На окружность радиуса r брошено две точки считая что длина хорды

Элина Шишкина

Задача игрока де Мере.

Какое событие более вероятно: «при четырех бросаниях кости хотя бы раз выпадет шесть очков» или «при двадцати четырех бросаниях двух костей хотя бы раз одновременно выпадут шесть и шесть очков»? Найдите эти вероятности.

На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние А, наудачу бросается игла длиною 2R (2R<A). Какова вероятность того, что игла пересечет одну из проведенных линий?

На окружности радиуса R наудачу выбираются две точки и соединяются хордой. Найти вероятность того, что длина хорды превысит 3^<1/2>R.

Анна Буравцева

Андрей Заякин

Дина Федосова

Данил Витязев

Задачку Бертрана я решил так:
проведём диаметр данной окружности.
Теперь любая точка на окружности однозначно задаётся углом, между прямой, соединяющей ее с центром и проведённым диаметром.
Пусть первая точка задаётся углом α, а вторая углом β.
Теперь длинна хорды выражается через эти углы так: L=sgrt(2R^2*(1-cos(|α-β|))) < sqrt(3)*R.
Потом преобразовывая это выражение можно свести задачу к следующему
2pi/3 < |α-β| < 4pi/3
Дальше рисуем это всё дело в осях αβ и получаем ответ 1\6.

Решение задачи Бюффона я точно знаю, поэтому не стану его тут писать, пусть люди подумают.

Юрий Львов

Константин Павлов

Вероятность победы в матче X
Вероятность ничьи Y
Вероятность проигрыша Z
X + Y + Z = 1

За победу дают 3 очка, за ничью 1 очко, за проигрыш 0 очков.
Какова вероятность набрать 15 и более очков за 10 матчей?

На окружность радиуса R брошено две точки. Считая, что длина хорды – случайная величина

На окружность радиуса R брошено две точки. Считая, что длина хорды – случайная величина с равномерным распределением, найти плотность распределения вероятностей длины дуги между брошенными точками.

Длина дуги связана с радиусом окружности отношением:
L=αR
где α – центральный угол (в радианах), соответствующий хорде.
Связь длины хорды с центральным углом:
d=2Rsinα2
Откуда:
α=2arcsind2R
Т.е . длина дуги как функция длины хорды равна:
L=2Rarcsind2R
Записываем плотность вероятности длины хорды (случайная величина с равномерным распределением на интервале от 0 до 2R – диаметра окружности):
fdx=12R
Далее, поскольку функция L=2Rarcsind2R монотонно растет на интервале d∈0;2R, то можем воспользоваться формулой:
fLx=g-1x’fdg-1x
где g-1x – функция, обратная L=fx

. длина дуги как функция длины хорды равна:
L=2Rarcsind2R
Записываем плотность вероятности длины хорды (случайная величина с равномерным распределением на интервале от 0 до 2R – диаметра окружности):
fdx=12R
Далее, поскольку функция L=2Rarcsind2R монотонно растет на интервале d∈0;2R, то можем воспользоваться формулой:
fLx=g-1x’fdg-1x
где g-1x – функция, обратная L=fx

На окружность радиуса R брошено две точки. Считая, что длина хорды – случайная величина (Решение → 25401)

Библиотека Ирины Эланс, основана как общедоступная библиотека в интернете. Онлайн-библиотеке академических ресурсов от Ирины Эланс доверяют студенты со всей России.

Библиотека Ирины Эланс

Полное или частичное копирование материалов разрешается только с указанием активной ссылки на сайт:

Вариант 13-1

В урне один белый и пять черных шаров. Два игрока по очереди вынимают из урны шар и возвращают его обратно, после чего шары в урне перемешиваются. Выигрывает тот, кто первый извлекает белый шар. Какова вероятность того, что выиграет игрок, начинающий игру?

Вероятность появления белого шара равна

Вероятность появления черного шара равна

Для первого игрока возможны следующие исходы

Вынут белый шар

Первый игрок вынул черный шар, второй игрок вынул черный шар, первый игрок вынул белый шар

Первый игрок вынул черный шар, второй игрок вынул черный шар, первый игрок вынул черный шар, второй игрок вынул черный шар, первый игрок вынул белый шар

По каналу связи, подверженному воздействию помех, передается одна из двух команд управления в виде кодовых комбинации 11111 или 00000, причем априорные вероятности передачи этих команд соответственно равны 0,7 и 0,3. Из-за наличия помех вероятность правильного приема каждого из символов (1 и 0) уменьшается до 0,6. Предполагается, что символы кодовых комбинаций искажаются независимо друг от друга. На входе приемного устройства зарегистрирована комбинация 10110. Определить, какая команда была передана?

Пусть А — событие, состоящее в приеме комбинации 10110. К этому событию ведут две гипотезы: Н₁ — была передана комбинация 11111; Н₂ — была передана комбинация 00000. По условию ; . Условная вероятность приема кодовой комбинации 10110 вместо 11111 равна

; условная вероятность приема 10110 вместо 00000 равна .

По формуле гипотез находим

На основании сравнения найденных условных вероятностей заключаем, что при появлении на выходе комбинации 10110 с вероятностью 0,78 была передана команда 11111.

На окружность радиуса R брошено две точки. Считая, что длина хорды – случайная величина с равномерным распределением, найти плотность распределения вероятностей дуги между брошенными точками.

Каждая повторная передача сигнала по каналу связи увеличивает вероятность искажения сигнала на 0,1%. При передаче первого сигнала эта вероятность равна 0,05. Передано 100 сигналов. Найти границы, в которых с вероятность 0,9 заключено число переданных без искажения сигналов.

Вероятность того, что будет искажен -й сигнал

где .

Вероятность искажения последнего сигнала

Поскольку вероятности отличаются незначительно, будем приближенно считать случайную величину — количество исказившихся сигналов – распределенной по биномиальному закону. Так как з=0,001 , а значение достаточно велико, можно считать случайную величину распределенной нормально с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением :

Таким образом, количество искаженных сигналов из числа всех переданных с доверительной вероятностью лежит в интервале

Число сигналов, переданных без искажений, будет, таким образом, заключено в интервале .

Случайная величина () распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и ковариационной матрицей

Найти

P <> 0>

Рассмотрим ;

P <> 0> =

Для заданной выборки:

постройте: а) статистический ряд; б)интервальный статистический ряд, предварительно определив число интервалов;

найдите значения точечных оценок математического ожидания и дисперсии

на основе анализа результатов наблюдений выдвинете гипотезу о виде закона распределения генеральной совокупности

а) статистический ряд

интервальный статистический ряд — 9 интервалов

[0;0,4)

[3,2;3,6]

Нельзя однозначно сказать о законе распределения, но можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении совокупности.

Для исследования стабильности температуры в термостате, в который помещается кварцевый генератор с интервалом в 15 часов проведены две серии замеров температуры t 0 C

Проверить гипотезу о неизменности температуры в термостате, если точность измерения температуры характеризуется средним квадратичным отклонением , случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения, а уровень значимости

Определим среднее значение и дисперсию для каждой серии испытаний

Проверим гипотезу (о равенстве дисперсий) при альтернативной гипотезе .

распределение Фишера со степенями свободы и .

По таблице квантилей распределения Фишера находим .

Гипотезу отвергаем , т.к.

Известно, что измерительный прибор не имеет систематических ошибок, а случайные ошибки каждого измерения подчиняются одному и тому же нормальному закону распределения. Сколько надо провести измерений для определения оценки измерений величины, чтобы с доверительной вероятностью 0,7 абсолютное значение ошибки в определении этой величины было не более 20%?

Результаты каждого измерения – независимые нормально распределенные случайные величины. Пусть математическое ожидание каждой из них равно , а среднее квадратическое отклонение . Тогда среднее арифметическое этих величин – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Вероятность того, что она отклонится от своего математического ожидания не более, чем на