Точки пересечения графика функции с осью
Данный калькулятор предназначен для определения точек пересечения графика функции с осями координат.
В точке пересечения функции с осью Ox координата y всегда равна нулю, а в точке пересечения с осью Oy координата x=0.
Для того чтобы найти точки пересечения графика функции с осью ординат (Oy), необходимо подставить в уравнения функции x=0 , тем самым, найти y. Аналогично, чтобы найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс (Ox), необходимо подставить в уравнение функции y=0 и найти x.
Нахождение координат точек пересечения функции с осями используется для анализа функции и построения ее графика.
Для того чтобы получить ответ, введите функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
: x^a
Пересечение с осями онлайн
Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, предназначен для решения задачи нахождения точек пересечения графика функции с осями координат.
Найти точки пересечения функции с осями координат:
При проведении исследования функции, возникает задача нахождения точек пересечения этой функции с осями координат. Рассмотрим на конкретном примере алгоритм решения такой задачи. Для простоты будем работать с функцией одной переменной:
График данной функции представлен на рисунке:
Как следует из рисунка, наша функция пересекает ось в двух точках, а ось — в одной.
Сначала найдём точки пересечения функции с осью . Сразу отметим, что в этих точках координата . Поэтому для их поиска, нам нужно решить уравнение:
Таким образом, мы нашли две точки пересечения нашей функции с осью абсцисс: и . Стоит отметить, что задача поиска пересечений функции с осью эквивалентна задаче нахождения нулей функции.
Теперь найдём точку пересечения с осью ординат. В этой точке координата . Поэтому для их поиска, просто подставляем значение в нашу функцию:
Построение графиков функций
Схема исследования поведения функций, применяемая для построения графиков функций
Для построения графика функции y = f (x) желательно сначала провести исследование поведения функции y = f (x) по следующей схеме.
Выяснить, является ли функция y = f (x) четной или нечетной.
Если не удается точно найти нули функции, то есть точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс Ox, то нужно попытаться найти интервалы, на которых нули функции располагаются. Часто эти интервалы удается найти, зная точки максимума и минимума функции.
Найти интервалы, на которых функция y = f (x) выпукла вверх, а также интервалы, на которых функция y = f (x) выпукла вниз.
Замечание. Желательно рисовать схему поведения функции параллельно с проведением исследования свойств функции по описанному выше плану.
Примеры построения графиков функций
| y = x 3 + 8x 2 + 16x + 128 | (1) |
Решение. Областью определения функции (1) является вся числовая прямая.
Функция (1) не является ни четной, ни нечетной.
Функция (1) не является периодической.
Вертикальных асимптот у графика функции (1) нет, так как для любого числа x0
Проверим, есть ли у графика функции (1) наклонные асимптоты. Поскольку
Поскольку y’ (x) существует для всех , то все критические точки функции являются ее стационарными точками, то есть точками, в которых
Найдем стационарные точки функции (1), интервалы, на которых y’ (x) сохраняет знак, а также экстремумы функции. Для этого решим квадратное уравнение
Изобразим на рисунке 1 диаграмму знаков производной y’ (x)
На интервалах и производная y’ (x) положительна, значит, функция (1) возрастает. На интервале производная y’ (x) отрицательна, значит, функция (1) убывает. Схематически поведение функции (1) изображено на рисунке 2.
Найдем значения функции (1) в стационарных точках:
Теперь вычислим вторую производную функции (1):
Вторая производная y" (x) обращается в нуль при . Изобразим на рисунке 3 диаграмму знаков второй производной y" (x)
При переходе через точку вторая производная функции y" (x) меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, – точка перегиба графика функции (1). При функция (1) выпукла вверх, при функция (1) выпукла вниз.
Дополним схему поведения функции, представленную на рисунке 2, новыми данными о направлении выпуклости функции (рис. 4).
Для того, чтобы найти точки пересечения функции (1) с осью Ox , решим уравнение
Таким образом, точка (– 8; 0) является единственной точкой пересечения графика функции (1) с осью Ox . Точкой пересечения графика функции (1) с осью Oy будет точка (0; 128) .
На схеме поведения функции, представленной на рисунке 4, добавим информацию о знаках функции (1) (рис. 5).
Принимая во внимание результаты исследования поведения функции (1) (большая часть данных компактно представлена на рисунке 5), мы можем построить график функции (1) (рис.6):
Решение. Областью определения функции (2) является вся числовая прямая, за исключением точки x = 0 , то есть .
Функция (2) не является ни четной, ни нечетной.
Функция (2) не является периодической.
Для того, чтобы выяснить, имеются ли у графика функции (2) наклонные асимптоты, представим правую часть формулы (2) в другом виде:
Из формулы (3) получаем равенство
откуда вытекает, что прямая
является наклонной асимптотой графика функции (2), как при , так и при .
Теперь вычислим производную функции (2). Проще всего это сделать, воспользовавшись формулой (3):
Для того, чтобы найти стационарные точки функции (2), преобразуем правую часть формулы (4):
и стационарными точками функции (2) являются точки x = – 1 и x = 2 .
Изобразим на рисунке 7 диаграмму знаков производной y’ (x)
На интервалах , и производная y’ (x) положительна, значит, функция (2) возрастает на этих интервалах. На интервале (0, 2) производная y’ (x) отрицательна, значит, функция (2) убывает на этом интервале. Схематически поведение функции (2) изображено на рисунке 8.
При переходе через точку x = – 1 производная функции y’ (x) знак не меняет, значит, в этой точке экстремума нет. При переходе через точку x = 2 производная функции y’ (x) меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, точка x = 2 является точкой минимума функции (2).
Найдем значения функции (1) в стационарных точках:
Теперь перейдем к вычислению второй производной функции (2). Проще всего это сделать, воспользовавшись формулой (4):
Вторая производная y" (x) обращается в нуль при x = – 1 . Изобразим на рисунке 9 диаграмму знаков второй производной y" (x)
Дополним схему поведения функции, представленную на рисунке 8, данными о направлении выпуклости функции (рис. 10).
Найдем точки пересечения функции (2) с осями координат: точка (– 1; 0) является единственной точкой пересечения графика функции (2) с осью Ox , а точек пересечения графика функции (2) с осью Oy нет, поскольку x = 0 не входит в область определения функции (2).
На схеме поведения функции, представленной на рисунке 10, добавим информацию о знаках функции (2) (рис. 11).
Принимая во внимание результаты исследования поведения функции (2) (большая часть данных компактно представлена на схеме рисунка 11), мы можем построить график функции (2) (рис.12):