Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Как это зависит от дискриминанта? Определите сколько корней имеет уравнение
1)Найдём коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.
Значение коэффициента а:
a = 3.
Значение коэффициента b:
b = -7.
Значение коэффициента c:
c = -4.
Для решения данного квадратного уравнения необходимо найти определить дискриминант, который исчисляется как разность квадрата коэффициента b и учетверенного произведения коэффициентов a, c: D = b^2 — 4ac = -7^2 — 4 * 3 * -4 = 97.
Так как дискриминант больше нуля (D > 0), то число корней в данном уравнении два. Корни находятся по следующей формуле x = (-b ± D^(1/2))/(2a).
D^(1/2) = 9,84886.
x1 = (7 + 97^(1/2)) / (2 * 3) = 2,80814.
x2 = (7 — 97^(1/2)) / (2 * 3) = -0,47481.
Ответ: 2,80814, -0,47481.
2)Найдём коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.
Значение коэффициента а:
a = 2.
Значение коэффициента b:
b = 1.
Значение коэффициента c:
c = 2.
Для решения данного квадратного уравнения необходимо найти определить дискриминант, который исчисляется как разность квадрата коэффициента b и учетверенного произведения коэффициентов a, c: D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 * 2 * 2 = -15.
Корня из отрицательного числа не существует.
Так как дискриминант меньше нуля (D < 0), то корней в данном уравнении не существует.
Ответ: корней нет.
3)Найдём коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.
Значение коэффициента а:
a = 4.
Значение коэффициента b:
b = -4.
Значение коэффициента c:
c = 1.
Для решения данного квадратного уравнения необходимо найти определить дискриминант, который исчисляется как разность квадрата коэффициента b и учетверенного произведения коэффициентов a, c: D = b^2 — 4ac = -4^2 — 4 * 4 * 1 = 0.
Так как дискриминант равен нулю (D = 0), то число корней в данном уравнение одно. Корень определяется по следующей формуле:
x = -b/(2a).
x = 4/(2 * 4) = 0,5.
Ответ: 0,5.
Решение (корни) квадратного уравнения
Определение квадратного уравнения и общее понятие о его корнях
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0 , где x — переменная, которая в уравнении присутствует в квадрате, a, b, c — некоторые числа, причём a ≠ 0 .
Например, квадратным является уравнение
В квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент a называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом.
называются неполными квадратными уравнениями.
Найти корни квадратного уравнения значит решить квадратное уравнение.
Для вычисления корней квадратного уравния служит выражение b² — 4ac , которое называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.
Корни квадратного уравнения имеют следующие сферы применения:
— для разложении квадратного трёхлена на множители, что, в свою очередь, является приёмом упрощения выражений (например, сокращения дробей, вынесение за скобки общего знаменателя и т.д.) в частности, при нахождении пределов, производных и интегралов;
— для решения задач на соотношения параметров меняющегося объекта (корни квадратного уравнения, чаще всего один, являются обычно конечным решением).
Геометрический смысл решения квадратного уравнения
График квадратичного трёхлена ax² + bx + c — левой части квадратного уравнения — представляет собой параболу, ось симметрии которой параллельна оси 0y . Число точек пересечения параболы с осью 0x определяет число корней квадратного уравнения. Если точек пересечения две, то квадратное уравнение имеет два действительных корня, если точка пересечения одна, то квадратное уравнение имеет один действительный корень, если парабола не пересекает ось 0x , то квадратное уравнение не имеет действительных корней. На рисунке ниже изображены три упомянутых случая.
Как видно на рисунке, красная парабола пересекает ось 0x в двух точках, зелёная — в одной точке, а жёлтая парабола не имеет точек пересечения с осью 0x .
Три случая после нахождения дискриминанта квадратного уравнения
1. Если дискриминант больше нуля (), то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
Они вычисляются по формулам:
Часто пишется так: .
2. Если дискриминант равен нулю (), то квадратное уравнение имеет только один действительный корень, или, что то же самое — два равных действительных корня, которые равны .
3. Если дискриминант меньше нуля (), то квадратное уравнение не имеет действительных корней, а имеет комплексные корни, но нахождение комплексных корней в этой статье рассматривать не будем. В общем случае правильным решением является констатация того, что квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Пример 1. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:
Решение. Найдём дискриминант:
Дискриминант больше нуля, следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня.
Путём преобразования в квадратное уравнение следует решать и дробные уравнения, в которых хотя бы одно из слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное, например, . О том, как это делается — в материале Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение.
Пример 2. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:
Решение. Найдём дискриминант:
Дискриминант равен нулю, следовательно, квадратное уравнение имеет один действительный корень.
Пример 3. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:
Решение. Найдём дискриминант:
Дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Решение полных квадратных уравнений
Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.
Пример 4. Найти корни квадратного уравнения:
В примере 1 нашли дискриминант этого уравнения:
Решение квадратного уравнения найдём по формуле для корней:
Пример 5. Найти корни квадратного уравнения:
В примере 2 нашли дискриминант этого уравнения:
Применим формулу корней квадратного уравнения . Отсюда , . Найденные корни квадратного уравнения равны друг другу, а это значит, что уравнение имеет единственный корень:
Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.
Корни приведённого квадратного уравнения
Пусть дано квадратное уравнение . Так как , то разделив обе части данного уравнения на a, получим уравнение . Полагая, что и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведённым.
Формула корней приведённого уравнения имеет вид:
Теорема Виета
Существуют формулы, связывающие корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Они впервые были получены французским математиком Ф.Виетом.
Теорема Виета. Если квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна — b/a , а произведение равно с/a :
Следствие. Если приведённое квадратное уравнение x² + px + q = 0 имеет действительные корни и , то
Пояснение формул: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Следовательно, теорему Виета можно применять и для поиска корней приведённого квадратного уравнения.
Пример 6. Написать приведённое квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и -3.
Иначе говоря, надо найти числа p и q такие, чтобы квадратное уравнение
По формулам Виета , . Требуемое в условии задачи уравнение имеет вид
Решение неполных квадратных уравнений
Пример 7. Решить квадратное уравнение .
Решение. Чтобы решить данное неполное квадратное уравнение, разложим его левую часть на множители. Получим
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: или . Решая уравнение , находим .
Следовательно, произведение обращается в нулю при и при . Поэтому числа 0 и 1/2 являются корнями неполного квадратного уравнения .
Пример 8. Решить квадратное уравнение .
Решение. Чтобы решить данное неполное квадратное уравнение, перенесём в его правую часть свободный член с противоположным знаком и разделим обе части уравнения на 3. Получим уравнение
Так как , то уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не имеет действительных корней и эквивалентное ему неполное квадратное уравнение .
Разложение квадратного трёхчлена на множители с применением корней квадратного уравнения
Если известны корни квадратного уравнения, то трёхчлен, представляющий собой левую часть уравнения, можно разложить на множители по следующей формуле:
Этот приём часто используется для упрощения выражений, особенно сокращения дробей.
Пример 9. Упростить выражение:
Решение. Числитель данной дроби можем рассматривать как квадратный трёхчлен в отношении x и разложить его на множители, предварительно найдя его корни. Найдём дискриминант квадратного уравнения:
Корни квадратного уравнения будут следующими:
Разложим квадратный многочлен на множители:
Упростили выражение, проще не бывает:
Пример 10. Упростить выражение:
Решение. И числитель, и знаменатель — квадратные трёхчлены. Значит, их можно разложить на множители, предварительно найдя корни соответствующих квадратных уравнений. Находим дискриминант первого квадратного уравнения:
Корни первого квадратного уравнения будут следующими:
Находим дискриминант второго квадратного уравнения:
Так как дискриминант равен нулю, второе квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:
Подставим корни квадратных уравнений, разложим числитель и знаменатель на множители и получим:
Упрощать выражения путём решения квадратных уравнений требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.
Разумеется, квадратного трёхчлена может может и не быть в выражении в первоначальном виде, он может быть получен в процессе предварительных преобразований выражения.
Из истории решения квадратных уравнений
Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принажлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский учёный аль-Хорезми (IX в.) получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждений видна из рисунка ниже (он рассматривает уравнение x² + 10x = 39 ).
Площадь большого квадрата равна (x + 5)² . Она складывается из площади x² + 10x заштрихованной фигуры, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырёх квадратов со стороной 5/2 , равной 25. Получается следующее уравнение и его решение:
Различные прикладные задачи на квадратные уравнения
Пример 11. Отрезок ткани стоит 180 у.ед. Если бы ткани в отрезке было на 2,5 м больше и цена отрезка оставалась бы прежней, то цена 1 м ткани была бы на 1 у.ед. меньше. Сколько ткани в отрезке?
Решение. Примем количество ткани в отрезке за x и получим уравнение:
Приведём обе части уравнения к общему знаменателю:
Произведём дальнейшие преобразования:
Получили квадратное уравнение, которое и решим:
Ясно, что количество ткани не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь один корень — положительный.
Ответ: в отрезке 20 м ткани.
Пример 12. Товар, количество которого 187,5 кг, взвешивают в одинаковых ящиках. Если в каждом ящике количество товара уменьшить на 2 кг, то следовало бы использовать на 2 ящика больше и при этом 2 кг товара остались бы невзвешенными. Сколько кг товара взвешивают в каждом ящике?
Решение. Примем за x количество товара, взвешиваемого в одном ящике. Тогда получим уравнение:
Приведём обе части уравнения к общему знаменателю, произведём дальнейшие преобразования и получим квадратное уравнение. Процесс записывается так:
Найдём корни квадратного уравнения:
Количество товара не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь положительный корень.
Уравнение
Уравнение — это равенство, которое справедливо не при любых значениях входящих в него букв, а только при некоторых. Так же можно сказать, что уравнение является равенством, содержащим неизвестные числа, обозначенные буквами.
Например, равенство 10 — x = 2 является уравнением, так как оно справедливо только при x = 8. Равенство x 2 = 49 — это уравнение, справедливое при двух значениях x, а именно, при
x = +7 и x = -7,
(+7) 2 = 49 и (-7) 2 = 49.
Если вместо x подставить его значение, то уравнение превратится в тождество. Такие переменные, как x, которые только при определённых значениях обращают уравнение в тождество, называются неизвестными уравнения. Они обычно обозначаются последними буквами латинского алфавита x, y и z.
Любое уравнение имеет левую и правую части. Выражение, стоящее слева от знака = , называется левой частью уравнения, а стоящее справа — правой частью уравнения. Числа и алгебраические выражения, из которых состоит уравнение, называются членами уравнения:
Корни уравнения
Корень уравнения — это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Уравнение может иметь всего один корень, может иметь несколько корней или не иметь корней вообще.
Например, корнем уравнения
является число 8, а у уравнения
два корня — +7 и -7.
Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что их нет.
Виды уравнений
Кроме числовых уравнений, подобных приведённым выше, где все известные величины обозначены числами, существуют ещё буквенные уравнения, в которые кроме букв, обозначающих неизвестные, входят ещё буквы, обозначающие известные (или предполагаемые известные) величины.
x — a = b + c;
3x + c = 2a + 5.
По числу неизвестных уравнения разделяются на уравнения с 1-м неизвестным, с 2-мя неизвестными, с 3-мя и более неизвестными.
7x + 2 = 35 — 2x — уравнение с одним неизвестным,
3x + y = 8x — 2y — уравнение с двумя неизвестными.