На книжной полке 6 учебников и 3 сборника стихов найдите вероятность того что среди
1. Вычислите:
(+) а) 
(+) б) 
2. В классе 20 учеников. Учитель решил проверить домашнюю работу у 6 из них. Сколько существует способов выбрать учеников для проверки?
(+) 
3. Найдите вероятность того, что все буквы "а" окажутся на своих местах, если случайным образом перемешать и выстроить в ряд все буквы слова "карандаш".
(+) Будем считать все буквы разными. Тогда количество перестановок равно 8!
Учтем, что буква «А» повторяется 3 раза (то есть, если их переставлять местами, то «слово» не изменится). Значит, перестановок в 3! раз меньше.
4. На книжной полке 6 учебников и 3 сборника стихов. Найдите вероятность того, что среди случайно выбранных 5 книг окажется 3 учебника и 2 сборника.
(+) Всего событий (количество способов выбрать 5 книг из 9 без учета порядка) 
Вероятность 
Нормы оценок: «5» — 5(+); «4» — 4(+); «3» — 3(+)
Примерная контрольная работа
1. В барабане лотереи 20 одинаковых шаров. Шары пронумерованы от 1 до 20. Барабан вращается, и из него выпадает один шар. Найдите вероятность того, что номер шара — четное число.
(+) Всего событий 20, среди них благоприятных событий (четных чисел) 10. Вероятность 0,5 .
2. В результате некоторого опыта с вероятностью 0, 63 может наступить событие A, с вероятностью 0, 59 — событие B и с вероятностью 0, 22 — событие A B.
Найдите вероятность события A B. Является ли событие A B достоверным?
(+) Для совместных событий
P ( А 
В ) = P ( А ) + P ( В ) — P ( А 
В ) = 0,63 + 0,59 — 0,22 = 1
Значит, событие А В является достоверным.
3. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадет четное число, а во второй — число, большее чем 3.
(+) Всего событий 36; Благоприятных событий 9
Вероятность 9/36 = ¼ = 0,25 .
4. В экзамене 6 вопросов. К каждому вопросу дано 2 варианта ответов, из которых только один вариант верный. Найдите вероятность того, что, отвечая наугад, ученик правильно ответит хотя бы на один вопрос.
(+) Данное событие является испытанием Бернулли ( на каждый вопрос либо успех – угадал ответ, либо неудача – не угадал). Вероятность успеха в каждом испытании Бернулли равна p = ½ , значит, вероятность неудачи равна q = ½.
Найдем вероятность противоположного события:
(из 6 испытаний не угадан ни один ответ)
P = p 0 ∙ q 6 = (1/2) 6 =1/64
Искомая вероятность 1 — 1/64 = 63/64
5. В кармане у Буратино 5 золотых и 6 серебряных монет. Все монеты одинаковы по форме и размеру. Буратино, не глядя, вынимает из кармана 5 монет. Найдите вероятность того, что все эти монеты — золотые.
(+) Всего событий 
Благоприятных событий 
Вероятность 
Нормы оценок: «5» — 5(+); «4» — 4(+); «3» — 3(+)
1. Слово "Математика" написали на картонке и разрезали картонку на буквы. Буквы перемешали. Найдите вероятность вытащить наудачу картонку с гласной буквой.
2. В результате некоторого опыта с вероятностью 0, 78 может наступить событие A, с вероятностью 0, 34 — событие B и с вероятностью 0, 11 — событие A B. Найдите вероятность события A B? Верно ли, что событие A B достоверное?
3. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадет нечетное число, а во второй — число, меньшее чем 3.
4. В экзамене 5 вопросов. К каждому вопросу дано 2 варианта ответов, из которых только один вариант верный. Найдите вероятность того, что, отвечая наугад, ученик даст хотя бы один неверный ответ.
5. В вазочке на шкафу 4 конфеты с фруктовой начинкой и 5 — с молочной. Все конфеты одинаковы по форме и размеру. Маша дотянулась рукой до вазочки и, не глядя, выбирает 5 конфет. Найдите вероятность того, что все выбранные конфеты имеют молочную начинку.
Практическая тетрадь по теме «Комбинаторика и бином Ньютона»
Число всех возможных размещений, которые можно образовать из n элементов по k , обозначается символом 
и вычисляется по формуле:
(всего k множителей).
Пример: 
abc, bac, cab, acb, bca, cba.
Число всех возможных перестановок, которые можно образовать из n элементов, обозначается символом 
Пример: 
Число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из n элементов по k, обозначается символом 
, (в числителе и знаменателе по k множителей).
Пример: 
Полезные формулы: 1) 
3) 
2) 
4) 
Независимо от него – k способами, то пару объектов «A и B» можно выбрать n·k способами.
Бином Ньютона – это формула, выражающая выражение (a + b) 
в виде многочлена. Эта формула имеет вид:
– биномиальные коэффициенты
Формулу можно записать в сокращенном виде: 
,
где 
— знак суммы, 
— число сочетаний из n элементов по m: 
.
Из формулы разложения бинома Ньютона формула
n \ m 0 1 2 3 4 5 6 7
5 1 5 10 10 5 1 . .
6 1 6 15 20 15 6 1 .
7 1 7 21 35 35 21 7 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
(a + b) 
= a + b;
(a + b) 
= a + 2ab + b;
(a + b) 
= a + 3ab + 3ab + b.
Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно 
Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: 
(правило симметрии)
Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна 
Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна 
7.Правило Паскаля: 
Решение: 
Решение: 
Решение: 
способов.
Решение:
Решение: 
1) 
.
2) т.к. есть среди чисел 0, который не может стоять впереди, поэтому надо еще найти 
.
3) 
.
переставляются, 4 определенные книги можно переставлять 
. Тогда всего перестановок по правилу умножения будет 
Решение: 
.
Белые шары 
Черных шаров 
Тогда 
Решение: Если участников — n человек, партий будет сыграно 
штук.
Составим уравнение 
, решив которое, найдем: 
Пример 1.Записать разложение 4-й степени бинома 
Решение: Коэффициенты разложения берем из 4-й строки треугольника Паскаля и используем формулу Ньютона: 
Пример 2. Записать разложение 
.
Пример 3. Найдите член разложения 
, содержащий 
.
Решение: Из формулы разложения бинома Ньютона формула 
член имеет
вид : 
.
По условию, 
, т.е. 
Отсюда находим 
и искомый член
.
Используем классическое определение вероятности: 
,
где 
— некоторое событие, n – число всех возможных исходов события, а m – число всех благоприятных исходов.
Решение: На последнем месте может стоять одна из 10 цифр: от 0 до 9. Значит, 
(только один вариант расположения букв – «КРОТ»)
Решение. Исходы – все возможные пары букв русского алфавита без учета порядка их расположения; общее число возможных исходов 
1) А=< обе выбранные буквы – согласные>. Поскольку в русском языке 21 согласная буква, 10 гласных и 2 буквы («ь», «ъ») не обозначающие звуков), то событию А благоприятствует 
исходов.
2) В=<среди выбранных букв есть «ъ»>. Выбор твердого знака 
, выбор второй буквы из оставшихся 
.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
4. Найдите вероятность того, что три последние цифры случайно выбранного телефонного номера — это цифры 2, 3, 1 в произвольном порядке. Ответ: 
Ответ: 5040
7. На книжной полке 6 учебников и 3 сборника стихов. Найдите вероятность того, что среди случайно выбранных 5 книг окажется 3 учебника и 2 сборника. Ответ: 
9. Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой? Ответ: 
10. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.
Ответ: 
11. Имеется многочлен 
. Определите коэффициент при члене, содержащем 
, если выполнить все действия. Ответ: 550.