Как найти модуль суммы векторов

Сложение и вычитание векторов

В случае плоской задачи сумму и разность векторов a = < a_x ; a_y > и b = < b_x ; b_y > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

Формулы сложения и вычитания векторов для пространчтвенных задач

В случае пространственной задачи сумму и разность векторов a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < b_x ; b_y ; b_z > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

Формулы сложения и вычитания n -мерных векторов

В случае n -мерного пространства сумму и разность векторов a = < a ₁ ; a ₂ ; . ; a_n > и b = < b ₁ ; b ₂ ; . ; b_n > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

Примеры задач на сложение и вычитание векторов

Примеры плоских задач на сложение и вычитание векторов

Примеры пространственных задач на сложение и вычитание векторов

Примеры задач на сложение и вычитание векторов с размерностью большей 3

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B . Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B , то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1 . Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y , абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора — по x и по y .
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2 . Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий — перемещение из А в F .

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»

— Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
— 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
— Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
— Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
— 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
— Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
— Личный кабинет.

Модуль вектора

Чтобы найти модуль вектора по координатам нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат, то есть найти длину вектора.

В случае, когда вектор задан в пространстве тремя координатами $ \overline= (x;y;z) $, то модуль находится по формуле: $$ |\overline|=\sqrt $$

Для нахождения модуля вектора нам понадобится знать:

1. Координаты вектора
2. Формулы

Примеры решений

Зная координаты мы первым делом определяем на плоскости или в пространстве задана задача. В нашем случае координат у вектора три, поэтому в пространстве (было бы две координаты, то на плоскости).

Используем вторую формулу для пространственной задачи:

Подставляя в формулу в место $ x,y,z $ числа из задания получаем модуль:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!