Как найти угол между векторами? Ответ на
Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве заданы два ненулевых вектора 
и 
. Отложим от произвольной точки O векторы 
и 
. Тогда справедливо следующее определение.
Углом между векторами 
и 
называется угол между лучами OA и OB.
Угол между векторами 
и 
будем обозначать как 
.
Угол между векторами может принимать значения от до 
или, что то же самое, от 
до 
.
когда векторы 
и 
сонаправленные, 
когда векторы 
и 
противоположно направленные.
Векторы 
и 
называются перпендикулярными, если угол между ними равен 
( 
радиан).
Если хотя бы один из векторов 
и 
нулевой, то угол 
не определен.
Нахождение угла между векторами, примеры и решения
Косинус угла между векторами 
и 
, а значит и сам угол, в общем случае может быть найден либо с использованием скалярного произведения векторов, либо с использованием теоремы косинусов для треугольника, построенного на векторах 
и 
.
Разберем эти случаи.
По определению скалярное произведение векторов есть 
. Если векторы 
и 
ненулевые, то можно разделить обе части последнего равенства на произведение длин векторов 
и 
, и мы получим формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами: 
. Эту формулу можно использовать, если известны длины векторов и их скалярное произведение.
Вычислите косинус угла между векторами 
и 
, а также найдите сам угол, если длины векторов 
и 
равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9.
В условии задачи даны все величины необходимые для применения формулы 
. Вычисляем косинус угла между векторами 
и 
: 
.
Теперь находим угол между векторами: 
.
.
Существуют задачи, где векторы заданы координатами в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве. В этих случаях для нахождения косинуса угла между векторами можно использовать все ту же формулу 
, но в координатной форме. Получим ее.
Длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его координат, скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Следовательно, формула для вычисления косинуса угла между векторами 
на плоскости имеет вид 
, а для векторов 
в трехмерном пространстве — 
.
Найдите угол между векторами 
, заданными в прямоугольной системе координат.
Решение.
Можно сразу воспользоваться формулой 
: 
А можно для нахождения косинуса угла между векторами использовать формулу 
, предварительно вычислив длины векторов и скалярное произведение по координатам: 
.
К предыдущему случаю сводится задача, когда даны координаты трех точек (например А, В и С) в прямоугольной системе координат и требуется найти какой-нибудь угол (например, 
).
Действительно, угол 
равен углу между векторами 
и 
. Координаты этих векторов вычисляются как разность соответствующих координат точек конца и начала вектора.
Пример.
На плоскости в декартовой системе координат заданы координаты трех точек 
. Найдите косинус угла между векторами 
и 
.
Решение.
Определим координаты векторов 
и 
по координатам заданных точек: 
Теперь воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: 
.
Угол между векторами 
и 
также можно вычислить по теореме косинусов. Если отложить от точки O векторы 
и 
, то по теореме косинусов в треугольнике ОАВ мы можем записать 
, что эквивалентно равенству 
, откуда находим косинус угла между векторами 
. Для применения полученной формулы нам нужны лишь длины векторов 
и 
, которые легко находятся по координатам векторов 
и 
. Однако, этот метод практически не используется, так как косинус угла между векторами проще найти по формуле 
.
Вычисление ортогональной проекции(сво-во проекции):
Проекция вектора 
на ось l равна произведению модуля вектора 
на косинус угла φ между вектором и осью, т.е. пр 
cosφ.
Док-во: Если φ= 
< 
, то прl 
=+ 
= 
*cos φ.
Если φ> 
(φ≤ 
), то прl 
=- 
=- 
* cos( 
–φ) = 
cosφ (см.рис10)
Если φ= 
, то прl 
= 0 = 
соs φ.
Следствие: Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нуле, если этот угол – прямой.
Следствие: Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
Вычисление ортогональной проекции суммы векторов (сво-во проекции):
Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.
Док-во: Пусть, например, 
= 
+ 
+ 
. Имеем прl 
=+ 
=+ 
+ 
— 
, т.е. прl( 
+ 
+ 
) = прl 
+ прl 
+ прl 
(см.рис11)
РИС. 11
Вычисление произведения вектора на число:
При умножеии вектора 
на число λ его проекция на ось так же умножается на это число, т.е. прl (λ* 
)= λ* прl 
.
Док-во: При λ > 0 имеем прl (λ* 
)= 
*cos φ = λ* 
φ = λ*прl 
При λl (λ* 
)= 
*cos( 
–φ)=- 
* (-cosφ) = 
* cosφ= λ *прl 
.
Свойство справедливо и при 
Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.
Нахождение угла между векторами
Как правило, угол между \( \overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) можно найти с помощью скалярного произведения или теоремы косинусов для треугольника, который был построен на основе двух этих направляющих.
Скалярное произведение — это число, которое равно произведению двух направляющих на косинус угла между ними.
Формула скалярного произведения:
\(\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)=\left|\overrightarrow a\right|\times\left|\overrightarrow b\right|\times\cos\left(\widehat<\overrightarrow a;\overrightarrow b>\right)\)
- Если α — острый, то СП (скалярное произведение) будет положительным числом (cos острого угла — положительное число).
- Если векторы имеют общую направленность, то есть угол между ними равен \(0^\circ\) , а косинус — 1, то СП будет тоже положительным.
- Если α — тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (cos тупого угла — отрицательное число).
- Если α равен \(180^\circ\) , то есть векторы противоположно направлены, то СП тоже отрицательно, потому что cos данного угла равен 1.
- Если α — прямой, то СП равно 0, так как косинус \(90^\circ\) равен 0.
В случае, если \overrightarrow a и \overrightarrow b не нулевые, можно найти косинус α между ними, опираясь на формулу:
Видео
Примеры решений
Сначала находим косинус угла между векторами по формуле:
Теперь искомый угол $ \phi $ находим по другой формуле:
$$ \phi = \arccos (\cos \phi) = \arccos (\cos \frac<\sqrt<2>><2>) = 45^0 $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Нахождение угла между векторами
Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →
Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .
Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.
Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.
Нахождение угла между векторами
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.
Решение
Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,
Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4
Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:
cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.
Решение
- Для решения задачи можем сразу применить формулу:
cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70
- Также можно определить угол по формуле:
cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,
но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70
Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .
Решение
Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )
Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13
Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13
Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:
A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,
b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Угол между векторами
Иногда студенты при решении задач аналитической геометрии сталкиваются с вопросом: «Как найти угол между векторами?». Чтобы решить такую задачу нужно сначала найти косинус угла между ними, а затем и сам угол. Для этого применяется такая формула: $$ \phi = \arccos(\cos \phi) $$
Если воспользоваться данной формулой, то сначала нужно найти угол между векторами $ \cos \phi $. Затем находим арккосинус от косинуса угла $ \phi $. А чему равен $ \cos \phi $? Для его нахождения необходимо воспользоваться следующими формулами.
Формула
Если векторы расположены на плоскости и координаты их заданы в виде: $ \overline = (a_x; a_y) $ и $ \overline = (b_x; b_y) $, то найти угол между ними можно так:
Если вектора находятся в пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: $ \overline = (a_x; a_y; a_z) $ и $ \overline = (b_x; b_y; b_z) $, то вычислить косинус угла следует по формуле:
Примеры решений
Сначала находим косинус угла между векторами по формуле:
Теперь искомый угол $ \phi $ находим по другой формуле:
$$ \phi = \arccos (\cos \phi) = \arccos (\cos \frac<\sqrt<2>><2>) = 45^0 $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!