Направление вектора
Направление вектора: основные понятия и определения
Вектором называется упорядоченная пара точек 
и 
(то есть точно известно, какая из точек в этой паре первая).
Первая точка называется началом вектора, а вторая – его концом.
Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается 
; его длина считается равной нулю. В противном случае, если длина вектора положительна, то его называют ненулевым.
Замечание. Если длина вектора равна единице, то он называется ортом или единичным вектором и обозначается 
.
| Задание | Проверить, является ли вектор  единичным. |
| Решение | Вычислим длину заданного вектора, она равна корню квадратному из суммы квадратов координат: |
![\[\left|\bar{a}\right|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^{2} +\left(-\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^{2} +0^{2} } =\sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2} +0} =1\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2987a450aeb3bce7c370bbd3f51d22ae_l3.png)
Поскольку длина вектора 
равна единице, значит, вектор является ортом.
Ненулевой вектор также можно определить как направленный отрезок.
Замечание. Направление нулевого вектора не определено.
Направляющие косинусы вектора
Направляющими косинусами некоторого вектора называются косинусы углов, которые вектор образует с положительными направлениями координатных осей.
Замечание. Однозначно направление вектора задают его направляющие косинусы.
Чтобы найти направляющие косинусы вектора необходимо вектор нормировать (то есть вектор поделить на его длину):
![\[\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right)\Rightarrow \cos \alpha =\frac{a_{1}}{\left|\bar{a}\right|} ,\; \cos \beta =\frac{a_{2}}{\left|\bar{a}\right|} ,\; \cos \gamma =\frac{a_{3}}{\left|\bar{a}\right|} \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cbc570332019fbe2d861af3382b96828_l3.png)
Замечание. Координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам.
Вектор, его направление и длина
Вектором называется упорядоченная пара точек. Первая точка называется началом вектора, вторая — концом вектора. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым, его длина равна нулю. Если длина вектора положительна, то его называют ненулевым. Ненулевой вектор можно определить также как направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек считается первой (началом вектора), а другая — второй (концом вектора). Направление нулевого вектора, естественно, не определено.
Вектор с началом в точке или на рис.1.1,а). Вектор, длина которого равна единице или принята за единицу, называется единичным вектором.
Ненулевой вектор АВ кроме направленного отрезка определяет также содержащие его луч
Коллинеарные векторы
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они принадлежат либо одной прямой, либо — двум параллельным прямым, в противном случае они называются неколлинеарными. Коллинеарность векторов обозначается знаком . Поскольку направление нулевого вектора не определено, он считается коллинеарным любому вектору. Каждый вектор коллинеарен самому себе.
Два ненулевых коллинеарных вектора называются одинаково направленными (сонаправленными), если они принадлежат параллельным прямым и их концы лежат в одной полуплоскости от прямой, проходящей через их начала (рис.1.2,а); либо, если векторы принадлежат одной прямой, и луч, определяемый одним вектором, целиком принадлежит лучу, определяемому другим вектором (рис. 1.2,6). В противном случае коллинеарные векторы называются противоположно направленными (рис.1.2,в,г). Одинаково направленные и противоположно направленные векторы обозначаются парами стрелок
Компланарные векторы
Три ненулевых вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях (рис.1.3,а), в противном случае они называются некомпланарными (рис. 1.3,6). Так как направление нулевого вектора не определено, он считается компланарным с любыми двумя векторами. Понятие компланарных векторов распространяется на любое число векторов.
Равные векторы
Два вектора называются равными, если они:
а) коллинеарны, одинаково направлены;
б) имеют равные длины.
Все нулевые векторы считаются равными друг другу.
Это определение равенства векторов характеризует так называемые свободные векторы. Данный свободный вектор можно переносить, не меняя его направления и длины, в любую точку пространства (откладывать от любой точки), при этом будем получать векторы, равные данному. Таким образом, свободный вектор определяет целый класс равных ему векторов, отличающихся только точкой приложения. Далее будут рассматриваться, как правило, свободные векторы, при этом слово "свободные" будет опускаться.
1. Определение равенства векторов можно сформулировать, не используя понятия длины вектора. Два вектора
2. Отношение равенства векторов является отношением эквивалентности. В самом деле, для отношения равенства — "вектор векторов, выполняются следующие условия:
а) каждый вектор равен самому себе (рефлексивность);
б) если вектор 3. Для любой точки . Из этих двух точек выберем такую точку
Таким образом, любой вектор 4. Построение, рассмотренное в пункте 3, называется откладыванием вектора
Используя это построение, можно дать эквивалентные определения коллинеарности и компланарности. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если после приложения их к одной точке они лежат на одной прямой. Три ненулевых вектора называются компланарными, если после приложения их к одной точке они лежат в одной плоскости.
5. Кроме свободных векторов в приложениях векторной алгебры используются скользящие векторы, связанные (приложенные) векторы и др., которые отличаются от свободных векторов определением равенства. Например, скользящие векторы называются равными, если они лежат на одной прямой, одинаково направлены и имеют равные длины. Другими словами, в отличие от свободного вектора, скользящий вектор можно переносить, не меняя направления и длины, только вдоль содержащей этот вектор прямой. Например, в механике сила, действующая на абсолютно твердое тело, изображается скользящим вектором, а угловая скорость — свободным вектором. Сила, действующая на деформируемое тело, является примером так называемого приложенного вектора. Изменение точки приложения силы приведет к изменению ее воздействия на тело.
Пример 1.1. Дан треугольник (рис. 1.6), точки — середины его сторон. Для векторов, изображенных на рис. 1.6, указать коллинеарные, одинаково направленные, противоположно направленные, равные.
Решение. По теореме о средней линии треугольника заключаем, что . Поэтому векторы — коллинеарные (так как лежат на одной или параллельных прямых), одинаково направленные и имеют равные длины. Следовательно, это равные векторы: . Аналогично, находим
Векторы на плоскости и в пространстве — основные определения
В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.
Для начала дадим определение:
Вектор – это направленный отрезок прямой.
Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.
В математике для обозначения вектора обычно используют строчные латинские буквы, однако над вектором всегда ставится небольшая стрелочка, например a → . Если известны граничные точки вектора – его начало и конец, к примеру A и B , то вектор обозначается так A B → .
Нулевой вектор
Под нулевым вектором 0 → будем понимать любую точку плоскости или пространства.
Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.
Длина вектора
Под длиной вектора A B → понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.
Длину вектора A B → принято обозначать так A B → .
Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин «длина вектора». Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.
Коллинеарность векторов
Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.
Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными.
Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.
Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.
Направление векторов
Сонаправленными векторами называют два коллинеарных вектора a → и b → , у которых направления совпадают, такие векторы обозначаются так a → ↑ ↑ b → .
Противоположно направленными векторами называются два коллинеарных вектора a → и b → , у которых направления не совпадают, т.е. являются противоположными, такие векторы обозначаются следующим образом a → ↑ ↓ b → .
Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.
Равные и противоположные векторы
Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.
Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.
Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.
Пусть заданы два произвольных вектора на плоскости или в пространстве a → и b → . Отложим от некоторой точки O плоскости или пространства векторы O A → = a → и O B → = b → . Лучи OA и OB образуют угол ∠ A O B = φ .
Углы между векторами
Угол φ = ∠ A O B называется углом между векторами a → = O A → и b → = O B → .
Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.
Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π 2 радиан).