоящие из операций, влияющих только на ориентацию угловых или краевых частей, являются нормальными. [12]

    Характеристики

    • Если ЧАС нормальная подгруппа грамм , и K является подгруппой грамм содержащий ЧАС , тогда ЧАС нормальная подгруппа K . [13]
    • Нормальная подгруппа нормальной подгруппы группы не обязательно должна быть нормальной в группе. То есть нормальность — это не переходное отношение. Самая маленькая группа, демонстрирующая это явление, — это группа диэдра порядка 8. [14] Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормально. [15] Группа, в которой нормальность транзитивна, называется Т-группа. [16]
    • Две группы грамм и ЧАС являются нормальными подгруппами своих прямой продуктграмм × ЧАС .
    • Если группа грамм это полупрямой продукт грамм = N ⋊ ЧАС , , тогда N нормально в грамм , хотя ЧАС не должно быть нормальным в грамм .
    • Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах, [17] т.е. если грамм → ЧАС является сюръективным гомоморфизмом групп и N нормально в грамм , то изображение ж(N) нормально в ЧАС .
    • Нормальность сохраняется за счет принятия обратные изображения, [17] т.е. если грамм → ЧАС является гомоморфизмом групп и N нормально в ЧАС , то прообраз ж  -1 (N) нормально в грамм .
    • Нормальность сохраняется при приеме прямые продукты, [18] т.е. если N 1 ◃ грамм 1 riangleleft G_ <1>> и N 2 ◃ грамм 2 riangleleft G_ <2>> , тогда N 1 × N 2 ◃ грамм 1 × грамм 2 imes N_ <2>; riangleleft; G_ <1>imes G_ <2>> .
    • Каждая подгруппа индекс 2 нормально. В более общем смысле, подгруппа, ЧАС , конечного индекса, п , в грамм содержит подгруппу, K , нормально в грамм и индекса деления п! называется нормальное ядро. В частности, если п наименьшее простое число, делящее порядок грамм , то каждая подгруппа индекса п это нормально. [19]
    • Тот факт, что нормальные подгруппы грамм в точности ядра гомоморфизмов групп, определенных на грамм объясняет некоторую важность нормальных подгрупп; они представляют собой способ внутренней классификации всех гомоморфизмов, определенных на группе. Например, нетождественная конечная группа — это просто тогда и только тогда, когда он изоморфен всем своим неединичным гомоморфным образам, [20] конечная группа идеально тогда и только тогда, когда он не имеет нормальных подгрупп простых индекс, а группа несовершенный если и только если производная подгруппа не дополняется какой-либо собственной нормальной подгруппой.

    Решетка нормальных подгрупп

    Нормальные подгруппы группы грамм сформировать решетка под включение подмножества с наименьший элемент, <е> , и величайший элемент, грамм . В встретить двух нормальных подгрупп, N и M , в этой решетке — их пересечение и присоединиться это их продукт.

    Нормальные подгруппы, фактор-группы и гомоморфизмы

    Если N является нормальной подгруппой, мы можем определить умножение на смежных классах следующим образом:

    С помощью этой операции набор смежных классов сам по себе является группой, называемой факторгруппа и обозначен грамм/N . Есть естественный гомоморфизм, ж: грамм → G / N , данный ж(а) = аН . Этот гомоморфизм отображает N в элемент идентичности G / N , который является смежным классом eN = N , [21] то есть, кер ⁡ ( ж ) = N .

    В общем случае гомоморфизм групп, ж: грамм → ЧАС отправляет подгруппы грамм в подгруппы ЧАС . Кроме того, прообраз любой подгруппы ЧАС является подгруппой грамм . Мы называем прообраз тривиальной группы <е> в ЧАС то ядро гомоморфизма и обозначим его через кер (ж) . Как оказалось ядро ​​всегда нормально и образ грамм , ж(грамм) , всегда изоморфный к грамм/ кер (ж) (в первая теорема об изоморфизме). [22] Фактически это соответствие является биекцией между множеством всех фактор-групп грамм , грамм/N , а множество всех гомоморфных образов грамм (вплоть до изоморфизм). [23] Также легко видеть, что ядро ​​фактор-отображения, ж: грамм → G / N , является N , поэтому нормальные подгруппы — это в точности ядра гомоморфизмов с домен грамм . [24]

    Похожие публикации:

    1. Как вставить название рисунка в ворде
    2. Что такое анонимная функция php
    3. Что такое булево в 1с
    4. Что такое гбоард в андроиде