Как найти координаты вершин треугольника

Как найти вершину треугольника?

Для того чтобы найти координаты вершины равностороннего треугольника, если известны координаты двух других его вершин, нужно воспользоваться одним из предложенных способов.

1 способ (графический)

Треугольник

В системе координат отмечаем две заданные вершины.
Ставим ножку циркуля в одну из построенных точек.
Проводим окружность с радиусом, равным расстоянию между отмеченными вершинами.
Таким же образом чертим вторую окружность с тем же радиусом, но из второй отмеченной точки.
Точки пересечения проведённых окружностей определяют вершины треугольников (их получится два).
Определяем координаты полученных точек, исходя из полученного чертежа.

Данный способ позволяет точно построить третью вершину. Однако определение координат является приблизительным. Метод хорошо использовать для иллюстрации.

2 способ (аналитический)

Решение задачи основано на применении формулы нахождения расстояния между двумя точками: d(A(x1;y1);B(x2;y2))=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)

Пусть имеются вершины A(x1;y1) и B(x2;y2) треугольника АВС. Обозначим координаты третьей вершины x и y (то есть, С(x;y))
Составляем соотношения
AC=√((x-x1)^2+(y-y1)^2)
BC=√((x-x2)^2+(y-y2)^2)
AB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
Учитывая, что треугольник равносторонний, составляем систему уравнений:
AC=BC
AC=AB
Или система уравнений:
√((x-x1)^2+(y-y1)^2)= √((x-x2)^2+(y-y2)^2)
√((x-x1)^2+(y-y1)^2)= √((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
Методом подстановки решаем полученную систему.

Теперь вы знаете, как найти вершину треугольника.

Внимание! Оба случая применимы только для равностороннего треугольника.
Для равнобедренного или любого другого произвольного треугольника для нахождения координат третьей вершины требуются дополнительные данные (например, значение некоторых отрезков или углов).

Уравнение описанной окружности

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 ,$

получим систему уравнений

$\left\{ \begin{array}{l} (2 - a)^2 + (1 - b)^2 = R^2 , \\ (6 - a)^2 + (3 - b)^2 = R^2 , \\ (9 - a)^2 + (2 - b)^2 = R^2 . \\ \end{array} \right.$

Вычтем из первого уравнения системы второе:

$(2 - a)^2 + (1 - b)^2 - (6 - a)^2 - (3 - b)^2 = 0$

$4 - 4a + a^2 + 1 - 2b + b^2 - 36 + 12a - a^2 - 9 + 6b - b^2 = 0$

$8a + 4b - 40 = 0$

$b = - 2a + 10.$

Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:

$(6 - a)^2 + (3 - b)^2 - (9 - a)^2 - (2 - b)^2 = 0$

$36 - 12a + a^2 + 9 - 6b + b^2 - 81 + 18a - a^2 - 4 + 4b - b^2 = 0$

$b = 3a - 20.$

Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:

$- 2a + 10 = 3a - 20$

$- 5a = - 30$

$a = 6,$

$b = 3 \cdot 6 - 20 = - 2.$

Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:

$(2 - 6)^2 + (1 - ( - 2))^2 = R^2$

$R^2 = 16 + 9 = 25,$

$R = 5.$

a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности

$(x - 6)^2 + (y + 2)^2 = 25.$

Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.

Прямая на плоскости

$Алгоритм исследования построения графика функции$

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Пример . В задачах даны координаты точек A , B , C . Требуется: 1) записать векторы AB и AC в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами AB и AC .
Решение.
1) Координаты векторов в системе орт. Координаты векторов находим по формуле:
X=x_j-x_i; Y=y_j-y_i
здесь X , Y координаты вектора; x_i , y_i — координаты точки А_i ; x_j , y_j — координаты точки А_j
Например, для вектора AB: X=x₂-x₁=12-7=5 ; Y=y₂-y₁=-1-(-4)=3
AB(5;3), AC(3;5), BC(-2;2)
2) Длина сторон треугольника. Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между прямыми. Угол между векторами a₁(X₁;Y₁) , a₂(X₂;Y₂) можно найти по формуле:

где a₁a₂=X₁X₂+Y₁Y₂
Найдем угол между сторонами AB и AC

γ = arccos(0.88) = 28.07 0
8) Уравнение прямой. Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂) , представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB . Каноническое уравнение прямой:
или
y= 3 /₅x- 41 /₅ или 5y-3x+41=0