Как найти особые точки функции

Изолированные особые точки

Определение. Особая точка функции называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки – аналитическая функция (то есть аналитическая в кольце ).

Классификация изолированных особых точек функции связана с поведением этой функции в окрестности особой точки.

Определение. Точка называется устранимой особой точкой функции , если существует конечный предел этой функции при .

Пример 5. Показать, что функция имеет в точке устранимую особенность.

Решение. Вспоминая первый замечательный предел, вычислим

Значит, в точке заданная функция имеет устранимую особенность.

Задача 4. Показать, что точка устранимая для .

Определение. Точка называется полюсом функции , если эта функция неограниченно возрастает при , то есть .

Обратим внимание на связь между понятиями нуля и полюса аналитической функции. Представим функцию в виде .

Если точка является простым нулем функции , то функция имеет в простой полюс

Если точка – нуль порядка для функции , то для функции это полюс порядка .

Пример 6. Показать, что функция имеет в точке полюс третьего порядка.

Решение. Полагая , получим . При стремлении к нулю по любому закону имеем . Тогда , а с ним и сама функция неограниченно возрастает. Следовательно, , то есть особая точка является полюсом. Для функции эта точка, очевидно, является трехкратным нулем. Значит, для данной функции точка является полюсом третьего порядка.

Задача 5. Показать, что в точке имеет простой полюс.

Определение. Точка называется существенно особой точкой функции , если в этой точке не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции (поведение функции не определено).

Пусть является существенно особой точкой функции . Тогда для любого наперед заданного комплексного числа найдется такая последовательность точек , сходящаяся к , вдоль которой значения стремятся к : (теорема Сохоцкого).

Пример 7. Показать, что функция в точке имеет существенную особенность.

Решение. Рассмотрим поведение заданной функции в окрестности точки . При вдоль положительной части действительной оси (т.е. ) имеем и ; если же вдоль отрицательной части действительной оси (т.е. ), то и . Значит, не существует предела при . По определению, в точке функция имеет существенную особенность.

Рассмотрим поведение функции в нуле с точки зрения теоремы Сохоцкого. Пусть – любое комплексное число, отличное от нуля и бесконечности.

Из равенства находим . Полагая , получим последовательность точек , . Очевидно, . В каждой точке этой последовательности функция равна , поэтому и

Задача 6. Показать, что функция имеет в точке существенную особенность.

Бесконечно удаленная точка всегда считается особой для функции . Точка называется изолированной особой точкой функции , если эта функция вне некоторого круга с центром в начале координат не имеет других особых точек.

Классификацию изолированных особых точек можно распространить и на случай .

Пример 8. Показать, что функция имеет на бесконечности двукратный полюс.

Решение. Рассмотрим функцию , где – аналитическая функция в окрестности точки , причем . Значит, функция имеет на бесконечности двукратный нуль, но тогда для функции точка является двукратным полюсом.

Пример 9. Показать, что функция имеет на бесконечности существенную особенность.

Решение. Аналогичная задача рассмотрена в пр.7. Рассмотрим поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки. При вдоль положительной части действительной оси , а при вдоль отрицательной части действительной оси . Значит, не существует предела функции в точке и в силу определения эта точка – существенно особая.

О характере особенности функции в точке можно судить по главной части лорановского разложения в окрестности этой точки.

Теорема 1. Для того чтобы точка была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы соответствующее лорановское разложение не содержало главной части.

Задача 6. Пользуясь тейлоровским разложением функции в окрестности точки , показать, что имеет в нуле устранимую особенность.

Теорема 2. Для того чтобы точка была полюсом функции , необходимо и достаточно, чтобы главная часть соответствующего лорановского разложения содержала конечное число членов:

Номер старшего отрицательного члена определяет порядок полюса.

В этом случае функцию можно представить в виде

где — аналитическая в точке функция, , – порядок полюса.

Пример 10. Показать, что функция имеет в точках и простые полюсы.

Решение. Рассмотрим точку . Воспользуемся лорановским разложением данной функции в окрестности этой точки, полученным в примере 2:

Так как в главной части этого разложения старшая (и единственная) отрицательная степень равна единице, то точка – простой полюс данной функции.

Можно было получить этот результат другим путем. Представим в виде и положим – это функция, аналитическая в точке и . Значит, и в силу (8) в точке данная функция имеет простой полюс.

Еще один способ: рассмотрим функцию , которая в точке имеет простой нуль. Значит, в этой точке имеет простой полюс.

Аналогично, если записать функцию в виде , где – функция, аналитическая в точке и , то сразу ясно, что точка – простой полюс функции .

Задача 7. Показать, что функция имеет полюс 2 –го порядка в точке и полюс 4 –го порядка в точке .

Теорема 3. Для того чтобы точка была существенно особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения в окрестности точки содержала бесконечное число членов.

Пример 11. Определить характер особенности в точке функции

Решение. В известном разложении косинуса положим вместо :

Значит, лорановское разложение в окрестности точки имеет вид

Здесь правильная часть – одно слагаемое . А главная часть содержит бесконечное число слагаемых, поэтому точка – существенно особая.

Задача 8. Показать, что в точке функция имеет существенную особенность.

Рассмотрим некоторую функцию и запишем ее лорановское разложение в точке :

Произведем замену , при этом точка переходит в точку . Теперь в окрестности бесконечно удаленной точки имеем

Осталось ввести новое обозначение . Получаем

где – главная часть, а – правильная часть лорановского разложения функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Таким образом, в лорановском разложении функции в окрестности точки главная часть – это ряд по положительным степеням , а правильная часть – ряд по отрицательным степеням. С учетом этого заме

чания приведенные критерии для определения характера особенности остаются в силе и для бесконечно удаленной точки.

Пример 12. Выяснить характер особенности функции в точке .

Решение. Положим , тогда . Рассмотрим функцию , аналитическую в точке . Запишем несколько первых членов тейлоровского разложения функции в окрестности нуля. Вычислим

Осталось произвести обратную замену :

Получили разложение функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Так как существует конечный предел , то в точке функция имеет устранимую особенность.

Пример 13. Показать, что имеет в нуле двукратный полюс, а на бесконечности – простой полюс.

Решение. Запишем функцию в виде суммы: . В окрестности нуля первое слагаемое – это правильная часть лорановского разложения, второе слагаемое – главная часть лорановского разложения этой функции. Так как старшая отрицательная степень равна 2, то в нуле полюс двукратный. В окрестности бесконечно удаленной точки правильная и главная части меняются местами, теперь – это главная часть лорановского разложения. Так как старшая положительная степень равна единице, то в бесконечно удаленной точке функция имеет простой полюс.

Задача 9. Выяснить характер особенности функции в бесконечно удаленной точке. Ответ: существенная особенность.

Задача 10. Выяснить характер особенности в точке . Ответ: полюс 2-го порядка.

Задача 11. С помощью лорановского разложения в окрестности бесконечно удаленной точки выяснить характер особенности функции в этой точке. Ответ: существенная особенность.

Замечание 1. Здесь рассматривались только изолированные особые точки.

Замечание 2. В случае, когда функция имеет в существенную особенность, для функции особая точка может оказаться неизолированной.

Пример 14. Функция в точке имеет существенную особенность. Показать, что для функции не является изолированной особой точкой.

Решение. Функция имеет полюсы в точках , которые найдем как нули знаменателя из уравнения . Очевидно, , то есть полюсы накапливаются к началу координат. Значит, в любой сколь угодно малой окрестности точки имеются полюсы, отличные от . Особая точка не является изолированной – это предельная точка полюсов данной функции.

Пример 15. Функция в бесконечно удаленной точке имеет существенную особенность. Показать, что точка для функции не является изолированной особой точкой.

Решение. Функция имеет бесчисленное множество полюсов в нулях знаменателя, то есть в точках , . Так как , то точка , в любой окрестности которой имеются полюсы , является предельной для полюсов.

РЯД ЛОРАНА. ОСОБЫЕ ТОЧКИ. КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК

Суммирование в ряде Лорана следует понимать как предел частичных сумм:

Запишем ряд (19.13) в виде

Ряд ^-——- называют главной (лорановской) частью ряда Ло-

рана, а ряд Y c_n(z — Zq)» — его правильной (тейлоровской) частью.

Из теоремы Абеля и следствий из нее можно вывести следующие свойства правильной части:

а) правильная часть ряда Лорана абсолютно сходится в некотором круге |z — ?₀| ф 0) и является в нем аналитической функцией;
б) вне круга z — z₀| г ь r R₂ r₂

того, он равномерно сходится в любом меньшем замкнутом круге |^| г₂. При обратном переходе от ? к г получаем, что главная

часть исходного ряда Лорана сходится во внешности круга |г — ?₀| > причем она равномерно сходится во внешности любого большего открытого кругаz

Zq> г₂. Из теоремы Абеля и следствий из нее можно вывести следующие свойства главной части ряда Лорана:

а) главная часть ряда Лорана абсолютно сходится во внешности некоторого кругаz- Zq> R₂ (будем считать, что R₂ Ф +°°) и является в ней аналитической функцией;
б) внутри кругаz-Z₀ r₂, R₂ Zq Zq ^ R ряд Лорана расходится (как сумма сходящегося и расходящегося рядов), причем там не выполняется необходимое условие сходимости;

г) в любом меньшем кольце r₂ г ь г > &г 7-> Р яд Лорана сходится равномерно.

Отметим также, что может оказаться, что область сходимости ряда Лорана отсутствует (при R₂ > /?,), вырождается во внешность круга (при R = +°о), вырождается во всю комплексную плоскость без одной точки ?о (при R_<= +оо, R₂ = 0) и т.д.

Теорема 19.13 (теорема Лорана, существование). Если функция f(z) является аналитической в кольце Т = | R₂ n , коэффициенты с_п которого вычисляются

где С — произвольная окружность, с центром в точке Zo и целиком лежащая в кольце Т, проходимая в положительном направлении.

? Доказательство проведем в несколько шагов.

Шаг 1. Возьмем произвольную точку z внутри кольца Т = = | R₂ с центром в точке Zo радиусами R[ и R₂ так, чтобы R₂ — ?о

в кольце Т, следовательно, она непрерывна и ее модуль ограничен на контуре С_х, лежащем внутри кольца Т. Домножим этот ряд на /(^) и проинтегрируем по С_х по Получим

где с » = м и =°’ 11 ’ ±2 ’

Шаг 3 (разложение функции f₂(z))- Обозначим ——— = В.

На окружности С₂: — Zq | = Щ значение В не зависит от причем

выполняется неравенство В к ). Домножим этот ряд на /(^) и про-

интегрируем по С₂ по Ъ;.

Обозначим п = к + 1. Тогда запишем f₂(z) = ^c__n(z — Zo) п , где

Шаг 4. Подынтегральные функции в выражениях для с_п и с__п ана- литичны в кольце Т. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменятся при непрерывной деформации контуров интегрирования С_< и С₂ в кольце Т. Это позволяет записать общее выражение:

где С — произвольная окружность, с центром в точке Zq и целиком лежащая в кольце Т, проходимая в положительном направлении. Окончательно для /(z) получаем

Так как z — произвольная точка кольца Т, ряд сходится к f(z) всюду внутри рассматриваемого кольца. Теорема доказана. ?

Теорема 19.14 (теорема Лорана, единственность). Если функция f(z) аналитическая в кольце Т = R₂ т0 она пред

ставляется в этом кольце единственным сходящимся рядом Лорана

f(z)= X c„(z

Zo) n , коэффициенты с_п которого вычисляются

по формулам (19.17).

? Пусть имеется другое разложение функции /(г) в ряд Лорана

f(z) = X c n( z — z o) n в кольце Т = [z | R₂ Zq Zq- На этой окружности ряд сходится равномерно, и поэтому его можно умножить на (z — Zo)

где п — любое целое число, и проинтегрировать по C_R в положительном направлении. Получим

Используя параметризацию z = Zo+ 7?е’ ф , находим, что

Таким образом, в правой части (19.18) остается единственное слагаемое. Отсюда получаем

т.е. с’_т = с_т что и требовалось доказать. ?

Пример 19.8. Найти область сходимости и сумму ряда Лорана

? В данном случае с_п = 1, с__п = —, п е N, поэтому, согласно (19.15),

Ряд сходится в кольце — 1 1

Используя формулу суммы геометрической прогрессии, находим суммы правильной и главной частей ряда Лорана:

Таким образом, данный ряд Лорана сходится в кольце ^ _п+2 ‘-аналитична в круге |^| _я+| 1 —dz = 0 для п = -2, -3.

При п > -1 применяем интегральные формулы Коши для

функции (р(^) = —— и ее производных:

Таким образом, f(z) =-= — + ‘Y_Jz tl , т.е. главная часть ряда

z(z -1) Z Го

Лорана состоит из одного члена, а правильная часть — из бесконечного числа членов. ?

Коэффициенты с_п рядов Лорана, как правило, находят не по формуле (19.17), а с помощью искусственных приемов. Так, функцию f(z) из примера 19.9 можно разложить на простейшие дроби, и затем для получения ее ряда Лорана использовать формулу суммы геометрической прогрессии со знаменателем z‘

Разложение функции /(z) в ряд Лорана по степеням z

z₀ зависит от того, для какой из областей аналитичности f(z) строится это разложение.

Пример 19ЛО. Найти все разложения в ряд Лорана по степеням z

? Аналитичность функции f(z) нарушается в двух точках: Z= —1 и Z2= 2. Поэтому существует три кольца с центром в точке Zq = О, в которых f является аналитической:

а) кругz.

Для представления функции /(z) рядами Лорана в каждой из этих

сохраняется, так как оно справедливо для z п z n для

функции-расходится при Ы > 1. Поэтому преобразуем дробь

-таким образом:-=——-т-. Из формулы для суммы гео-

? ‘-(4)

метрической прогрессии следует, что

Отсюда получаем разложение f(z) в ряд Лорана для кольца

1 лля Функции- в эт °й области расходится, а ряд ^——

п=о 2” Z- 2 _Я=1 z”

для функции-сходится, поэтому преобразуем дробь-так:

Z + 1 Z-2

-=—г-. Используя формулу суммы геометрической прогрес-

Поэтому ряд Лорана для /(г) в области 2 n , сходящийся во внешности неко-

торого круга г 00 называется ряд ^c_nz n , а правильной — ряд

0

1 V.

Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки функции f(z), которая аналогична во внешности некоторого круга, существует. Чтобы убедиться в этом, достаточно сделать замену ^ = — и выполнить разложение функции /( 1 в ряд Лорана

в окрестности точки = 0 (это разложение существует по теореме Лорана), а далее вернуться к исходной переменной. Так следует действовать и на практике, когда требуется построить разложение в окрестности z₀ = 00 .

Выпишем в явном виде коэффициенты с_п разложения /(z) при Zq = 00 ?

Пусть разложение имеет вид f(z) = ^ c_mz m .

Умножим обе части этого равенства на z

x и проинтегрируем в положительном направлении по окружности C_R такой, что вне ее функция /(z) уже не имеет конечных особых точек. Получим

Используя параметризацию г = Ле’ ф , находим, что Отсюда получаем

Пример 19.11. Разложить в ряд Лорана функцию f =-

z( 1 — z)

в окрестности точки Zo = 00 ?

Отсюда находим разложение Лорана f(z) = при 1 ,

т.е. в окрестности точки z₀ = ?

3. Особые тонки аналитической функции

Определение. Точки z , в которых однозначная функция /(z) является аналитической, называют ее правильными точками. Точки, в которых f(z) неаналитична, называются особыми точками этой функции. Особая точка z_Q называется изолированной особой точкой, если существует ее окрестность z- Zq г, для Zo = °°), все точки которой, за исключением Zo, являются правильными. В противном случае особая точка Zo является неизолированной особой точкой функции f

С учетом поведения функции /(^) в окрестности изолированной особой точки Zo принята следующая классификация таких точек.

1. Если существует конечный предел lim f(z) = с₀, то Zq называ-

ется устранимой особой точкой функции f

2. Если lim /(г) = то точка Zq называется полюсом функции /(г).

3. Если предел lim /(г) не существует, то го называется суще-

ственно особой точкой функции /(г).

Для исследования поведения функции в окрестности существенно особой точки справедливы следующие теоремы.

Теорема 19.15 (теорема Сохоцкого). Если го — существенно особая точка функции /(г), то для любого комплексного числа Л (в том числе и °°) существует такая последовательность <г„>, сходящаяся к го,

Пример 19.12. Найти все изолированные особые точки функции

/(г) = —у-cos— и определить характер этих точек.

г_{0 Z}^0z г

доказательства рассмотрим, например, последовательности | г„ = —|

и z_n =->, сходящиеся к нулю. С учетом равенств cos— = 1 и

cos— = 0 при n g N, находим: lim f(z‘_n) = -1 и lim /(г») = 0. Таким

7 п—>оо /7—>оо

образом, lim /(г/,) ф Пт /(г»), а это означает отсутствие предела

lim /(г). Поэтому го = 0 есть существенно особая точка функции

Для точки Z = 1 получаем

т.е. точка Z — 1 является полюсом функции /(г).

В точке г₂ = -1 имеем

следовательно, г₂ = -1 — устранимая особая точка функции /(г).

Наконец, для точки z₃ = находим Пусть Г| = —, г| —> 0 при z —> 00 • Тогда

7

т.е. точка z₃ = 00 также является устранимой особой точкой.

Таким образом, функция f(z) = * cos— имеет четыре особые

точки: существенно особую точку ?₀ = 0, полюс первого порядка Z = 1 и две устранимые особые точки z₃ =

Для полюсов функции используется дополнительная классификация. Если Zq — правильная точка функции ср(^), причем ф(?₀) = = ф'(^о) = ••• = = 0? а Ф (,и) ао) * 0, то эта точка называется

нулем порядка т функции ф(г). Точка Zo называется полюсом порядка т функции f(z), если эта точка является нулем порядка т функции

ф(г) = ——. В частности, если f(z) = ——, где g(z) — аналити- f(z) (z — z₀) m

чес кая в точке Zo функция и #(г₀) * О, то Zq является полюсом порядка т функции f

Пример 19.13. Определить характер особой точки Zq = 0 функции

3 + 6z —

— 6sh?. Найдем порядок этого нуля. Имеем:

Таким образом, точка Zq = 0 является нулем пятого порядка функции ф(г), следовательно, Zo — это полюс пятого порядка функции f(z). ?

Исследование характера изолированной особой точки ?₀ функции f(z), можно провести с использованием ряда Лорана этой функции по степеням z- Zo (или по степеням z в случае z_Q = °°). Пусть Zo — изолированная особая точка функции f(z). Тогда f(z) представляется рядом Лорана:

сходящимся в кольце 0 г (или f) = Yc_nz п + Y^t

в кольце г — ZqY (или f = Y^n

2. Для того чтобы точка Zo была полюсом порядка т функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы в разложении (19.19) число отличных от нуля коэффициентов главной части было конечным,

j + Y c n(z “ причем с__т * 0 (или f _n=iiz-Z₀) и=0

3. Для того чтобы точка Zo была существенно особой точкой функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть разложения Лорана этой функции содержала бесконечное число членов.

Пример 19.14. Найти все изолированные особые точки функции e z — 1

/(^) =-и определить характер этих точек.

? а) Функция /(z) является аналитической при всех z е С, за исключением точек = 0 и Z = в которых f(z) не определена. Ука

занные точки являются изолированными особыми точками функции

Разложение Лорана функции f(z) по степеням z — Zo = z имеет вид

т.е. не содержит главной части. Это означает, что z₀ = 0 есть устранимая особая точка функции f(z).

В окрестности точки Z = 00 разложение /(z) в ряд Лорана не от-

личается от разложения для точки z₀ = О, т.е. f(z)= У,-• Глав-

ная часть этого ряда содержит бесконечное число членов, поэтому Z = °° — это существенно особая точка. ?

Если в любой окрестности z — Zo Zq (или z > R для Zq = °°) функции f(z) найдется особая точка, отличная от Zq, то точка ?о является неизолированной особой точкой этой функции. Для того чтобы особая точка была неизолированной, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность сходящаяся К Zo- ?

Пример 19.15. Определить неизолированную особую точку Zq

функции f(z) = tg—-— и указать последовательность особых точек Z-

f(z), для которой Zo является предельной точкой.

Z_k— 12 д(1 + 2 к)

а также точки z₀ = 1 и Z = 00 . Поскольку lim z_k = 1 = Zo, то особая

Особая точка функции

Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например, точка в которой функция недифференцируема).

Особенности в комплексном анализе

Комплексный анализ рассматривает особенности голоморфных (более общо: аналитических) функций — точки комплексной плоскости, в которой эта функция не определена, её предел бесконечен либо предела не существует вовсе. В случае точек ветвления аналитических функций функция в особой точке может быть определена и непрерывна, но не являться аналитичной.

Особенности в действительном анализе

Функция f(x) = 1 / x имеет особую точку в нуле, где она стремится к положительной бесконечности справа и к отрицательной бесконечности — слева (точка разрыва второго рода). · Функция g(x) = | x | также имеет особенность в нуле, где она недифференцируема.

График, определённый выражением y 2 = x , имеет в нуле особенность — вертикальную касательную. Кривая, заданная уравнением y 2 = x 3 + x 2 , имеет в (0,0) особенность — точку самопересечения.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Особая точка функции» в других словарях:

ОСОБАЯ ТОЧКА — аналитической функции точка, в которой нарушается аналитичность функции … Большой Энциклопедический словарь

ОСОБАЯ ТОЧКА — аналитической функции точка, в к рой нарушаются условия аналитичности. Если аналитическаяфункция f(z )задана в нек рой окрестности точки z0 всюду … Физическая энциклопедия

Особая точка — в математике. 1) Особая точка кривой, заданной уравнением F (x, у) = 0, точка М0(х0, y0), в которой обе частные производные функции F (x, у) обращаются в нуль: Если при этом не все вторые частные производные… … Большая советская энциклопедия

ОСОБАЯ ТОЧКА — 1) О. т. аналитической функции f(z) препятствие для аналитического продолжения элемента функции f(z) комплексного переменного zвдоль какого либо пути на плоскости этого переменного. Пусть аналитическая функция f(z) определена некоторым… … Математическая энциклопедия

особая точка — аналитической функции, точка, в которой нарушается аналитичность функции. * * * ОСОБАЯ ТОЧКА ОСОБАЯ ТОЧКА аналитической функции, точка, в которой нарушается аналитичность функции … Энциклопедический словарь

ПОДВИЖНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА — особая точка z0 решения дифференциального уравнения F(z, w, w )=0 (F аналитич. функция), рассматриваемого как функция w(z).комплексного переменного z, при условии, что решения того же уравнения с близкими начальными данными имеют близкие к z0… … Математическая энциклопедия

СУЩЕСТВЕННО ОСОБАЯ ТОЧКА — изолированная особая точка а однозначного характера аналитич. ции f(z) комплексного переменного z, для к рой не существует никакого, конечного или бесконечного, предела В достаточно малой проколотой окрестности С. о. т. или в случае функция… … Математическая энциклопедия

Устранимая особая точка — Изолированная особая точка называется устранимой особой точкой функций , голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, если существует конечный предел , и можно так доопределить функцию в этой точке значением её предела , чтобы… … Википедия

Существенно особая точка — Изолированная особая точка функции , голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, называется существенно особой, если предел не существует. Содержание 1 … Википедия

Существенно особая точка — аналитической функции, точка z0 комплексной плоскости, в которой не существует ни конечного, ни бесконечного предела при z → z0 для функции, однозначной и аналитической в некоторой окрестности этой точки (см. Аналитические функции).… … Большая советская энциклопедия

Похожие публикации:

Как установить ворд в windows 10 чтобы он работал

Как заменить файл в папке system32 windows 7

Как записать в эксель

Как записать список в sqlite